Ingreso 2025

1. Para restar minutos, pedimos prestado un grado: 1° = 60′.

   180° = 179° 60′179° 60′ − 32° 16′ = 147° 44′

2. Ahora la mitad. Los grados son impares: 147° : 2 da 73° y sobra 1°, que se pasa a minutos.

   147° : 2 = 73° y sobra 1° = 60′60′ + 44′ = 104′104′ : 2 = 52′la mitad del suplemento = 73° 52′

Respuesta. La mitad del ángulo suplementario de 32° 16′ mide 73° 52′.

Verificación. Al revés: 73° 52′ × 2 = 146° 104′ = 147° 44′, y 147° 44′ + 32° 16′ = 179° 60′ = 180°.

Error común. Cambiar el orden: sacar la mitad de 32° 16′ y después el suplemento da otro ángulo. También es frecuente escribir 147° : 2 = 73,5° como «73° 5′»: medio grado son 30′, no 5′.

1. Dos números naturales son coprimos (o primos entre sí) cuando su único divisor común es el 1. Dicho con el dcm:

   p y q son coprimos ⇔ dcm(p; q) = 1

2. Un ejemplo muestra que no hace falta que los números sean primos:

   D₈ = {1; 2; 4; 8}D₁₅ = {1; 3; 5; 15}divisores comunes: solo el 1 ⇒ dcm(8; 15) = 18 y 15 son coprimos, aunque ninguno de los dos es primo

Respuesta. Dos números naturales p y q son coprimos cuando su divisor común mayor es 1, es decir, cuando el único divisor que tienen en común es el 1.

Verificación. Con 9 y 10: D₉ = {1; 3; 9} y D₁₀ = {1; 2; 5; 10}. Solo comparten el 1, así que dcm(9; 10) = 1 y son coprimos.

Error común. Confundir «coprimos» con «primos». Un número primo es uno solo con dos divisores; «coprimos» habla de una pareja de números, que pueden ser compuestos, como 8 y 15.

1. Conjunto A. Despejamos: si x + 2 es menor que 7, x es menor que 5. Como x ∈ ℕ₀, empezamos por el 0.

   x + 2 < 7 ⇒ x < 7 − 2 ⇒ x < 5A = {0; 1; 2; 3; 4}

2. Conjunto B. Los múltiplos de 3 en ℕ son 3, 6, 9, 12… y tienen que ser menores o iguales que 6. El 6 entra, porque «≤» incluye el igual.

   B = {3; 6}

3. La intersección A ∩ B tiene los elementos que están en A y también en B:

   3 está en A y en B; 6 está en B pero no en AA ∩ B = {3}

Respuesta. A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 6} y A ∩ B = {3}: el único elemento de la intersección es el 3.

Verificación. Probá los bordes: 4 + 2 = 6 < 7, el 4 entra en A; 5 + 2 = 7 no es menor que 7, el 5 no entra. Y 6 + 2 = 8 no es menor que 7: el 6 no está en A.

Error común. Poner el 5 en A («menor que» no incluye el igual), olvidar el 0 en A (ℕ₀ empieza en 0) o dejar afuera el 6 de B («≤» sí incluye el igual).

1. Impar y múltiplo de 5: termina en 5. La cifra de las centenas es 0.

   _ 0 _ 5

2. La cifra de las unidades de mil es par. No puede ser 0, porque el número dejaría de tener 4 cifras. Para que sea el menor, elegimos el 2.

   2 0 _ 5

3. Divisible por 9: la suma de las cifras tiene que ser múltiplo de 9. Probamos la cifra de las decenas desde la más chica:

   2005: 2 + 0 + 0 + 5 = 7 no es múltiplo de 92015: 2 + 0 + 1 + 5 = 8 no es múltiplo de 92025: 2 + 0 + 2 + 5 = 9 sí es múltiplo de 9

Respuesta. El número que escribió Santino es 2025.

Verificación. 2025 : 9 = 225 y 2025 : 5 = 405, las dos exactas. Termina en 5 (impar), la cifra de las centenas es 0 y la de las unidades de mil es 2 (par).

Error común. Poner 0 en las unidades de mil (0025 no es un número de 4 cifras) o poner 0 en las unidades: sería múltiplo de 5, pero par.

