tabla
Representá Funciones lineales y primeras funciones no lineales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con pasar entre registros. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una función coordina situación, tabla, gráfico y fórmula; sus parámetros describen cambio y valor inicial.
Ya podés pasar entre registros y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a pasar entre registros. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Proporcionalidad directa e inversa.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Respuesta. 28.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-alg-02.
- Generalización y equivalencia de fórmulas.
Comprobación de treinta segundos. La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4. Respuesta. La sucesión es 4, 7, 10, 13: la diferencia constante es 3.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-01.
La idea
sus parámetros describen cambio y valor inicial. En una función, cada entrada admitida determina una salida. La situación define las variables y restringe el dominio: la tabla organiza pares, el gráfico muestra el comportamiento y la fórmula permite calcular. En un modelo afín, la pendiente expresa cambio por unidad y la ordenada, valor inicial. Si las variaciones dejan de ser constantes, una recta ya no describe adecuadamente el fenómeno. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es pasar entre registros. El segundo es interpretar parámetros. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Proporcionalidad directa e inversa: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder decidir si un modelo es lineal con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Una tarifa vale $800 más $120 por km. Identificá variables. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función coordina situación, tabla, gráfico y fórmula: sus parámetros describen cambio y valor inicial.
Ejemplo resuelto
Un servicio cobra $600 fijos y $150 por hora. C(h)=600+150h, con h≥0. La tabla (0,600),(1,750),(2,900) muestra diferencia constante 150: en el gráfico son puntos de una recta. Interpretamos 600 como costo inicial y 150 como tasa: sustituir h=2 controla que el punto (2,900) pertenece al modelo. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió Es lineal porque π es constante y r es la única variable: al resolver Clasificá A(r)=πr² como lineal o no lineal.
Por qué tienta: La elección identifica correctamente a π como constante: pero no examina cómo aparece r.
Cómo repararlo: Compará cocientes de salida al duplicar la entrada.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una función coordina situación, tabla, gráfico y fórmula: sus parámetros describen cambio y valor inicial.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás pasar entre registros con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones lineales y primeras funciones no lineales.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones lineales y primeras funciones no lineales trabaja este objeto matemático. Una función coordina situación, tabla, gráfico y fórmula. sus parámetros describen cambio y valor inicial.
Qué hace falta antes
- Proporcionalidad directa e inversa. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Respuesta. 28.
- Generalización y equivalencia de fórmulas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4. Respuesta. La sucesión….
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones lineales y primeras funciones no lineales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con pasar entre registros. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Una tarifa vale $800 más $120 por km. Identificá variables. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función coordina situación,… Usala para reconocer qué cambia, qué. permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder Es lineal porque π es constante y r es la única variable. Se reconoce porque Que haya una sola variable no determina linealidad. el exponente 2 hace variar la tasa de cambio. Reparación. Compará cocientes de salida al duplicar la entrada.
Comprobación rápida
En f(x)=3x−2, calculá f(4). Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
10 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
En f(x)=3x−2, calculá f(4).
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Identificá entrada, salida, tasa y valor inicial en cada representación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
f(4)=3·4−2=12−2=10.
Ejercicio 2
Consigna
Una tarifa vale $800 más $120 por km. Identificá variables.
Necesito una pista
Identificá qué cantidad se elige primero y cuál depende de ella; separá además el costo fijo del costo por kilómetro.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los km son la variable independiente y el costo total la dependiente.
Los km son la variable independiente y el costo total la dependiente.
Ejercicio 3
Consigna
¿Qué significa f(0)=500 en un modelo de costo?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué significa f(0)=500 en un modelo de costo. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es el costo inicial, aun cuando la cantidad variable sea cero.
La respuesta correcta es Es el costo inicial, aun cuando la cantidad variable sea cero..
Ejercicio 4
Consigna
Predecí cómo cambia la tabla de y=2x+1 al aumentar x en 1 y verificá tres filas.
Necesito una pista
Ubicá primero cómo cambia la tabla de y=2x+1 al aumentar x en 1 y…. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y aumenta siempre 2; por ejemplo (0,1),(1,3),(2,5).
La respuesta correcta es y aumenta siempre 2. por ejemplo (0,1),(1,3),(2,5)..
Ejercicio 5
Consigna
Construí una tabla de y=−2x+5 para x=0,1,2,3.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Construí una tabla de y=−2x+5 para x=0,1,2,3. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los valores de y son 5,3,1,−1.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 6
Consigna
Ubicá los puntos de la tabla anterior y describí el gráfico.
Necesito una pista
Representá el dato central de Ubicá los puntos de la tabla anterior y describí el gráfico. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Quedan alineados sobre una recta decreciente con pendiente −2 y corte 5.
La respuesta correcta es Quedan alineados sobre una recta decreciente con pendiente −2 y corte 5..
Ejercicio 7
Consigna
Hallá la tasa de cambio entre (2,7) y (5,16).
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Leé variable de entrada, tasa y valor cuando la entrada es cero.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3
La tasa es Δy/Δx=(16−7)/(5−2)=9/3=3.
Ejercicio 8
Consigna
Escribí la fórmula de una recta con pendiente 4 y corte −1.
Necesito una pista
Usá y=mx+b: ubicá la pendiente y la ordenada al origen en sus lugares antes de sustituirlas.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=4x−1.
En y=mx+b, m=4 y b=−1; la fórmula es y=4x−1.
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál es el dominio contextual de C=1500+300n si n cuenta entradas?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál es el dominio contextual de C=1500+300n si n cuenta entradas. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: n debe ser entero no negativo y además respetar cualquier límite de capacidad.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 10
Consigna
Decidí si la tabla x:0,1,2; y:1,4,9 es lineal.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte si la tabla x:0,1,2. y:1,4,9 es lineal. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No: las diferencias 3 y 5 no son constantes; corresponde a (x+1)².
