recta numérica
Representá Orden, equivalencia y densidad en Q con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con producir racionales entre dos dados. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
La densidad de los racionales significa que entre dos distintos siempre existe otro.
Ya podés producir racionales entre dos dados y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a producir racionales entre dos dados. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Racionales en todas sus escrituras y notación científica.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125. Respuesta. 1/8.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-num-01.
- producir racionales entre dos dados.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-01.
La idea
Los enteros avanzan por saltos: después de uno viene otro. Los racionales funcionan de otra manera. Entre dos racionales distintos siempre puede construirse un tercero, por ejemplo su promedio. Esta densidad explica por qué ampliar una recta revela nuevos puntos sin cambiar los anteriores. Comparar exige atender al signo, usar escrituras equivalentes y distinguir pertenencia a Z de pertenencia a Q. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es producir racionales entre dos dados. El segundo es argumentar equivalencias. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Racionales en todas sus escrituras y notación científica: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder distinguir discreto y denso con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Encontrá un racional estrictamente entre 2/5 y 1/2. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La densidad de los racionales significa que entre dos distintos: siempre existe otro.
Ejemplo resuelto
Escribimos 2/5 y 1/2 como 4/10 y 5/10: no hay décimo intermedio. Refinamos a veinteavos. 8/20 y 10/20: elegimos 9/20. Controlamos 8/20<9/20<10/20 y vemos que refinar otra vez produce más puntos. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió −5/7: porque puede usarse el extremo izquierdo: al resolver Indicá un racional entre −5/7 y −4/7.
Por qué tienta: La elección conserva el límite izquierdo pero no la desigualdad estricta.
Cómo repararlo: Usá denominador 14 y elegí un numerador entre −10 y −8.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué La densidad de los racionales significa que entre dos distintos siempre existe otro.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás producir racionales entre dos dados con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Orden, equivalencia y densidad en Q.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Orden, equivalencia y densidad en Q trabaja este objeto matemático. La densidad de los racionales significa que entre dos distintos siempre existe otro.
Qué hace falta antes
- Racionales en todas sus escrituras y notación científica. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125. Respuesta. 1/8.
- producir racionales entre dos dados. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Orden, equivalencia y densidad en Q con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con producir racionales entre dos dados. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Encontrá un racional estrictamente entre 2/5 y 1/2. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La densidad de los racionales… Usala para reconocer qué cambia. qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder −5/7. porque puede usarse el extremo izquierdo. Se reconoce porque La consigna exige un racional estrictamente interior. −5/7 es extremo. Reparación. Usá denominador 14 y elegí un numerador entre −10 y −8.
Comprobación rápida
Decidí si −3 pertenece a Z, a Q o a ambos conjuntos. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
Pertenece a ambos. es entero y también racional porque −3=−3/1. Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Decidí si −3 pertenece a Z, a Q o a ambos conjuntos.
Necesito una pista
Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Pertenece a ambos: es entero y también racional porque −3=−3/1.
La respuesta correcta es Pertenece a ambos. es entero y también racional porque −3=−3/1..
Ejercicio 2
Consigna
Encontrá un racional estrictamente entre 2/5 y 1/2.
Necesito una pista
Ubicá primero Encontrá un racional estrictamente entre 2/5 y 1/2. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo 9/20, ya que 8/20<9/20<10/20.
La respuesta correcta es Por ejemplo 9/20, ya que 8/20<9/20<10/20..
Ejercicio 3
Consigna
¿Qué describe mejor a Z?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué describe mejor a Z. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es discreto: entre 2 y 3 no hay otro entero
La respuesta correcta es Es discreto. entre 2 y 3 no hay otro entero.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí dónde caerá el promedio de −1/3 y 2/3; mové los extremos y comprobá que queda entre ambos.
Necesito una pista
Ubicá primero dónde caerá el promedio de −1/3 y 2/3. mové los extremos y…. Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El promedio es 1/6 y queda entre −1/3 y 2/3; el punto medio conserva igual distancia a ambos.
