tabla
Representá Generalización y equivalencia de fórmulas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con producir fórmulas. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Dos fórmulas pueden describir el mismo patrón cuando son equivalentes para todos los valores.
Ya podés producir fórmulas y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a producir fórmulas. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. La sucesión empieza en 5 y suma 5 cada vez. ¿Cuál es el término 8. Respuesta. 40.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-alg-01.
- Cálculo racional, potencias y control de resultados.
Comprobación de treinta segundos. Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el cambio exacto. Respuesta. -1/12.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-num-03.
La idea
Un patrón puede describirse indicando cómo pasar de una figura a la siguiente o mediante una fórmula que permita hallar cualquier término. La regla recursiva necesita un inicio: la explícita relaciona directamente posición y cantidad. Dos expresiones representan el mismo patrón solo si coinciden para todos los valores, algo que puede justificarse con distributiva, factor común y significado: figural, no con pocos casos. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es producir fórmulas. El segundo es comparar reglas. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder demostrar equivalencia por transformación y significado con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Traducí “el triple del siguiente de n” a una fórmula. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Dos fórmulas pueden describir el mismo patrón cuando son equivalentes: para todos los valores.
Ejemplo resuelto
La figura 1 tiene 5 fichas y cada paso agrega 3: la regla recursiva es a1=5, a(n+1)=an+3. Desde el inicio, an=5+3(n−1): al distribuir se obtiene an=3n+2. Controlamos n=1 y n=4 en ambas fórmulas: producen 5 y 14: la transformación algebraica prueba equivalencia para todo n. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió aₙ=4n+2, usando 2 como término constante: al resolver Escribí una fórmula para 2,6,10,14.
Por qué tienta: La elección identifica la diferencia 4: pero suma el término inicial sin ajustar el índice que comienza en 1.
Cómo repararlo: Construí aₙ=a₁+d(n−1) y recién después simplificá.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Dos fórmulas pueden describir el mismo patrón cuando son equivalentes para todos los valores.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás producir fórmulas con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Generalización y equivalencia de fórmulas.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Generalización y equivalencia de fórmulas trabaja este objeto matemático. Dos fórmulas pueden describir el mismo patrón cuando son equivalentes para todos los valores.
Qué hace falta antes
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. La sucesión empieza en 5 y suma 5 cada vez. ¿Cuál es el término 8. Respuesta. 40.
- Cálculo racional, potencias y control de resultados. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Un saldo cambia en 3/4−5/6 de unidad. Calculá el cambio exacto. Respuesta. -1/12.
Dos representaciones
tabla
Representá Generalización y equivalencia de fórmulas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con producir fórmulas. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Traducí “el triple del siguiente de n” a una fórmula. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Dos fórmulas pueden describir… Usala para reconocer qué cambia, qué. permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder aₙ=4n+2, usando 2 como término constante. Se reconoce porque Para n=1, la fórmula propuesta da 6 y no el primer término 2. Reparación. Construí aₙ=a₁+d(n−1) y recién después simplificá.
Comprobación rápida
La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
La sucesión es 4, 7, 10, 13. la diferencia constante es 3. Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4.
Necesito una pista
Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La sucesión es 4, 7, 10, 13; la diferencia constante es 3.
La respuesta correcta es La sucesión es 4, 7, 10, 13. la diferencia constante es 3..
Ejercicio 2
Consigna
Traducí “el triple del siguiente de n” a una fórmula.
Necesito una pista
Ubicá primero Traducí “el triple del siguiente de n” a una fórmula. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La fórmula es 3(n+1); primero se forma el siguiente y luego se triplica.
La respuesta correcta es La fórmula es 3(n+1). primero se forma el siguiente y luego se triplica..
Ejercicio 3
Consigna
¿Son equivalentes 4n+8 y 4(n+2)? Justificá.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Son equivalentes 4n+8 y 4(n+2). Justificá. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí; al distribuir 4(n+2)=4n+8 para todo n.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 4
Consigna
Con fichas, predecí cuántas agrega cada paso de 3n+1 y comprobá n=2,3,4.