La respuesta correcta es No. las diferencias 3 y 5 no son constantes. corresponde a (x+1)²..
Ejercicio 11
Consigna
Compará f(x)=2x+5 y g(x)=3x+1.
Necesito una pista
Representá el dato central de f(x)=2x+5 y g(x)=3x+1. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: g crece más rápido; se igualan cuando 2x+5=3x+1, es decir x=4.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 12
Consigna
Explicá por qué y=x² no tiene tasa de cambio constante.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en por qué y=x² no tiene tasa de cambio constante. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Entre 0 y 1 aumenta 1; entre 1 y 2 aumenta 3; la variación depende de x.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Un taxi cobra bajada y precio por km. Formulá un modelo con datos $900 y $180/km.
Necesito una pista
Representá el dato central de Un taxi cobra bajada y precio por km. Formulá un modelo con…. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: C(k)=900+180k, con k≥0; 900 es fijo y 180 la tasa.
Una respuesta suficiente debe sostener decidir si un modelo es lineal con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 14
Consigna
Plan A: 500+100x; plan B: 900+60x. Elegí para x=12.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Plan A. 500+100x. plan B. 900+60x. Elegí para x=12. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: A cuesta 1700 y B 1620; para 12 unidades conviene B.
La respuesta correcta es A cuesta 1700 y B 1620. para 12 unidades conviene B..
Ejercicio 15
Consigna
Un gráfico de distancia-tiempo baja aunque el móvil no regresa. Auditá el modelo.
Necesito una pista
Para trabajar interpretar parámetros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si representa distancia acumulada no puede disminuir; quizá el eje representa posición o el gráfico es inconsistente.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar parámetros con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Juli afirma que y=5x+2 corta el eje y en 5. Corregí.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Juli afirma que y=5x+2 corta el eje y en 5. Corregí. Para trabajar interpretar parámetros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Corta el eje y en 2 porque allí x=0; 5 es la pendiente.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar parámetros con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Unen puntos de una tabla de personas con valores intermedios 2,5. ¿Qué falta considerar?
Necesito una pista
Para trabajar interpretar parámetros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El dominio es discreto; 2,5 personas no tiene sentido aunque la recta pase por ese punto.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar parámetros con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Rocío resolvió “En f(x)=3x−2, calculá f(4).” y escribió “11”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Rocío con la condición de pasar entre registros. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 11 se separa del valor esperado después de una única transformación de pasar entre registros.. La corrección usa pasar entre registros: 10.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de pasar entre registros sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de pasar entre registros en la consigna En f(x)=3x−2, calculá f(4) y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Hallá f(−3) para f(x)=−2x+4.
Necesito una pista
Estimá o representá antes de ingresar el valor. Identificá entrada, salida, tasa y valor inicial en cada representación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
f(−3)=−2·(−3)+4=6+4=10.
Ejercicio 20
Consigna
Interpretá el punto (6,42) en y=7x.
Necesito una pista
Ubicá primero Interpretá el punto (6,42) en y=7x. Para trabajar interpretar parámetros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para 6 unidades de entrada corresponden 42 de salida, con razón constante 7.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar parámetros con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 21
Consigna
¿Qué recta crece más: y=0,8x+10 o y=1,1x−4?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué recta crece más. y=0,8x+10 o y=1,1x−4. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La segunda, porque su pendiente 1,1 es mayor que 0,8.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 22
Consigna
Clasificá A(r)=πr² como lineal o no lineal.
Necesito una pista
Representá el dato central de Clasificá A(r)=πr² como lineal o no lineal. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No es lineal porque la variable está al cuadrado y la tasa cambia con r.
La respuesta correcta es No es lineal porque la variable está al cuadrado y la tasa cambia con r..
Ejercicio 23
Consigna
Armá una tabla que permita graficar y=1−x.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Armá una tabla que permita graficar y=1−x. Para trabajar interpretar parámetros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo (−1,2),(0,1),(1,0),(2,−1).
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar parámetros con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
Una función lineal cumple f(2)=7 y f(5)=16. ¿Cuál fórmula representa esos dos pares?
Necesito una pista
Calculá la tasa con el cambio de las salidas dividido por el cambio de las entradas y luego hallá el valor inicial.
Respuesta y fundamento
Respuesta: f(x)=3x+1
La pendiente es (16−7)/(5−2)=3. Como 7=3·2+b, resulta b=1; entonces f(x)=3x+1.
Ejercicio 25
Consigna
Reconstruí y=3x+2 con una tabla y una explicación de sus parámetros.
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstruí y=3x+2 con una tabla y una explicación de sus parámetros. Para trabajar comparar tasas de cambio, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Desde (0,2), cada aumento de 1 en x suma 3 a y; así se conectan fórmula, tabla y recta.
Una respuesta suficiente debe sostener comparar tasas de cambio con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Una pileta tiene 80 L y pierde 5 L/min. Modelizá hasta vaciarse.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Una pileta tiene 80 L y pierde 5 L/min. Modelizá hasta vaciarse. Para trabajar decidir si un modelo es lineal, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: V(t)=80−5t con dominio 0≤t≤16.
Una respuesta suficiente debe sostener decidir si un modelo es lineal con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 27
Consigna
Generalizá cuándo una tabla representa una función lineal afín.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá cuándo una tabla representa una función lineal afín. Para trabajar pasar entre registros, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para incrementos iguales de x, las diferencias de y son constantes; su modelo es y=mx+b.
Una respuesta suficiente debe sostener pasar entre registros con datos y una propiedad explícita.