tabla
Representá Ecuaciones en una y dos variables y sistemas lineales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con modelizar. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Un sistema expresa condiciones simultáneas y su solución es común a ambas relaciones.
Ya podés modelizar y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a modelizar. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Ecuaciones lineales de una variable.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Resolvé x+3=11. Respuesta. 8.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-alg-03.
- Funciones lineales y primeras funciones no lineales.
Comprobación de treinta segundos. En f(x)=3x−2, calculá f(4). Respuesta. 10.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-02.
La idea
Una ecuación en dos variables representa todos los pares que cumplen una condición: gráficamente, una recta. Un sistema busca los pares comunes a dos condiciones. Sustitución, igualación, eliminación y gráfico expresan la misma búsqueda desde registros diferentes. Resolver no termina al obtener números: sustituir el par en ambas ecuaciones permite distinguir una solución verdadera de un error de procedimiento. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es modelizar. El segundo es resolver por más de un registro. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Ecuaciones lineales de una variable: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder interpretar intersecciones y soluciones con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de 3(x−2)=12. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un sistema expresa condiciones simultáneas y su solución es común: a ambas relaciones.
Ejemplo resuelto
Para x+y=9 y x−y=1 elegimos eliminación porque los coeficientes de y son opuestos. Sumamos. 2x=10, x=5: sustituimos en x+y=9 y obtenemos y=4. Controlamos el par (5,4) en ambas ecuaciones. 5+4=9 y 5−4=1. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió (3,3): porque no se controla 3x+y=11: al resolver Resolvé 3x+y=11, x−y=1.
Por qué tienta: La elección se acerca a los valores de la solución: pero no sustituye el par en ninguna ecuación.
Cómo repararlo: Después de resolver, verificá siempre el par en las dos ecuaciones originales.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Un sistema expresa condiciones simultáneas y su solución es común a ambas relaciones.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás modelizar con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Ecuaciones en una y dos variables y sistemas lineales.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Ecuaciones en una y dos variables y sistemas lineales trabaja este objeto matemático. Un sistema expresa condiciones simultáneas y su solución es común a ambas relaciones.
Qué hace falta antes
- Ecuaciones lineales de una variable. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Resolvé x+3=11. Respuesta. 8.
- Funciones lineales y primeras funciones no lineales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En f(x)=3x−2, calculá f(4). Respuesta. 10.
Dos representaciones
tabla
Representá Ecuaciones en una y dos variables y sistemas lineales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con modelizar. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de 3(x−2)=12. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un sistema expresa condiciones simultáneas y su solución es común. a ambas relaciones. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder (3,3). porque no se controla 3x+y=11. Se reconoce porque El par cumple x−y=0, no 1, y además 3·3+3=12, no 11. Reparación. Después de resolver, verificá siempre el par en las dos ecuaciones originales.
Comprobación rápida
Verificá si (2,5) satisface y=2x+1. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
Sí. porque 5=2·2+1. Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Verificá si (2,5) satisface y=2x+1.
Necesito una pista
Para trabajar verificar pares, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí, porque 5=2·2+1.
La respuesta correcta es Sí. porque 5=2·2+1..
Ejercicio 2
Consigna
Resolvé 3(x−2)=12.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Conservá equivalencia y verificá la solución en todas las ecuaciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
3(x−2)=12 implica x−2=4; por lo tanto x=6, y 3·4=12 verifica la solución.
Ejercicio 3
Consigna
Resolvé x/3+1/2=5/6.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte x/3+1/2=5/6. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
La respuesta correcta es 1. x/3=5/6−1/2=5/6−3/6=1/3. entonces x=1.
Ejercicio 4
Consigna
Mové una recta y predecí la intersección con y=−x+6; controlá sustituyendo el par.
Necesito una pista
Ubicá primero Mové una recta y predecí la intersección con y=−x+6. controlá sustituyendo el…. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La intersección elegida debe satisfacer ambas ecuaciones; sustituir en las dos verifica el estado.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 5
Consigna
Describí todos los pares que satisfacen x+y=7.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Describí todos los pares que satisfacen x+y=7. Para trabajar verificar pares, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son los puntos de la recta y=7−x, por ejemplo (0,7),(3,4),(7,0).
Una respuesta suficiente debe sostener verificar pares con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 6
Consigna
Resolvé y=2x+1, y=x+4 por igualación.
Necesito una pista
Representá el dato central de y=2x+1, y=x+4 por igualación. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2x+1=x+4 da x=3; entonces y=7.
La respuesta correcta es 2x+1=x+4 da x=3. entonces y=7..
Ejercicio 7
Consigna
Resolvé x+y=9, x−y=1 por eliminación.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en x+y=9, x−y=1 por eliminación. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al sumar: 2x=10, x=5; luego y=4.
La respuesta correcta es Al sumar. 2x=10, x=5. luego y=4..
Ejercicio 8
Consigna
Resolvé 2x+y=8, y=3x−2 por sustitución.
Necesito una pista
Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2x+3x−2=8; x=2 y y=4.
La respuesta correcta es 2x+3x−2=8. x=2 y y=4..
Ejercicio 9
Consigna
Interpretá dos rectas paralelas distintas como sistema.