1. Del semicírculo al círculo entero, y de ahí al radio. La superficie del círculo es π × r².

   círculo = 14,13 cm² × 2 = 28,26 cm²r² = 28,26 cm² : 3,14 = 9 cm²r = 3 cm, porque 3 × 3 = 9

2. El lado bc es el diámetro: dos radios.

   bc = 2 × 3 cm = 6 cm

3. Si 14,13 cm² es el 60 % del rectángulo, el 100 % se obtiene dividiendo por 60 y multiplicando por 100:

   S rectángulo = 14,13 cm² × 100 : 60 = 23,55 cm²

4. La superficie del rectángulo es ab × bc, así que ab es la superficie dividida por bc. El examen pide redondear a dos decimales:

   ab = 23,55 cm² : 6 cm = 3,925 cm ≈ 3,93 cm

5. El perímetro suma los cuatro lados del rectángulo (dos de cada medida):

   P = 2 × 3,93 cm + 2 × 6 cm = 7,86 cm + 12 cm = 19,86 cm

Respuesta. El perímetro del rectángulo es de 19,86 cm aproximadamente.

Verificación. 6 cm × 3,925 cm = 23,55 cm², y el 60 % de 23,55 cm² es 0,6 × 23,55 cm² = 14,13 cm², la superficie del semicírculo.

Error común. Tomar el radio (3 cm) como lado bc, o usar 14,13 cm² como si fuera el círculo entero. Ojo con el redondeo: con ab = 3,925 cm sin redondear da 19,85 cm; el examen pide redondear también los resultados parciales, y por eso la resolución oficial da 19,86 cm.

1. Misma unidad para todo: centímetros.

   2,4 dm = 2,4 × 10 cm = 24 cm

2. Las caras laterales son 4 triángulos con base el lado de la base y altura la apotema. Juntas suman perímetro × apotema : 2:

   24 cm × ap : 2 = 48 cm²

3. Deshacemos las operaciones en orden inverso: primero × 2, después : 24.

   24 cm × ap = 48 cm² × 2 = 96 cm²ap = 96 cm² : 24 cm = 4 cm

Respuesta. La apotema de la pirámide mide 4 cm.

Verificación. Por caras: el lado de la base es 24 cm : 4 = 6 cm; cada cara mide 6 cm × 4 cm : 2 = 12 cm², y las cuatro, 4 × 12 cm² = 48 cm².

Error común. Usar 2,4 sin pasarlo a centímetros: con 48 × 2 : 2,4 daría 40, un número que no tiene sentido mezclando dm con cm. También es común olvidar el «: 2» de la fórmula y obtener la mitad.

1. Agosto y lo que queda:

   agosto: 13 del caminoqueda: 1 − 13 = 23 del camino

2. Septiembre: tres cuartos de lo que quedaba.

   34 × 23 = 612 = 12 del camino

3. Lo pavimentado en los dos meses, en sextos para poder sumar, y lo que falta:

   13 + 12 = 26 + 36 = 56falta: 1 − 56 = 16 del camino

4. Pasamos lo que falta a kilómetros. 1 dam = 10 m, así que 1 km = 1.000 m = 100 dam:

   2000 dam = 20.000 m = 20 km

5. Si un sexto del camino son 20 km, el camino entero son seis sextos:

   16 → 20 km66 → 20 km × 6 = 120 km

Respuesta. El camino tiene 120 km.

Verificación. Un tercio de 120 km son 40 km; quedan 80 km, y 34 de 80 km son 60 km. Pavimentado: 40 km + 60 km = 100 km. Faltan 120 km − 100 km = 20 km = 2000 dam.

Error común. Tomar 34 del camino entero: 13 + 34 da más que 1, y eso es imposible. Otro error es la conversión: 2000 dam no son 2 km (eso sería dividir por 1.000); 1 km tiene 100 dam.

