recta numérica
Representá Racionales en todas sus escrituras y notación científica con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con convertir representaciones. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las escrituras fraccionaria, decimal, científica y gráfica muestran aspectos distintos de un mismo racional.
Ya podés convertir representaciones y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a convertir representaciones. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Fracciones, decimales, razones, porcentajes y escalas.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. ¿Qué porcentaje representa 4/8. Respuesta. 50%.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-num-02.
- Operaciones combinadas y cálculo razonado.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad: en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-num-04.
La idea
Una fracción, un decimal y una notación científica pueden nombrar exactamente la misma cantidad. Cambiar de escritura no cambia el número: vuelve visibles propiedades diferentes. La fracción conserva exactitud, el decimal facilita ciertas comparaciones y la notación científica muestra la escala. En un decimal periódico, alinear y restar períodos permite hallar la fracción generatriz sin aproximar. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es convertir representaciones. El segundo es comparar. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Fracciones, decimales, razones, porcentajes y escalas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder interpretar escalas científicas con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué número tiene mayor orden de magnitud. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las escrituras fraccionaria, decimal, científica y gráfica muestran aspectos distintos: de un mismo racional.
Ejemplo resuelto
Definimos x=0,272727… y observamos que el período tiene dos cifras. Multiplicamos por 100. 100x=27,272727…. restamos x para eliminar la cola periódica. 99x=27. Concluimos x=27/99=3/11 y controlamos dividiendo 3÷11. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 1/5: porque se redondea 0,1666… a 0,2: al resolver ¿Cuál fracción genera 0,1666….
Por qué tienta: La elección atribuye a un redondeo la igualdad exacta pedida.
Cómo repararlo: Compará desarrollos decimales sin redondear.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las escrituras fraccionaria, decimal, científica y gráfica muestran aspectos distintos de un mismo racional.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás convertir representaciones con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Racionales en todas sus escrituras y notación científica.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Racionales en todas sus escrituras y notación científica trabaja este objeto matemático. Las escrituras fraccionaria, decimal, científica y gráfica muestran aspectos distintos de un mismo racional.
Qué hace falta antes
- Fracciones, decimales, razones, porcentajes y escalas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. ¿Qué porcentaje representa 4/8. Respuesta. 50%.
- Operaciones combinadas y cálculo razonado. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad. en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Racionales en todas sus escrituras y notación científica con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con convertir representaciones. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué número tiene mayor orden de magnitud. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las escrituras fraccionaria, decimal, científica y… Usala para reconocer qué. cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 1/5. porque se redondea 0,1666… a 0,2. Se reconoce porque 1/5=0,2 exacto, no 0,1666… periódico. Reparación. Compará desarrollos decimales sin redondear.
Comprobación rápida
¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
1/8 Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125?
Necesito una pista
Para trabajar elegir escritura útil, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1/8
La respuesta correcta es 1/8. 0,125=125/1000=1/8 después de simplificar por 125.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué número tiene mayor orden de magnitud?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué número tiene mayor orden de magnitud. Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6×10⁵
La respuesta correcta es 6×10⁵. 6×10⁵=600.000, que supera a las otras opciones por su exponente y su mantisa.
Ejercicio 3
Consigna
Ubicá 7/4 entre dos enteros consecutivos y justificá la ubicación.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Ubicá 7/4 entre dos enteros consecutivos y justificá la ubicación. Para trabajar elegir escritura útil, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7/4 está entre 1 y 2 porque 4/4 < 7/4 < 8/4.
Una respuesta suficiente debe sostener elegir escritura útil con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el punto de 0,3 a su fracción, predecí en qué décimo quedará y verificá con 3 de 10 partes.
Necesito una pista
Ubicá primero Antes de mover el punto de 0,3 a su fracción, predecí en…. Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Queda en el tercer décimo: 0,3 = 3/10; la partición confirma la equivalencia.
La respuesta correcta es Queda en el tercer décimo. 0,3 = 3/10. la partición confirma la equivalencia..
Ejercicio 5
Consigna
Convertí 0,45 a una fracción irreducible y escribí solo el numerador.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Convertí 0,45 a una fracción irreducible y escribí solo el numerador. Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 9
La respuesta correcta es 9. 0,45=45/100=9/20. la fracción irreducible tiene numerador 9.
Ejercicio 6
Consigna
Obtené la fracción generatriz de 0,272727… mostrando la resta entre 100x y x.
Necesito una pista
Representá el dato central de Obtené la fracción generatriz de 0,272727… mostrando la resta entre 100x y…. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si x=0,2727…, 100x−x=27; entonces 99x=27 y x=3/11.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar escalas científicas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 7
Consigna
¿Cuál es mayor?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Cuál es mayor. Para trabajar elegir escritura útil, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,41
La respuesta correcta es 0,41. 0,41 es mayor. 2/5=0,40 y 4×10⁻²=0,04.
Ejercicio 8
Consigna
Explicá por qué 0,4999… y 0,5 representan el mismo racional.