Una respuesta suficiente debe sostener argumentar equivalencias con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 5
Consigna
Escribí 5/6 y 7/9 con denominador común para compararlos.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte 5/6 y 7/9 con denominador común para compararlos. Para trabajar distinguir discreto y denso, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5/6=15/18 y 7/9=14/18; por eso 5/6 es mayor.
La respuesta correcta es 5/6=15/18 y 7/9=14/18. por eso 5/6 es mayor..
Ejercicio 6
Consigna
Dibujá el intervalo racional −1/2<x≤3/4 y explicá los extremos abierto y cerrado.
Necesito una pista
Representá el dato central de Dibujá el intervalo racional −1/2<x≤3/4 y explicá los extremos abierto y cerrado. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −1/2 no se incluye y 3/4 sí; se representa con círculo abierto y cerrado respectivamente.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 7
Consigna
Producí dos racionales distintos entre 1,2 y 1,21.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Producí dos racionales distintos entre 1,2 y 1,21. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo 1,201 y 1,205; ambos superan 1,2 y son menores que 1,21.
La respuesta correcta es Por ejemplo 1,201 y 1,205. ambos superan 1,2 y son menores que 1,21..
Ejercicio 8
Consigna
Mostrá que 6/8 y 9/12 ocupan el mismo punto de la recta.
Necesito una pista
Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambas simplifican a 3/4, por lo que son escrituras equivalentes del mismo punto.
La respuesta correcta es Ambas simplifican a 3/4, por lo que son escrituras equivalentes del mismo punto..
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál está más cerca de cero?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál está más cerca de cero. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −0,09
La respuesta correcta es −0,09. Las distancias a cero son 0,125. 0,2 y 0,09. La menor es 0,09, correspondiente a −0,09.
Ejercicio 10
Consigna
Explicá por qué el sucesor de 4 existe en Z pero no en Q.
Necesito una pista
Compará la discreción de Z con la densidad de Q: buscá si entre un número y otro puede aparecer un elemento del mismo conjunto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En Z el sucesor es 5; en Q entre 4 y cualquier racional mayor siempre hay otro racional.
En Z el sucesor es 5; en Q entre 4 y cualquier racional mayor siempre hay otro racional.
Ejercicio 11
Consigna
Ordená 5/12, 0,42 y 41/100 sin usar aproximaciones gruesas.
Necesito una pista
Representá el dato central de Ordená 5/12, 0,42 y 41/100 sin usar aproximaciones gruesas. Para trabajar distinguir discreto y denso, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 41/100=0,41 < 5/12=0,4166… < 0,42.
La respuesta correcta es 41/100=0,41 < 5/12=0,4166… < 0,42..
Ejercicio 12
Consigna
Da un contraejemplo a “si a<b, entonces 1/a<1/b” y explicá la condición ausente.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Da un contraejemplo a “si a<b. entonces 1/a<1/b” y explicá la condición…. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con a=1 y b=2 se obtiene 1>1/2. La función recíproca invierte el orden cuando ambos números están del mismo lado de cero; si a<0<b lo conserva, y siempre se exige a,b≠0.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Una escala acepta valores racionales entre 2,1 y 2,2. Formulá tres calibraciones válidas.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una escala acepta valores racionales entre 2,1 y 2,2. Formulá tres calibraciones…. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2,11; 43/20=2,15 y 2,199 son tres racionales del intervalo.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Dos ofertas descuentan 3/20 y 0,14 del precio. Elegí el mayor descuento.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Dos ofertas descuentan 3/20 y 0,14 del precio. Elegí el mayor descuento. Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3/20=0,15, por lo que supera 0,14 en 0,01 del precio.
La respuesta correcta es 3/20=0,15, por lo que supera 0,14 en 0,01 del precio..
Ejercicio 15
Consigna
Un estudiante dice que no cabe ningún racional entre 0,4 y 0,5 porque son décimos consecutivos. Controlá.
Necesito una pista
Para trabajar distinguir discreto y denso, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,45 es un contraejemplo; los racionales son densos aunque los décimos parezcan consecutivos.
