La semejanza conserva forma y organiza una relación multiplicativa entre longitudes correspondientes.
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La semejanza conserva forma y organiza una relación multiplicativa entre longitudes correspondientes.
Ya podés construir y decidir semejanza y comprobar el resultado
Una noche necesitás leer un plano, construir una figura o justificar una medida que no puede adivinarse. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar figuras, medidas y propiedades geométricas. La situación obliga a construir y decidir semejanza. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Respuesta. 28.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-alg-02.
Comprobación de treinta segundos. Nombrá qué conserva una traslación. Respuesta. Conserva distancias, ángulos, área y orientación.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-geo-02.
Dos triángulos son semejantes cuando conservan sus ángulos y sus lados correspondientes mantienen una misma razón. Los criterios AA, LAL y LLL permiten decidirlo sin medir todo. Tales traduce el paralelismo en proporcionalidad y vuelve posible medir distancias inaccesibles. La correspondencia entre lados debe establecerse antes de calcular: después, unidades y orden de magnitud controlan la interpretación. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. El primer objetivo es construir y decidir semejanza. El segundo es plantear proporciones. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Proporcionalidad directa e inversa: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder justificar mediciones indirectas con un caso que no copie el ejemplo.
Representá Triángulos semejantes y teorema de Tales con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con construir y decidir semejanza. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de En dos triángulos, lados 4 y 6 forman 50°, y 10 y…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La semejanza conserva forma y organiza una relación multiplicativa entre: longitudes correspondientes.
Una vara de 1,5 m proyecta 1 m de sombra: el árbol proyecta 8 m al mismo tiempo. Los rayos solares paralelos forman triángulos semejantes por AA. planteamos h/8=1,5/1. Obtenemos h=12 m y controlamos que la sombra ocho veces mayor corresponde a altura ocho veces mayor. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error: Se escribió 3,33 m: porque se calcula 5·2/3: al resolver Calculá una sombra si altura/sombra=2/3 y la altura es 5 m.
Por qué tienta: La elección conserva los datos de la razón: pero trata altura/sombra como sombra/altura.
Cómo repararlo: Escribí 5/s=2/3 y resolvé el producto cruzado antes de calcular.
¿Podrías explicarle a alguien por qué La semejanza conserva forma y organiza una relación multiplicativa entre longitudes correspondientes.
Sí, si vinculás construir y decidir semejanza con una propiedad y una representación que permita controlarla.
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Triángulos semejantes y teorema de Tales.
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Triángulos semejantes y teorema de Tales trabaja este objeto matemático. La semejanza conserva forma y organiza una relación multiplicativa entre longitudes correspondientes.
Representá Triángulos semejantes y teorema de Tales con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con construir y decidir semejanza. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de En dos triángulos, lados 4 y 6 forman 50°, y 10 y…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde. controlar la respuesta.
Error típico. responder 3,33 m. porque se calcula 5·2/3. Se reconoce porque La respuesta 3,33 m surge de multiplicar la altura por 2/3 en vez de despejar la sombra. Reparación. Escribí 5/s=2/3 y resolvé el producto cruzado antes de calcular.
Dos triángulos tienen lados 3,4,5 y 6,8,10. Decidí semejanza. Resolvelo y nombrá el control usado.
Son semejantes por LLL con razón 2. Control. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite.
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Dos triángulos tienen lados 3,4,5 y 6,8,10. Decidí semejanza.
Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: Son semejantes por LLL con razón 2.
La respuesta correcta es Son semejantes por LLL con razón 2..
Dos triángulos comparten ángulos de 40° y 70°. Justificá.
Ubicá primero Dos triángulos comparten ángulos de 40° y 70°. Justificá. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta: Son semejantes por AA; el tercer ángulo también mide 70°.
Una respuesta suficiente debe sostener justificar mediciones indirectas con datos y una propiedad explícita.
En dos triángulos, lados 4 y 6 forman 50°, y 10 y 15 forman 50°.
