recta numérica
Representá Cálculo racional, potencias y control de resultados con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con elegir estrategia. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las operaciones racionales se controlan con significado, propiedades, estimación y operaciones inversas.
Ya podés elegir estrategia y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a elegir estrategia. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Racionales en todas sus escrituras y notación científica.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125. Respuesta. 1/8.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-num-01.
- elegir estrategia.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-01.
La idea
Operar con racionales requiere coordinar signo, jerarquía y significado. Un exponente negativo indica inverso, no un resultado negativo: los paréntesis determinan cuál es la base. Antes de aceptar una pantalla o una cuenta conviene estimar magnitud y signo. Después, una operación inversa, una fracción exacta o la sustitución permiten comprobar el resultado y comunicar con honestidad cualquier aproximación. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es elegir estrategia. El segundo es transformar para calcular. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Racionales en todas sus escrituras y notación científica: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder comunicar precisión con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Cuál es el inverso multiplicativo de −5/7. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las operaciones racionales se controlan con significado, propiedades, estimación y: operaciones inversas.
Ejemplo resuelto
Leemos (−2/3)⁻². el exponente negativo pide invertir la base y el par exige considerar el signo. Invertimos y elevamos. (−3/2)²=9/4. Controlamos que multiplicar (4/9) por (9/4) da 1 y que una potencia par es positiva. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió (−2)³<−2⁴<(−2)⁴, tratando −2⁴ como base negativa: al resolver Ordená de menor a mayor. (−2)⁴, −2⁴ y (−2)³.
Por qué tienta: La elección conserva signos: pero ordena −8 antes que −16.
Cómo repararlo: Calculá cada valor y ordenalos en la recta.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las operaciones racionales se controlan con significado, propiedades, estimación y operaciones inversas.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás elegir estrategia con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Cálculo racional, potencias y control de resultados.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Cálculo racional, potencias y control de resultados trabaja este objeto matemático. Las operaciones racionales se controlan con significado, propiedades, estimación y operaciones inversas.
Qué hace falta antes
- Racionales en todas sus escrituras y notación científica. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125. Respuesta. 1/8.
- elegir estrategia. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Cálculo racional, potencias y control de resultados con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con elegir estrategia. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Cuál es el inverso multiplicativo de −5/7. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las operaciones racionales se controlan con… Usala para reconocer qué. cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder (−2)³<−2⁴<(−2)⁴, tratando −2⁴ como base negativa. Se reconoce porque (−2)³=−8 y −2⁴=−16. −16 es menor. Reparación. Calculá cada valor y ordenalos en la recta.
Comprobación rápida
Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el cambio exacto. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
-1/12 Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el cambio exacto.
Necesito una pista
Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -1/12
La respuesta correcta es -1/12. 3/4−5/6=9/12−10/12=−1/12.
Ejercicio 2
Consigna
Un factor −2/3 escala una longitud orientada de 9/4. Calculá e interpretá el signo.
Necesito una pista
Ubicá primero Un factor −2/3 escala una longitud orientada de 9/4. Calculá e interpretá…. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El producto es −3/2; el módulo queda multiplicado por 2/3 y el signo invierte la orientación.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 3
Consigna
¿Cuál es el inverso multiplicativo de −5/7?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál es el inverso multiplicativo de −5/7. Para trabajar estimar y validar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −7/5
La respuesta correcta es −7/5. El inverso de −5/7 es −7/5 porque (−5/7)(−7/5)=1.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí el signo de (−3/2)³ y verificá desplegando los factores.
Necesito una pista
Ubicá primero el signo de (−3/2)³ y verificá desplegando los factores. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es negativo porque hay tres factores negativos; el producto es −27/8.
La respuesta correcta es Es negativo porque hay tres factores negativos. el producto es −27/8..
Ejercicio 5
Consigna
Resolvé 2/3+[1/2−(−1/6)] respetando la jerarquía.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Marcá primero base, exponente, signo y operación prioritaria.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4/3
Dentro del corchete, 1/2−(−1/6)=1/2+1/6=2/3; entonces 2/3+2/3=4/3.
Ejercicio 6
Consigna
Explicá por qué 4⁻²=1/16 y no −16.
Necesito una pista
Representá el dato central de por qué 4⁻²=1/16 y no −16. Para trabajar comunicar precisión, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El exponente negativo indica inverso: 4⁻²=1/4²=1/16; no cambia el signo.
Una respuesta suficiente debe sostener comunicar precisión con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 7
Consigna
Calculá (5/6)÷(−10/9) y expresá el cociente exacto.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en (5/6)÷(−10/9) y expresá el cociente exacto. Para trabajar elegir estrategia, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -3/4
La respuesta correcta es -3/4. El cociente es (5/6)÷(−10/9)=(5/6)·(−9/10)=−45/60=−3/4.
Ejercicio 8
Consigna
Estimá 19/20+7/9 antes de calcular y luego controlá.
Necesito una pista
Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Está cerca de 1+0,8=1,8; exactamente 311/180≈1,728, compatible con la estimación.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 9
Consigna
¿Qué operación controla 7/8÷14/15=15/16?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué operación controla 7/8÷14/15=15/16. Para trabajar estimar y validar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15/16·14/15=7/8
La respuesta correcta es 15/16·14/15=7/8.
Ejercicio 10
Consigna
Compará [(−2)³]² con −(2³)² y explicá el papel de los paréntesis.