Una respuesta suficiente debe sostener distinguir discreto y denso con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Nico ubica −2/3 a la derecha de −1/2 porque 2>1. Repará el razonamiento.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Nico ubica −2/3 a la derecha de −1/2 porque 2>1. Repará el…. Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −2/3≈−0,667 está a la izquierda de −1/2; en negativos mayor módulo implica menor valor.
Una respuesta suficiente debe sostener argumentar equivalencias con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Ana afirma que √2 pertenece a Q porque está en la recta. Corregí.
Necesito una pista
Para trabajar distinguir discreto y denso, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La recta contiene racionales e irracionales; √2 es irracional y no pertenece a Q.
Una respuesta suficiente debe sostener distinguir discreto y denso con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Kiara resolvió “Decidí si −3 pertenece a Z, a Q o a ambos conjuntos.” y escribió “Solo a Z: los enteros no pueden escribirse como cocientes.”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Kiara con la condición de producir racionales entre dos dados. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción Solo a Z: los enteros no pueden escribirse como cocientes. conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de producir racionales entre dos dados.. La corrección usa producir racionales entre dos dados: Pertenece a ambos: es entero y también racional porque −3=−3/1..
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de producir racionales entre dos dados. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de producir racionales entre dos dados en la consigna si −3 pertenece a Z, a Q o a… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Indicá un racional entre −5/7 y −4/7.
Necesito una pista
Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo −9/14, pues −10/14<−9/14<−8/14.
La respuesta correcta es Por ejemplo −9/14, pues −10/14<−9/14<−8/14..
Ejercicio 20
Consigna
Entre enteros y racionales, ¿cuál inclusión es correcta?
Necesito una pista
Ubicá primero Entre enteros y racionales, ¿cuál inclusión es correcta. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Z⊂Q
La respuesta correcta es Z⊂Q. Todo entero z puede escribirse como z/1. por eso Z está incluido propiamente en Q.
Ejercicio 21
Consigna
Representá x>2/3 y explicá por qué no tiene primer racional.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Representá x>2/3 y explicá por qué no tiene primer racional. Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La semirrecta parte con extremo abierto en 2/3; la densidad impide un primer racional mayor.
Una respuesta suficiente debe sostener argumentar equivalencias con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 22
Consigna
¿Son equivalentes 14/21 y 0,66? Justificá exactamente.
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Son equivalentes 14/21 y 0,66. Justificá exactamente. Para trabajar argumentar equivalencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 14/21=2/3=0,666…; no equivale al decimal finito 0,66.
Una respuesta suficiente debe sostener argumentar equivalencias con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 23
Consigna
Compará −7/8 y −0,86.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en −7/8 y −0,86. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −7/8=−0,875, que es menor que −0,86.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
¿Cuál de estos racionales está entre 0,37 y 3/8?
Necesito una pista
Escribí los dos extremos y cada opción con denominador 1000 o en forma decimal exacta.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 371/1000
0,37=370/1000 y 3/8=0,375=375/1000; por lo tanto 371/1000 queda estrictamente entre ambos.
Ejercicio 25
Consigna
Usá una recta para reconstruir por qué (a+b)/2 está entre a y b si a<b.
Necesito una pista
Ubicá primero Usá una recta para reconstruir por qué (a+b)/2 está entre a y…. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El promedio queda a distancia (b−a)/2 de cada extremo, por eso está estrictamente entre ambos.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Encontrá un racional nuevo entre los dos que propusiste antes sin repetir el promedio.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Encontrá un racional nuevo entre los dos que propusiste antes sin repetir…. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si eran p<q, por ejemplo (2p+q)/3 es racional y queda estrictamente entre ellos.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 27
Consigna
Explicá cómo construir infinitos racionales entre a<b.
Necesito una pista
Representá el dato central de cómo construir infinitos racionales entre a<b. Para trabajar producir racionales entre dos dados, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los números a+(b−a)/n para n=2,3,… son racionales distintos y están entre a y b.
Una respuesta suficiente debe sostener producir racionales entre dos dados con datos y una propiedad explícita.