Leé de nuevo la parte En dos triángulos, lados 4 y 6 forman 50°, y 10 y…. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: Son semejantes por LAL porque 4/10=6/15 y el ángulo comprendido es igual.
La respuesta correcta es Son semejantes por LAL porque 4/10=6/15 y el ángulo comprendido es igual..
Mové una paralela a un lado de un triángulo y predecí qué cocientes permanecen.
Ubicá primero Mové una paralela a un lado de un triángulo y predecí qué…. Para trabajar plantear proporciones, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: Permanecen iguales los cocientes entre segmentos correspondientes por Tales.
Una respuesta suficiente debe sostener plantear proporciones con datos y una propiedad explícita.
Calculá x si 3/5=x/20.
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Emparejá lados homólogos antes de escribir una proporción.
Respuesta: 12
De 3/5=x/20 se obtiene x=20·3/5=12.
Explicá por qué paralelas que cortan dos transversales producen segmentos proporcionales.
Representá el dato central de por qué paralelas que cortan dos transversales producen segmentos proporcionales. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: Los triángulos formados comparten ángulos y son semejantes por AA; de allí surgen las proporciones.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
Un triángulo se amplía por razón 1,5. ¿Cómo cambia el perímetro?
Marcá qué cambia en Un triángulo se amplía por razón 1,5. ¿Cómo cambia el perímetro. Para trabajar plantear proporciones, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: El perímetro se multiplica por 1,5 porque cada lado lo hace.
La respuesta correcta es El perímetro se multiplica por 1,5 porque cada lado lo hace..
¿Cómo cambia el área con razón de semejanza 3?
Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta: El área se multiplica por 9 porque intervienen dos dimensiones lineales.
La respuesta correcta es El área se multiplica por 9 porque intervienen dos dimensiones lineales..
Construí un triángulo semejante de razón 2 con regla y paralelas.
Ubicá primero Construí un triángulo semejante de razón 2 con regla y paralelas. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: Desde un vértice se duplican dos lados sobre rayos y se unen los extremos; el lado nuevo queda paralelo al tercero.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
Da un contraejemplo a “igual perímetro implica semejanza”.
Leé de nuevo la parte Da un contraejemplo a “igual perímetro implica semejanza”. Para trabajar plantear proporciones, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta: Un rectángulo 1×5 y otro 2×4 tienen perímetro 12 pero distinta forma.
Una respuesta suficiente debe sostener plantear proporciones con datos y una propiedad explícita.
Identificá correspondencias antes de plantear 6/9=10/x.
Representá el dato central de Identificá correspondencias antes de plantear 6/9=10/x. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: Los lados 6 y 9 deben corresponder entre sí, igual que 10 y x; entonces x=15.
La respuesta correcta es Los lados 6 y 9 deben corresponder entre sí, igual que 10 y x. entonces x=15..
Explicá por qué AAA no prueba congruencia.
Marcá qué cambia en por qué AAA no prueba congruencia. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: AAA fija la forma pero no el tamaño; hay infinitos triángulos semejantes con distinta escala.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
Formulá cómo medir la altura de un árbol usando su sombra y una vara.
Representá el dato central de Formulá cómo medir la altura de un árbol usando su sombra y…. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta: Se miden ambas sombras y la vara; por triángulos semejantes, altura árbol/sombra árbol=altura vara/sombra vara.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
Elegí entre Tales y Pitágoras para hallar un ancho inaccesible con paralelas.
Marcá qué cambia en Elegí entre Tales y Pitágoras para hallar un ancho inaccesible con paralelas. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: Tales es pertinente si se construyen transversales cortadas por paralelas y se conocen tres segmentos correspondientes.
La respuesta correcta es Tales es pertinente si se construyen transversales cortadas por paralelas y se conocen tres segmentos correspondientes..
Una maqueta 1:50 tiene pared de 8 cm. Interpretá y controlá la altura real.
Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta: La altura real es 8·50=400 cm=4 m; convertir unidades controla el resultado.
Una respuesta suficiente debe sostener justificar mediciones indirectas con datos y una propiedad explícita.