Necesito una pista
Ubicá primero Interpretá dos rectas paralelas distintas como sistema. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No tienen punto común, por lo que el sistema no tiene solución.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 10
Consigna
Interpretá dos ecuaciones equivalentes.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Interpretá dos ecuaciones equivalentes. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Representan la misma recta y todos sus puntos son soluciones: hay infinitas.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 11
Consigna
Explicá por qué multiplicar una ecuación por −2 conserva soluciones.
Necesito una pista
Representá el dato central de por qué multiplicar una ecuación por −2 conserva soluciones. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se realizan operaciones inversibles en ambos miembros; dividir luego por −2 recupera la original.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 12
Consigna
Compará métodos para y=5x−1 y 2x+y=20.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en métodos para y=5x−1 y 2x+y=20. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sustitución es directa porque y ya está despejada; da x=3 y y=14.
Una respuesta suficiente debe sostener resolver por más de un registro con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Entradas adultas y menores suman 40; recaudan 260000 con precios 8000 y 5000. Formulá.
Necesito una pista
Representá el dato central de Entradas adultas y menores suman 40. recaudan 260000 con precios 8000 y…. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a+m=40 y 8000a+5000m=260000.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Para 3x+2y=12 y x−2y=4 elegí un método eficiente y resolvé.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Para 3x+2y=12 y x−2y=4 elegí un método eficiente y resolvé. Para trabajar modelizar, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Eliminar y al sumar da 4x=16, x=4; luego y=0.
La respuesta correcta es Eliminar y al sumar da 4x=16, x=4. luego y=0..
Ejercicio 15
Consigna
Una solución propuesta es (4,3) para x+y=7 y 2x−y=5. Controlá.
Necesito una pista
Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cumple 4+3=7 y 8−3=5; es solución de ambas condiciones.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Eva distribuye 2(x−3)=2x−3. Repará.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Eva distribuye 2(x−3)=2x−3. Repará. Para trabajar modelizar, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Debe distribuir 2 a ambos términos: 2x−6.
Una respuesta suficiente debe sostener modelizar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Al eliminar, Pedro suma x+y=8 y x−y=2 pero obtiene x=10.
Necesito una pista
Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La suma da 2x=10; falta dividir por 2, así que x=5.
Una respuesta suficiente debe sostener resolver por más de un registro con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Santiago resolvió “Verificá si (2,5) satisface y=2x+1.” y escribió “No, porque 5=2·2+1.”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Santiago con la condición de verificar pares. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción No, porque 5=2·2+1. conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de verificar pares.. La corrección usa verificar pares: Sí, porque 5=2·2+1..
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de verificar pares. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de verificar pares en la consigna Verificá si (2,5) satisface y=2x+1 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Resolvé 5−2(x+1)=−3.
Necesito una pista
Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3
La respuesta correcta es 3. 5−2(x+1)=−3 se reduce a 3−2x=−3. de ahí −2x=−6 y x=3.
Ejercicio 20
Consigna
Resolvé 3x+y=11, x−y=1.
Necesito una pista
Ubicá primero 3x+y=11, x−y=1. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al sumar 4x=12: x=3; luego y=2.
La respuesta correcta es Al sumar 4x=12. x=3. luego y=2..
Ejercicio 21
Consigna
Verificá (−1,4) en 2x+y=2 y x+2y=7.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Verificá (−1,4) en 2x+y=2 y x+2y=7. Para trabajar verificar pares, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cumple −2+4=2 y −1+8=7.
La respuesta correcta es Cumple −2+4=2 y −1+8=7..
Ejercicio 22
Consigna
Dos números suman 18 y difieren en 4. Hallalos.
Necesito una pista
Representá el dato central de Dos números suman 18 y difieren en 4. Hallalos. Para trabajar modelizar, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x+y=18, x−y=4; x=11 e y=7.
Una respuesta suficiente debe sostener modelizar con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 23
Consigna
Compará y=2x+3 y 2y=4x+8.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en y=2x+3 y 2y=4x+8. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La segunda es y=2x+4: son paralelas distintas y no se intersectan.
Una respuesta suficiente debe sostener resolver por más de un registro con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstruí 2x+3=11 con una balanza.
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstruí 2x+3=11 con una balanza. Para trabajar verificar pares, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se quitan 3 unidades de ambos platillos y quedan 2x=8; se reparten en dos grupos: x=4.
Una respuesta suficiente debe sostener verificar pares con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 25
Consigna
Resolvé con fracciones x/2+y/3=3 y x/2−y/3=1.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte con fracciones x/2+y/3=3 y x/2−y/3=1. Para trabajar resolver por más de un registro, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al sumar x=4; luego 2+y/3=3 y y=3.
La respuesta correcta es Al sumar x=4. luego 2+y/3=3 y y=3..
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá la cantidad de soluciones según pendientes y ordenadas.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá la cantidad de soluciones según pendientes y ordenadas. Para trabajar interpretar intersecciones y soluciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Pendientes distintas: una; iguales y ordenadas distintas: ninguna; ambas iguales: infinitas.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar intersecciones y soluciones con datos y una propiedad explícita.