tabla
Representá Proporcionalidad directa e inversa con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con detectar si hay proporcionalidad. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
En proporcionalidad directa el cociente y/x es constante y el gráfico es una recta por el origen.
Ya podés detectar si hay proporcionalidad y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a detectar si hay proporcionalidad. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Fracciones, decimales, razones, porcentajes y escalas.
Comprobación de treinta segundos. Una escala usa 1 cm por 500 m. ¿Cuántos metros son 3,4 cm. Respuesta. 1700.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-06.
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico.
Comprobación de treinta segundos. En y=5x, calculá y para x=7. Respuesta. 35.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-02.
La idea
En proporcionalidad directa el cociente y/x es constante y el gráfico es una recta por el origen. En la inversa, el producto xy es constante y al crecer una variable la otra disminuye. Regla de tres, escala y porcentaje son consecuencias de reconocer esa estructura, no recetas universales. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es detectar si hay proporcionalidad. El segundo es hallar e interpretar constante. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Proporcionalidad, escalas, porcentajes y decisiones: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder rechazar modelos inadecuados con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Diagnóstico. En una relación inversa xy=12, calculá y cuando x=5. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En proporcionalidad directa el cociente y/x es constante y el: gráfico es una recta por el origen.
Ejemplo resuelto
Tres kilogramos cuestan $7.500: buscamos el costo de 8 kg al mismo precio por kg. Constante directa. 7.500÷3=2.500 $/kg. Modelo C=2.500k. Para 8 kg. C=2.500·8=$20.000. En la tabla, cada cociente C/k vale 2.500. Control: más del doble de cantidad produce más del doble de costo y el gráfico pasa por el origen. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió No al resolver ¿Es directa la tabla (2,7),(4,14),(10,35).
Por qué tienta: Busca una diferencia aditiva constante en lugar de una razón multiplicativa constante.
Cómo repararlo: Calculá 7/2, 14/4 y 35/10: la proporcionalidad directa se decide por la igualdad de esos cocientes.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué En proporcionalidad directa el cociente y/x es constante y el gráfico es una recta por el origen.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás detectar si hay proporcionalidad con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Proporcionalidad directa e inversa.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Proporcionalidad directa e inversa trabaja este objeto matemático. En proporcionalidad directa el cociente y/x es constante y el gráfico es una recta por el origen.
Qué hace falta antes
- Fracciones, decimales, razones, porcentajes y escalas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Una escala usa 1 cm por 500 m. ¿Cuántos metros son 3,4 cm. Respuesta. 1700.
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En y=5x, calculá y para x=7. Respuesta. 35.
Dos representaciones
tabla
Representá Proporcionalidad directa e inversa con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con detectar si hay proporcionalidad. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Diagnóstico. En una relación inversa xy=12, calculá y cuando x=5. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En proporcionalidad directa el… Usala para reconocer qué cambia, qué. permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder No. Se reconoce porque Rechaza la proporcionalidad directa sin comparar los cocientes y/x. Reparación. Calculá 7/2, 14/4 y 35/10. la proporcionalidad directa se decide por la igualdad de esos cocientes.
Comprobación rápida
Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
28 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7.
Necesito una pista
Representá la relación de directa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 28
En proporcionalidad directa el cociente y/x permanece igual a k.
Ejercicio 2
Consigna
Diagnóstico. En una relación inversa xy=12, calculá y cuando x=5.
Necesito una pista
Ubicá primero Diagnóstico. En una relación inversa xy=12, calculá y cuando x=5. Para trabajar hallar e interpretar constante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2.4
La respuesta correcta es 2.4. En proporcionalidad inversa y=k/x.
Ejercicio 3
Consigna
Diagnóstico. ¿Cuál tabla puede ser de proporcionalidad directa?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de reconocer modelo. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x: 1,2,3; y: 4,8,12
Solo en la segunda tabla el cociente y/x es constante e igual a 4.
Ejercicio 4
Consigna
En y=3x, si x pasa de 4 a 8, ¿qué predecís para y?
Necesito una pista
Ubicá primero En y=3x, si x pasa de 4 a 8, ¿qué predecís para…. Para trabajar hallar e interpretar constante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: pasa de 12 a 24
La respuesta correcta es pasa de 12 a 24. Duplicar x duplica y cuando k es constante.
Ejercicio 5
Consigna
Una tabla directa contiene (x,y)=(5,18). Hallá y para x=15.
Necesito una pista
Representá la relación de tabla directa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 54
k=18/5=3,6 y 15·3,6=54.
Ejercicio 6
Consigna
¿Cuál tabla es proporcional directa?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál tabla es proporcional directa. Para trabajar detectar si hay proporcionalidad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (1,4),(2,8),(5,20)
La respuesta correcta es (1,4),(2,8),(5,20). y/x=4 en todos los pares.
Ejercicio 7
Consigna
¿Qué gráfico representa proporcionalidad directa?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Qué gráfico representa proporcionalidad directa. Para trabajar detectar si hay proporcionalidad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: recta que pasa por el origen
La respuesta correcta es recta que pasa por el origen. y=kx implica y=0 cuando x=0.
Ejercicio 8
Consigna
En una escala 1:250, 6 cm representan ¿cuántos metros?
Necesito una pista
Para trabajar coordinar representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15
La respuesta correcta es 15. 6·250=1500 cm=15 m.
Ejercicio 9
Consigna
Calculá 18% de 350.