“Lados 3,4,5 y 6,7,8 son semejantes porque crecieron”. Corregí.
Marcá qué cambia en “Lados 3,4,5 y 6,7,8 son semejantes porque crecieron”. Corregí. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: Los cocientes 6/3,7/4 y 8/5 no son iguales; no cumplen LLL.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
“Si dos lados son proporcionales alcanza LAL”. Repará.
Para trabajar plantear proporciones, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: LAL exige además igualdad del ángulo comprendido; sin ella puede variar la forma.
Una respuesta suficiente debe sostener plantear proporciones con datos y una propiedad explícita.
Analizá esta producción: «Olivia resolvió “Dos triángulos tienen lados 3,4,5 y 6,8,10. Decidí semejanza.” y escribió “Son congruentes por LLL con razón 2.”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Compará la producción de Olivia con la condición de construir y decidir semejanza. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción Son congruentes por LLL con razón 2. conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de construir y decidir semejanza.. La corrección usa construir y decidir semejanza: Son semejantes por LLL con razón 2..
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de construir y decidir semejanza. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de construir y decidir semejanza en la consigna Dos triángulos tienen lados 3,4,5 y 6,8,10. Decidí semejanza y escribí qué condición conservás.
Calculá una sombra si altura/sombra=2/3 y la altura es 5 m.
Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: La sombra es 7,5 m porque 5/s=2/3.
La respuesta correcta es La sombra es 7,5 m porque 5/s=2/3..
¿Qué criterio usa lados 5,7 con ángulo 60° y lados 10,14 con ángulo 60°?
Ubicá primero ¿Qué criterio usa lados 5,7 con ángulo 60° y lados 10,14 con…. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta: LAL, con razón 2 y ángulo comprendido igual.
La respuesta correcta es LAL, con razón 2 y ángulo comprendido igual..
Si la razón de áreas es 25, hallá la razón de longitudes.
Leé de nuevo la parte Si la razón de áreas es 25, hallá la razón de longitudes. Para trabajar plantear proporciones, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: La razón lineal positiva es 5, raíz cuadrada de 25.
La respuesta correcta es La razón lineal positiva es 5, raíz cuadrada de 25..
Dividí un segmento de 10 cm en razón 2:3.
Representá el dato central de Dividí un segmento de 10 cm en razón 2:3. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: Las partes miden 4 cm y 6 cm porque son cinco partes iguales de 2 cm.
La respuesta correcta es Las partes miden 4 cm y 6 cm porque son cinco partes iguales de 2 cm..
Justificá que una paralela a un lado forma un triángulo semejante.
Marcá qué cambia en Justificá que una paralela a un lado forma un triángulo semejante. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta: Comparte el ángulo del vértice y los correspondientes son iguales por paralelismo; se aplica AA.
Una respuesta suficiente debe sostener justificar mediciones indirectas con datos y una propiedad explícita.
Reconstruí Tales con una tabla de segmentos correspondientes.
Ubicá primero Reconstruí Tales con una tabla de segmentos correspondientes. Para trabajar construir y decidir semejanza, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: Se alinean pares sobre las mismas transversales y se comprueba que todos los cocientes conservan una constante.
Una respuesta suficiente debe sostener construir y decidir semejanza con datos y una propiedad explícita.
Reintentá una medición indirecta con vara de 1,2 m, sombras 0,8 m y 6 m.
Leé de nuevo la parte Reintentá una medición indirecta con vara de 1,2 m, sombras 0,8 m…. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta: La altura buscada es 1,2·6/0,8=9 m.
Una respuesta suficiente debe sostener justificar mediciones indirectas con datos y una propiedad explícita.
Generalizá la relación entre razón lineal k, perímetro y área.
Representá el dato central de Generalizá la relación entre razón lineal k, perímetro y área. Para trabajar justificar mediciones indirectas, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: Los perímetros se multiplican por |k| y las áreas por k².
Una respuesta suficiente debe sostener justificar mediciones indirectas con datos y una propiedad explícita.