tabla
Representá Ecuaciones lineales de una variable con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con modelizar una condición. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles.
Ya podés modelizar una condición y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a modelizar una condición. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Operaciones combinadas y cálculo razonado.
Comprobación de treinta segundos. Calculá 5/6+1/4. Respuesta. 13/12.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-05.
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles. Transformarla es producir ecuaciones equivalentes mediante la misma operación válida en ambos miembros. Resolver incluye identificar el conjunto solución y comprobarlo en la ecuación original. Algunas condiciones tienen una solución, ninguna o infinitas: el contexto puede además restringir cuáles tienen sentido. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es modelizar una condición. El segundo es conservar la igualdad. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Cálculo con fracciones y decimales: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder interpretar el conjunto solución con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Resolvé 4x=16. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles.
Ejemplo resuelto
Resolvemos 3(x−2)+5=2x+9. Distribuimos. 3x−6+5=2x+9, es decir 3x−1=2x+9. Restamos 2x en ambos miembros: x−1=9. Sumamos 1 en ambos miembros: x=10. Cada operación conserva el conjunto solución. Control original. 3(10−2)+5=29 y 2·10+9=29. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 5 al resolver En 6x+11=2x−9, determiná el valor que vuelve iguales ambos miembros.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con cambiar −20 por +20 al despejar 4x.
Cómo repararlo: Restá 2x y 11 en ambos miembros sin usar el atajo de «pasar cambiando». queda 4x=−20.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás modelizar una condición con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Ecuaciones lineales de una variable.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Ecuaciones lineales de una variable trabaja este objeto matemático. Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles.
Qué hace falta antes
- Operaciones combinadas y cálculo razonado. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Calculá 5/6+1/4. Respuesta. 13/12.
- Patrones, procesos recursivos y lenguaje algebraico. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Ecuaciones lineales de una variable con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con modelizar una condición. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Resolvé 4x=16. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una ecuación expresa una condición sobre valores posibles. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 5. Se reconoce porque Ingresa 5 como solución de la ecuación. Reparación. Restá 2x y 11 en ambos miembros sin usar el atajo de «pasar cambiando». queda 4x=−20.
Comprobación rápida
Diagnóstico. Resolvé x+3=11. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
8 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Diagnóstico. Resolvé x+3=11.
Necesito una pista
Representá la relación de inversa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 8
La igualdad se conserva al aplicar la misma operación a ambos lados.
Ejercicio 2
Consigna
Diagnóstico. Resolvé 4x=16.
Necesito una pista
Ubicá primero Diagnóstico. Resolvé 4x=16. Para trabajar resolver y verificar, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4
La respuesta correcta es 4. Dividir ambos miembros por el mismo número no nulo conserva soluciones.
Ejercicio 3
Consigna
Diagnóstico. Resolvé 2x+4=12.
Necesito una pista
Representá la relación de dos pasos. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4
Las operaciones inversas aíslan la incógnita conservando la igualdad.
Ejercicio 4
Consigna
En 4x+7=31, ¿qué operación conviene aplicar primero en ambos miembros?
Necesito una pista
Ubicá primero En 4x+7=31, ¿qué operación conviene aplicar primero en ambos miembros. Para trabajar conservar la igualdad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: restar 7
La respuesta correcta es restar 7. Restar 7 elimina el término constante sin romper la igualdad.
Ejercicio 5
Consigna
Resolvé 5x−8=27.
Necesito una pista
Representá la relación de ecuacion dos pasos. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7
Sumar 8 y dividir por 5.
Ejercicio 6
Consigna
Resolvé 4(x+3)=36.
Necesito una pista
Representá la relación de ecuacion parentesis. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
Dividir por 4 da x+3=9; x=6.
Ejercicio 7
Consigna
Resolvé 7x+5=3x+29.
Necesito una pista
Representá la relación de variable ambos miembros. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
Restar 3x y 5: 4x=24.
Ejercicio 8
Consigna
Resolvé (x/3)+4=11.
Necesito una pista
Representá la relación de ecuacion fraccion. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 21
Restar 4 y multiplicar por 3.
Ejercicio 9
Consigna
¿Qué conjunto solución tiene 3(x+2)=3x+6?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué conjunto solución tiene 3(x+2)=3x+6. Para trabajar interpretar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: todos los reales
La respuesta correcta es todos los reales. Ambos miembros son idénticos.
Ejercicio 10
Consigna
¿Qué conjunto solución tiene 5x−2=5x+4?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué conjunto solución tiene 5x−2=5x+4. Para trabajar interpretar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: ningún número
La respuesta correcta es ningún número. Restar 5x deja −2=4.
Ejercicio 11
Consigna
Traducí: «cuatro menos que el triple de un número es 17».
Necesito una pista
Usá traducir enunciado: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3x−4=17; la solución es x=7.
La estructura verbal determina operaciones.
Ejercicio 12
Consigna
Resolvé (x−1)/2+x/3=5 sin borrar equivalencias y verificá por sustitución.
Necesito una pista
Usá ecuacion lineal q: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 33/5
Multiplicar ambos miembros por 6 da 3(x−1)+2x=30; 5x=33 y x=33/5. Al sustituir, ambos términos suman 5.