Necesito una pista
Nombrá la condición que autoriza tu argumento. Marcá primero base, exponente, signo y operación prioritaria.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [(−2)³]²=(−8)²=64, mientras −(2³)²=−64; los paréntesis determinan si el signo integra la base.
[(−2)³]²=(−8)²=64, mientras −(2³)²=−64; los paréntesis determinan si el signo integra la base.
Ejercicio 11
Consigna
Redondeá 17/13 a centésimos y escribí solo el valor obtenido.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Anticipá signo y tamaño y respetá jerarquía, inversos y paréntesis.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1.31
17/13=1,307692…; la tercera cifra decimal es 7, así que el redondeo a centésimos es 1,31.
Ejercicio 12
Consigna
Usá calculadora para (1−2/7)⁻¹ y comprobá con una fracción exacta.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Usá calculadora para (1−2/7)⁻¹ y comprobá con una fracción exacta. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1−2/7=5/7; su inverso es 7/5=1,4.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Una receta usa 3/4 kg por tanda y se hacen 2 2/3 tandas. Modelizá y calculá.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una receta usa 3/4 kg por tanda y se hacen 2 2/3…. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se multiplica 3/4·8/3=2 kg; las unidades confirman kg por tanda por tandas.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Elegí entre cálculo exacto y aproximado para repartir $1250 en tercios y justificá.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Elegí entre cálculo exacto y aproximado para repartir $1250 en tercios y…. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El reparto exacto es 1250/3=416,666…; en centavos no puede ser idéntico: pueden asignarse $416,67, $416,67 y $416,66, alternando quién recibe el centavo menos.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 15
Consigna
Un visor da −0,24 para (−3/5)²−3/5. Controlá el orden y corregí.
Necesito una pista
Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (−3/5)²=0,36 y luego 0,36−0,6=−0,24; el visor es correcto.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Sofía calcula (−2/3)⁻²=−9/4. Localizá el error.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Sofía calcula (−2/3)⁻²=−9/4. Localizá el error. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El inverso es −3/2 y al elevar al cuadrado queda 9/4 positivo.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Iván suma 2/3+1/4=3/7. Repará mostrando una unidad común.
Necesito una pista
Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con doceavos, 2/3=8/12 y 1/4=3/12; la suma es 11/12.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Lautaro resolvió “Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el cambio exacto.” y escribió “0.08333333”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Lautaro con la condición de transformar para calcular. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 0.08333333 se separa del valor esperado después de una única transformación de transformar para calcular.. La corrección usa transformar para calcular: -1/12.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de transformar para calcular sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de transformar para calcular en la consigna Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Combiná 5/8 de avance con −3/10 de retroceso y expresá el saldo exacto.
Necesito una pista
Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 13/40
La respuesta correcta es 13/40. 5/8−3/10=25/40−12/40=13/40.
Ejercicio 20
Consigna
Encontrá el número que multiplicado por −3/4 da 1.
Necesito una pista
Ubicá primero Encontrá el número que multiplicado por −3/4 da 1. Para trabajar estimar y validar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es −4/3, el inverso multiplicativo de −3/4; su producto es 1.
Una respuesta suficiente debe sostener estimar y validar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 21
Consigna
Ordená de menor a mayor: (−2)⁴, −2⁴ y (−2)³.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Ordená de menor a mayor. (−2)⁴, −2⁴ y (−2)³. Para trabajar comunicar precisión, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −2⁴=−16 < (−2)³=−8 < (−2)⁴=16.
La respuesta correcta es −2⁴=−16 < (−2)³=−8 < (−2)⁴=16..
Ejercicio 22
Consigna
Calculá [3/2−(−1/3)]÷11/6.
Necesito una pista
Representá el dato central de [3/2−(−1/3)]÷11/6. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
La respuesta correcta es 1. 3/2−(−1/3)=3/2+1/3=11/6. al dividir 11/6 por 11/6 se obtiene 1.
Ejercicio 23
Consigna
Estimá 49/51·2,02 y decidí si 1,94 es razonable.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Estimá 49/51·2,02 y decidí si 1,94 es razonable. Para trabajar estimar y validar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 49/51≈0,96 y 0,96·2,02≈1,94; el valor es razonable.
La respuesta correcta es 49/51≈0,96 y 0,96·2,02≈1,94. el valor es razonable..
Ejercicio 24
Consigna
Representá 3/5÷2/3 como “cuántos 2/3 caben” y reconstruí el algoritmo.
Necesito una pista
Ubicá primero Representá 3/5÷2/3 como “cuántos 2/3 caben” y reconstruí el algoritmo. Para trabajar estimar y validar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Caben 9/10; 3/5÷2/3=3/5·3/2=9/10.
Una respuesta suficiente debe sostener estimar y validar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 25
Consigna
Reintentá una potencia negativa: calculá (−2/5)⁻³ y explicá signo y magnitud.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Reintentá una potencia negativa. calculá (−2/5)⁻³ y explicá signo y magnitud. Para trabajar transformar para calcular, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se invierte y eleva: (−5/2)³=−125/8; exponente impar conserva signo negativo.
Una respuesta suficiente debe sostener transformar para calcular con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá la regla a⁻ⁿ y justificá por qué a no puede ser cero.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá la regla a⁻ⁿ y justificá por qué a no puede ser…. Para trabajar elegir estrategia, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a⁻ⁿ=1/aⁿ para a≠0; con a=0 exigiría dividir por cero, operación no definida.
Una respuesta suficiente debe sostener elegir estrategia con datos y una propiedad explícita.