Necesito una pista
Representá la relación de porcentaje. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 63
0,18·350=63.
Ejercicio 10
Consigna
Cuatro máquinas iguales tardan 15 h. Bajo productividad constante, ¿cuánto tardan 6?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Cuatro máquinas iguales tardan 15 h. Bajo productividad constante, ¿cuánto tardan 6. Para trabajar rechazar modelos inadecuados, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
La respuesta correcta es 10. Máquinas·horas=60. 60/6=10.
Ejercicio 11
Consigna
En una relación inversa, si x se triplica, y:
Necesito una pista
Representá el dato central de En una relación inversa, si x se triplica, y. Para trabajar detectar si hay proporcionalidad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: se divide por 3
La respuesta correcta es se divide por 3. xy debe permanecer constante.
Ejercicio 12
Consigna
Explicá por qué la regla de tres no sirve automáticamente para cualquier tabla creciente.
Necesito una pista
Usá condicion modelo: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Hace falta verificar cociente constante; una relación puede crecer con término fijo o de forma no lineal.
La estructura precede al procedimiento.
Ejercicio 13
Consigna
Un supermercado ofrece 3 paquetes por $4.800 o 5 por $7.750. ¿Cuál tiene menor precio unitario y qué supuesto permite comparar?
Necesito una pista
Representá el dato central de Un supermercado ofrece 3 paquetes por $4.800 o 5 por $7.750. ¿Cuál…. Para trabajar rechazar modelos inadecuados, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Precios unitarios $1.600 y $1.550; conviene el segundo si paquetes son equivalentes y no hay otros costos.
Una respuesta suficiente debe sostener rechazar modelos inadecuados con datos y una propiedad explícita. La comparación usa razón precio/cantidad y explicita equivalencia del producto.
Ejercicio 14
Consigna
Un plano de aula a escala 1:100 muestra 8,4 cm por 6,2 cm. Hallá el área real en m².
Necesito una pista
Representá la relación de escala area. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 52.08
Dimensiones 8,4 m y 6,2 m; área 52,08 m².
Ejercicio 15
Consigna
Doce personas tienen alimento para 18 días. Llegan 6 más, con consumo igual. Estimá duración y controlá el sentido.
Necesito una pista
Para trabajar rechazar modelos inadecuados, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cantidad total persona-días=216; para 18 personas dura 12 días. Debe disminuir al aumentar personas.
Una respuesta suficiente debe sostener rechazar modelos inadecuados con datos y una propiedad explícita. El producto permanece si ración y total son fijos.
Ejercicio 16
Consigna
Análisis de error. Mili usa regla de tres en una relación que tiene costo fijo. Corregí.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá detectar si hay proporcionalidad. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con costo fijo la razón total/cantidad no es constante; corresponde un modelo afín.
Con costo fijo la razón total/cantidad no es constante; corresponde un modelo afín.
Ejercicio 17
Consigna
Análisis de error. Teo dice que al duplicar trabajadores siempre se reduce el tiempo a la mitad. Corregí.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá hallar e interpretar constante. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Solo bajo condiciones de productividad constante y trabajo divisible hay proporcionalidad inversa.
Solo bajo condiciones de productividad constante y trabajo divisible hay proporcionalidad inversa.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Facundo resolvió “Una tabla directa contiene (x,y)=(5,18). Hallá y para x=15.” y escribió “55”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Facundo con la condición de coordinar representaciones. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 55 se separa del valor esperado después de una única transformación de coordinar representaciones.. La corrección usa coordinar representaciones: 54.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de coordinar representaciones sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de coordinar representaciones en la consigna Una tabla directa contiene (x,y)=(5,18). Hallá y para x=15 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Es directa la tabla (2,7),(4,14),(10,35)?
Necesito una pista
Para trabajar hallar e interpretar constante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí, k=3,5
La respuesta correcta es Sí, k=3,5. Todos los cocientes valen 3,5.
Ejercicio 20
Consigna
Si y=7,2x, hallá x cuando y=90.
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar invertir. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 12.5
x=90/7,2=12,5.
Ejercicio 21
Consigna
Un descuento de 15% sobre $24.000 deja un precio de:
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar porcentaje. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 20400
Se paga 85%: 0,85·24000.
Ejercicio 22
Consigna
Tres bombas llenan un tanque en 8 h. ¿Cuánto tardan 4 iguales?
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar inversa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
3·8=24 bomba-horas; 24/4=6.
Ejercicio 23
Consigna
Una recta y=4x+2, ¿es proporcional directa?
Necesito una pista
Aplicá evaluar modelo sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No; aunque tiene tasa constante, corta al eje y en 2 y no pasa por el origen, por lo que y/x no es constante.
Distingue función afín de proporcionalidad.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: completá x=1,2,4 para y=6x y registrá cocientes.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante reconstruir constante: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=6,12,24; en todos los casos y/x=6.
La tabla hace visible k.
Ejercicio 25
Consigna
Reintento: 7 entradas cuestan $31.500. ¿Cuánto cuestan 12 al mismo valor?
Necesito una pista
Representá la relación de reintentar directa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 54000
Precio unitario 4500; 12·4500=54000.
Ejercicio 26
Consigna
Profundización: explicá cómo cambia el área de una figura a escala k aunque sus longitudes sean directamente proporcionales.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante conectar geometria: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las longitudes se multiplican por k, pero el área por k² porque se multiplican dos dimensiones.
No toda magnitud escala con el mismo exponente.