Necesito una pista
Ubicá primero Con fichas, predecí cuántas agrega cada paso de 3n+1 y comprobá n=2,3,4. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Agrega 3 fichas por paso; los valores 7,10,13 tienen diferencia constante 3.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar reglas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 5
Consigna
Para 5,8,11,14 escribí una regla recursiva.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Para 5,8,11,14 escribí una regla recursiva. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a1=5 y a(n+1)=a(n)+3.
La respuesta correcta es a1=5 y a(n+1)=a(n)+3.. La sucesión parte de 5 y suma 3 en cada paso. a₁=5 y aₙ₊₁=aₙ+3.
Ejercicio 6
Consigna
Escribí una regla explícita para 5,8,11,14.
Necesito una pista
Representá el dato central de una regla explícita para 5,8,11,14. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: an=5+3(n−1)=3n+2.
La respuesta correcta es an=5+3(n−1)=3n+2.. Desde 5 se realizan n−1 incrementos de 3. aₙ=5+3(n−1)=3n+2.
Ejercicio 7
Consigna
Una figura tiene dos filas de n cuadrados y 3 fijos. Formulá el total.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Una figura tiene dos filas de n cuadrados y 3 fijos. Formulá…. Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El total es 2n+3: 2n representa las filas variables y 3 la parte fija.
Una respuesta suficiente debe sostener producir fórmulas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 8
Consigna
Calculá 2n²−n para n=4.
Necesito una pista
Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El valor es 2·16−4=28.
La respuesta correcta es El valor es 2·16−4=28..
Ejercicio 9
Consigna
Extraé factor común de 6n+9.
Necesito una pista
Ubicá primero Extraé factor común de 6n+9. Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6n+9=3(2n+3); 3 es divisor común de ambos términos.
La respuesta correcta es 6n+9=3(2n+3). 3 es divisor común de ambos términos..
Ejercicio 10
Consigna
Mostrá con un rectángulo por qué 3(n+4)=3n+12.
Necesito una pista
Partí el rectángulo de lados 3 y n+4 en dos rectángulos de anchos n y 4; compará sus áreas.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un rectángulo de lados 3 y n+4 se parte en áreas 3n y 12; el área total coincide.
Un rectángulo de lados 3 y n+4 se parte en áreas 3n y 12; el área total coincide.
Ejercicio 11
Consigna
Compará n²+n y 2n para n=1,2,3. ¿Son equivalentes?
Necesito una pista
Representá el dato central de n²+n y 2n para n=1,2,3. ¿Son equivalentes. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Coinciden solo en n=1; para 2 y 3 dan 6 frente a 4, y 12 frente a 6. No son equivalentes.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 12
Consigna
Hallá el término 20 de 7,11,15,… sin enumerar.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Separá valor inicial, cambio por paso y cantidad de pasos n−1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 83
La diferencia es 4; a₂₀=7+19·4=83.
Ejercicio 13
Consigna
Un borde cuadrado crece: en etapa n tiene 4n+4 piezas. Explicá qué representan ambos términos.
Necesito una pista
Representá el dato central de Un borde cuadrado crece. en etapa n tiene 4n+4 piezas. Explicá qué…. Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4n cuenta cuatro lados variables y 4 las esquinas que permanecen.
Una respuesta suficiente debe sostener producir fórmulas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Dos equipos proponen 6n+12 y 3(2n+4). Decidí si describen siempre el mismo costo.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Dos equipos proponen 6n+12 y 3(2n+4). Decidí si describen siempre el mismo…. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí: 3(2n+4)=6n+12 por distributiva, para todo n.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 15
Consigna
Una tabla para an=5−2n muestra 3,1,0 en n=1,2,3. Auditá.