1. Si n es la cantidad de remeras, n − 2 se puede repartir justo en bolsas de 8 y de 22: es múltiplo de los dos.

   n − 2 ∈ M₈ y n − 2 ∈ M₂₂

2. Buscamos el mínimo común múltiplo. Factores comunes y no comunes, con el mayor exponente:

   8 = 2³ 22 = 2 × 11mcm(8; 22) = 2³ × 11 = 88

3. Los múltiplos comunes son 88, 176, 264… Sumamos las 2 remeras que sobran y miramos la condición de no pasar de 100:

   n − 2 = 88 ⇒ n = 90 (no supera 100)n − 2 = 176 ⇒ n = 178 (supera 100)

Respuesta. El equipo de vóley tiene 90 remeras.

Verificación. 90 : 8 = 11 bolsas y sobran 2 (11 × 8 = 88). 90 : 22 = 4 bolsas y sobran 2 (4 × 22 = 88).

Error común. Multiplicar 8 × 22 = 176 pensando que es el mcm: es un múltiplo común, pero no el menor, y 178 pasa de 100. También pasa que se contesta 88 y se olvidan las 2 remeras que sobran.

1. Juntas pagan el ticket de la mamá (un entero) más 35 de ese ticket:

   1 + 35 = 55 + 35 = 85 del ticket de la mamá → $7800

2. Un quinto es la octava parte de $7800:

   15 → $7800 : 8 = $975

3. Cada ticket:

   Violeta: 35 → $975 × 3 = $2925mamá: 55 → $975 × 5 = $4875

Respuesta. El ticket de Violeta cuesta $2925 y el de su mamá, Antonela, $4875.

Verificación. $2925 + $4875 = $7800. Y 35 de $4875: $4875 : 5 = $975, × 3 = $2925, el ticket de Violeta.

Error común. Calcular 35 de $7800 (da $4680) como si Violeta pagara tres quintos del total: los tres quintos son del ticket de la mamá, no de lo que gastaron juntas.

1. Base mayor y el segmento ea. Como bcde es un rectángulo, de = bc = 36 cm, y lo que sobra de la base mayor es ea:

   ad = 36 cm + 6 cm = 42 cmea = 42 cm − 36 cm = 6 cm

2. En el triángulo rectángulo bea, la hipotenusa es ab = 10 cm. Con el teorema de Pitágoras sale el cateto be, que es la altura h del trapecio:

   h² + 6² = 10²h² = 100 − 36 = 64h = 8 cm

3. Superficie del trapecio: suma de las bases, por la altura, dividido 2.

   S = (36 cm + 42 cm) × 8 cm : 2 = 78 cm × 8 cm : 2 = 312 cm²

Respuesta. La superficie del trapecio abcd es de 312 cm².

Verificación. Por partes: el rectángulo bcde mide 36 cm × 8 cm = 288 cm² y el triángulo bea, 6 cm × 8 cm : 2 = 24 cm². 288 cm² + 24 cm² = 312 cm².

Error común. Usar ab = 10 cm como altura: ab está inclinado, la altura es be, perpendicular a las bases. También pasa que se usa 6 cm como base mayor en lugar de 36 cm + 6 cm.

1. Superficie sombreada: el triángulo rectángulo bea, con catetos de 6 cm y 8 cm.

   S sombreada = 6 cm × 8 cm : 2 = 24 cm²

2. La parte sobre el total, simplificada. Como 312 = 24 × 13, se divide arriba y abajo por 24:

   24312 = 113

Respuesta. La superficie sombreada es 113 de la superficie del trapecio abcd.

Verificación. 113 de 312 cm² es 312 cm² : 13 = 24 cm², la superficie del triángulo bea.

Error común. Comparar con el rectángulo en lugar de con todo el trapecio (24288 = 112), o dar la fracción sin simplificar.

1. Perímetro del trapecio. El lado cd es igual a be = 8 cm, porque bcde es un rectángulo.

   P = ab + bc + cd + da = 10 cm + 36 cm + 8 cm + 42 cm = 96 cm

2. El cuadrado tiene el mismo perímetro y cuatro lados iguales:

   4 × l = 96 cml = 96 cm : 4 = 24 cm

Respuesta. El lado del cuadrado isoperimétrico con el trapecio abcd mide 24 cm.

Verificación. 4 × 24 cm = 96 cm, el mismo perímetro que el trapecio.

Error común. Olvidar el lado cd al sumar el contorno, o confundir isoperimétrico (igual perímetro) con equivalente (igual superficie): un cuadrado de 312 cm² tendría otro lado.