Necesito una pista
Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diferencia sería menor que toda potencia de diez y por eso es cero; también 0,4999…=1/2.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 9
Consigna
Escribí 0,000072 en notación científica e indicá el exponente.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Poné las cantidades en una escritura común y preservá el valor exacto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -5
0,000072=7,2×10⁻⁵; la coma se desplaza cinco lugares para obtener una mantisa entre 1 y 10, por eso el exponente es −5.
Ejercicio 10
Consigna
Ordená −3/2, −1,4 y −1,45 de menor a mayor y explicá tu criterio.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Ordená −3/2, −1,4 y −1,45 de menor a mayor y explicá tu…. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −3/2=−1,5; por lo tanto −1,5 < −1,45 < −1,4.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar escalas científicas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 11
Consigna
¿Qué escritura conviene para comparar 7/20 con 0,36?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Qué escritura conviene para comparar 7/20 con 0,36. Para trabajar elegir escritura útil, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: convertir 7/20 en 0,35
La respuesta correcta es convertir 7/20 en 0,35. 7/20=0,35. al convertirlo a decimal se compara directamente con 0,36.
Ejercicio 12
Consigna
Marcá 1,2×10³ y 12×10²: ¿qué observás?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Marcá 1,2×10³ y 12×10². ¿qué observás. Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Coinciden en 1200; la primera es notación científica normalizada y la segunda no.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Una bacteria mide 0,0000032 m. Elegí una escritura que haga visible la escala y explicá.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una bacteria mide 0,0000032 m. Elegí una escritura que haga visible la…. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,2×10⁻⁶ m hace visible el orden de magnitud 10⁻⁶ y permite comparar escalas.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar escalas científicas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Dos sensores informan 4,8×10⁻³ m y 0,0051 m. Decidí cuál registró más y cuánto.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Dos sensores informan 4,8×10⁻³ m y 0,0051 m. Decidí cuál registró más…. Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,0051 m es mayor; 0,0051−0,0048=0,0003 m.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 15
Consigna
Un informe dice que 2,5×10⁴ es 2500. Controlalo sin calculadora y corregí unidad por unidad.
Necesito una pista
Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es 25000: el exponente 4 multiplica 2,5 por 10000, no por 1000.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Tomás afirma que 0,1818…=18/100. Localizá el error y reparalo.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Tomás afirma que 0,1818…=18/100. Localizá el error y reparalo. Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 18/100 solo representa 0,18 finito; para el periódico, 100x−x=18 y x=2/11.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Lara escribe 0,00056=5,6×10⁴. Explicá qué signo debe tener el exponente.
Necesito una pista
Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El exponente es −4 porque el número es menor que 1: 0,00056=5,6×10⁻⁴.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar escalas científicas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Joaquín resolvió “¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125?” y escribió “1/125”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Joaquín con la condición de elegir escritura útil. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción 1/125 conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de elegir escritura útil.. La corrección usa elegir escritura útil: 1/8.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de elegir escritura útil. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de elegir escritura útil en la consigna ¿Cuál escritura es exactamente igual a 0,125 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Cuál fracción genera 0,1666…?
Necesito una pista
Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1/6
La respuesta correcta es 1/6. Si x=0,1666…. entonces 10x−x=1,5 y 9x=1,5. por eso x=1/6.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuántos lugares se desplaza la coma al pasar 7,31×10⁶ a escritura usual?
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Convertí las escrituras a un mismo valor exacto antes de comparar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
7,31×10⁶=7.310.000: para pasar a escritura usual, la coma se desplaza seis lugares hacia la derecha.
Ejercicio 21
Consigna
Compará 3,09×10⁻² y 0,031 sin redondear.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte 3,09×10⁻² y 0,031 sin redondear. Para trabajar comparar, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,09×10⁻²=0,0309, que es menor que 0,031 por 0,0001.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 22
Consigna
¿En qué intervalo está −11/4?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿En qué intervalo está −11/4. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [−3,−2)
La respuesta correcta es [−3,−2). −11/4=−2,75, valor incluido en [−3,−2).
Ejercicio 23
Consigna
Elegí entre fracción, decimal y científica para comunicar 1/3 de litro y justificá.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Elegí entre fracción, decimal y científica para comunicar 1/3 de litro y…. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La fracción 1/3 conserva el valor exacto; un decimal finito solo sería aproximado.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar escalas científicas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
Construí una recta de 0 a 1 dividida en 12 partes y explicá dónde coinciden 3/4 y 0,75.
Necesito una pista
Ubicá primero Construí una recta de 0 a 1 dividida en 12 partes y…. Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambos quedan en 9/12: 3/4=9/12 y 0,75=75/100=3/4.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 25
Consigna
Encontrá un racional entre 0,57 y 4/7 y verificá ambas desigualdades.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Encontrá un racional entre 0,57 y 4/7 y verificá ambas desigualdades. Para trabajar interpretar escalas científicas, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo 0,571: 0,57<0,571<0,571428…=4/7.
La respuesta correcta es Por ejemplo 0,571. 0,57<0,571<0,571428…=4/7..
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá cuándo una fracción irreducible tiene decimal finito.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá cuándo una fracción irreducible tiene decimal finito. Para trabajar convertir representaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Tiene decimal finito exactamente cuando el denominador solo contiene factores primos 2 y 5.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.