Ejercicio 13
Consigna
Una cooperativa cobra $1.200 fijos y $350 por unidad. La factura fue $5.400. Formulá, resolvé e interpretá.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una cooperativa cobra $1.200 fijos y $350 por unidad. La factura fue…. Para trabajar modelizar una condición, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1200+350x=5400; 350x=4200; x=12 unidades. El control da 1200+350·12=5400.
Una respuesta suficiente debe sostener modelizar una condición con datos y una propiedad explícita. Se define la incógnita y se interpreta con unidad.
Ejercicio 14
Consigna
El perímetro de un rectángulo es 50 cm y el largo mide 3 cm más que el ancho. Hallá el ancho.
Necesito una pista
Representá la relación de modelizar geometria. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 11
2[x+(x+3)]=50; 4x+6=50; x=11 cm.
Ejercicio 15
Consigna
Un envío admite como máximo 18 kg. La caja vacía pesa 3 kg y cada paquete 2,5 kg. Identificá pregunta, datos y condición; formulá una inecuación, resolvé en enteros y verificá unidades.
Necesito una pista
Organizá los datos para problema inecuacion simela. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3+2,5p≤18; p≤6. Como p es entero no negativo, entran hasta 6 paquetes. El control da 3+2,5·6=18 kg.
La condición «como máximo» se modela con ≤; las unidades ya son kg y la solución se interpreta en enteros. Sustituir p=6 verifica el límite.
Ejercicio 16
Consigna
Análisis de error. Sol pasa +5 al otro lado como −5 sin explicar. Repará el argumento.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Análisis de error. Sol pasa +5 al otro lado como −5 sin…. Para trabajar conservar la igualdad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se resta 5 en ambos miembros; así se conserva la igualdad.
Una respuesta suficiente debe sostener conservar la igualdad con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Análisis de error. Fede divide 0x=4 por 0 y obtiene x=4. Corregí.
Necesito una pista
Para trabajar conservar la igualdad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No se puede dividir por cero; 0x=4 no tiene solución.
Una respuesta suficiente debe sostener conservar la igualdad con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Guadalupe resolvió “Diagnóstico. Resolvé x+3=11.” y escribió “9”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Guadalupe con la condición de resolver y verificar. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 9 se separa del valor esperado después de una única transformación de resolver y verificar.. La corrección usa resolver y verificar: 8.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de resolver y verificar sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de resolver y verificar en la consigna Diagnóstico. Resolvé x+3=11 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
En 6x+11=2x−9, determiná el valor que vuelve iguales ambos miembros.
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar ambos miembros. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -5
4x=−20, x=−5; al sustituir ambos lados valen −19.
Ejercicio 20
Consigna
Resolvé 3−2x≤9 y representá el conjunto solución en la recta.
Necesito una pista
Aplicá inecuacion lineal recta sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x≥−3; punto cerrado en −3 y semirrecta hacia la derecha.
−2x≤6; al dividir por −2 se invierte el signo: x≥−3. El −3 pertenece porque la desigualdad incluye igualdad.
Ejercicio 21
Consigna
La ecuación 8−2x=8−2x tiene:
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte La ecuación 8−2x=8−2x tiene. Para trabajar interpretar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: infinitas soluciones
La respuesta correcta es infinitas soluciones. Es la misma expresión en ambos miembros.
Ejercicio 22
Consigna
Traducí y resolvé: «la mitad de un número, aumentada en 3/4, es menor que 2».
Necesito una pista
Aplicá coloquial simbolico inecuacion sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x/2+3/4<2; x/2<5/4; x<5/2.
La traducción conserva el orden de las operaciones; restar 3/4 y multiplicar por 2 positivo no invierte la desigualdad.
Ejercicio 23
Consigna
Una solución propuesta es x=3 para (x−1)/2=1. ¿Qué evidencia mínima la valida?
Necesito una pista
Aplicá evaluar verificacion sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sustituir: (3−1)/2=2/2=1, igual al segundo miembro.
La comprobación usa la ecuación original.
Ejercicio 24
Consigna
Resolvé 4(x−3)+5=2x−1.
Necesito una pista
Distribuí 4 sobre los dos términos de x−3, reuní las x en un miembro y comprobá el valor en ambos lados de la igualdad.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3
4x−12+5=2x−1 lleva a 2x=6 y x=3. Al sustituir, ambos miembros valen 5.
Ejercicio 25
Consigna
Reconstrucción: representá 2x+3=11 en balanza y describí dos operaciones simétricas.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante reconstruir igualdad: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Quitar 3 de ambos lados da 2x=8; repartir ambos lados en 2 da x=4.
La acción concreta muestra por qué se opera en ambos miembros.
Ejercicio 26
Consigna
Reintento: resolvé 2(x−1)/3−1/2=5/6 y verificá la solución en la ecuación original.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante reintento ecuacion q: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=3
Multiplicar por 6 da 4(x−1)−3=5; 4x=12 y x=3. En la original, 4/3−1/2=5/6.
Ejercicio 27
Consigna
Profundización: clasificá ax+b=ax+c según b y c.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante generalizar parametros: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si b=c, todos los números son solución; si b≠c, no hay solución, porque al restar ax queda b=c.
La clasificación trata todos los casos.