Necesito una pista
Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los valores correctos son 3,1,−1; el tercer registro rompe la diferencia −2.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Mara transforma 4(n+3) en 4n+3. Localizá y repará.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Mara transforma 4(n+3) en 4n+3. Localizá y repará. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Debe multiplicar ambos sumandos: 4(n+3)=4n+12.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Leo dice que la regla recursiva “sumar 5” alcanza sin término inicial.
Necesito una pista
Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Falta indicar un valor inicial; distintas sucesiones pueden crecer de 5 en 5.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar reglas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Pedro resolvió “La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4.” y escribió “4,8,12,16: se multiplica cada figura por su número de etapa.”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Pedro con la condición de producir fórmulas. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción 4,8,12,16: se multiplica cada figura por su número de etapa. conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de producir fórmulas.. La corrección usa producir fórmulas: La sucesión es 4, 7, 10, 13; la diferencia constante es 3..
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de producir fórmulas. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de producir fórmulas en la consigna La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Escribí una fórmula para 2,6,10,14.
Necesito una pista
Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: an=2+4(n−1)=4n−2.
La respuesta correcta es an=2+4(n−1)=4n−2.. La diferencia es 4 y a₁=2. por eso aₙ=2+4(n−1)=4n−2.
Ejercicio 20
Consigna
Completá n=1,2,5 para 3n−1.
Necesito una pista
Ubicá primero Completá n=1,2,5 para 3n−1. Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los valores son 2,5,14.
La respuesta correcta es Los valores son 2,5,14.. Al sustituir n=1,2,5 en 3n−1 se obtienen 2,5,14.
Ejercicio 21
Consigna
Probá que 5(n−2)+3n y 8n−10 son equivalentes.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Probá que 5(n−2)+3n y 8n−10 son equivalentes. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Distribuir da 5n−10+3n=8n−10.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 22
Consigna
Una escalera usa 1+2+…+n bloques. ¿Es lineal?
Necesito una pista
Representá el dato central de Una escalera usa 1+2+…+n bloques. ¿Es lineal. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No; los incrementos son 2,3,4,… y no constantes; la regla es n(n+1)/2.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 23
Consigna
Compará 2n+7 y 3n+1: ¿desde qué n natural la segunda es mayor?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en 2n+7 y 3n+1. ¿desde qué n natural la segunda es mayor. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3n+1>2n+7 cuando n>6; desde n=7.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar reglas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
La sucesión está dada por a(n)=3n²−n. ¿Cuánto aumenta desde n=4 hasta n=5?
Necesito una pista
Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 26
La respuesta correcta es 26. a(4)=3·16−4=44 y a(5)=3·25−5=70. el aumento es 70−44=26.
Ejercicio 25
Consigna
Reconstruí 4n+1 con grupos de fichas y explicá la parte constante.
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstruí 4n+1 con grupos de fichas y explicá la parte constante. Para trabajar producir fórmulas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se forman cuatro grupos de n y una ficha aislada; al crecer n solo aumentan los cuatro grupos.
Una respuesta suficiente debe sostener producir fórmulas con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Para 9,7,5,3 escribí reglas recursiva y explícita.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Para 9,7,5,3 escribí reglas recursiva y explícita. Para trabajar comparar reglas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a1=9, a(n+1)=an−2; explícita an=11−2n.
La respuesta correcta es a1=9, a(n+1)=an−2. explícita an=11−2n.. La diferencia es −2. a₁=9, aₙ₊₁=aₙ−2 y aₙ=9−2(n−1)=11−2n.
Ejercicio 27
Consigna
Generalizá una sucesión aritmética de inicio a y diferencia d.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá una sucesión aritmética de inicio a y diferencia d. Para trabajar demostrar equivalencia por transformación y significado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: an=a+(n−1)d; suma d una vez por cada paso desde el primero.
Una respuesta suficiente debe sostener demostrar equivalencia por transformación y significado con datos y una propiedad explícita.