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Exámenes reales · Politécnico

Ingreso 2026

Rendido el 19 de noviembre de 2025.

Matemática

5 problemas · 50 puntos · 1 h 30 min (así lo fija el Politécnico en su «Modalidad de ingreso»). Cada respuesta se justifica con un planteo, en hoja aparte.

1:30:00

Abrir en pantalla completaFuente: ips.edu.ar

La clase: el examen problema por problema

Rendí primero el simulacro con el reloj. Después, cada ítem trae cómo empezar, tres pistas que se abren de a una y la resolución paso a paso con la verificación y el error que más se comete. Abrí una pista, intentá de nuevo, y recién entonces mirá la resolución.

Problema 1

a) Si la medida de los cuatro quintos de un ángulo α es igual a 96° 4′ 24″, determina la medida del suplemento del ángulo α.

b) Dados los conjuntos A = {x / x ∈ D₂₅ ∧ x es un número primo} y B = {x / x ∈ ℕ ∧ 2x < 10}: i) escribe por extensión ambos conjuntos; ii) ¿son los conjuntos A y B disjuntos? Justifica tu respuesta.

c) ¿Cuándo se dice que dos figuras son isoperimétricas?

a) El suplemento de α

Cómo empezar. El dato no es α: son 45 de α. Antes de pensar en el suplemento, buscá cuánto mide el ángulo entero.

Pista 1

Si 4 quintos miden 96° 4′ 24″, un solo quinto mide la cuarta parte de eso. Y el ángulo entero son 5 quintos.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si 23 de un ángulo miden 50° 20′, un tercio mide 50° 20′ : 2 = 25° 10′, y el ángulo entero mide 25° 10′ × 3 = 75° 30′.

Pista 3

Dividí 96° 4′ 24″ por 4 (grados, minutos y segundos por separado) y multiplicá por 5. Después hacé 180° menos ese ángulo, escribiendo 180° como 179° 59′ 60″.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Un quinto de α es la cuarta parte del dato. Cada unidad se divide por separado:

    96° : 4 = 24° 4′ : 4 = 1′ 24″ : 4 = 6″15 de α = 24° 1′ 6″

  2. El ángulo entero son cinco quintos:

    α = 24° 1′ 6″ × 5 = 120° 5′ 30″

  3. Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Para restar, pedimos prestado: 1° = 60′ y 1′ = 60″.

    180° = 179° 59′ 60″179° 59′ 60″ − 120° 5′ 30″ = 59° 54′ 30″

Respuesta. El suplemento de α mide 59° 54′ 30″.

Verificación. 59° 54′ 30″ + 120° 5′ 30″ = 179° 59′ 60″ = 180°. Y 45 de 120° 5′ 30″: 120° 5′ 30″ : 5 = 24° 1′ 6″, por 4 da 96° 4′ 24″, el dato.

Error común. Multiplicar el dato por 45 en lugar de por 54: el ángulo entero tiene que salir más grande que sus cuatro quintos. Otro error frecuente es restar de 180° sin pasarlo a 179° 59′ 60″. La resolución oficial escribe además «= 119° 49′» después del resultado: ese paso está mal.

b) Los conjuntos A y B

Cómo empezar. Leé cada condición en voz alta. A: «los divisores de 25 que son primos». B: «los números naturales cuyo doble es menor que 10».

Pista 1

Para A, primero escribí todos los divisores de 25 y después tachá los que no son primos. Recordá: un primo tiene exactamente dos divisores, así que el 1 no es primo.

Pista 2

Ejemplo con otros números: los divisores de 9 son 1, 3 y 9; el único primo es 3. Si la condición fuera 3x < 12, sería x < 4, y en los naturales quedaría {1; 2; 3}.

Pista 3

Para B, resolvé 2x < 10 dividiendo los dos lados por 2, y anotá los naturales que cumplen. Para el ítem ii, buscá si hay algún número que esté en los dos conjuntos.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Divisores de 25 y cuáles son primos:

    D₂₅ = {1; 5; 25}1 no es primo; 25 = 5 × 5 no es primo; 5 sí es primoA = {5}

  2. La condición de B se despeja como una ecuación:

    2x < 10 ⇒ x < 10 : 2 ⇒ x < 5B = {1; 2; 3; 4}

  3. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, si su intersección es vacía. El único elemento de A es 5, y 5 no está en B porque 2 × 5 = 10, que no es menor que 10.

    A ∩ B = ∅

Respuesta. i) A = {5} y B = {1; 2; 3; 4}. ii) Sí, son disjuntos, porque no tienen elementos comunes: A ∩ B = ∅.

Verificación. Probá cada elemento: 2 × 4 = 8 < 10 entra en B; 2 × 5 = 10 no es menor que 10, no entra. 5 divide a 25 (25 : 5 = 5) y es primo.

Error común. Poner el 1 en A (el 1 no es primo) o poner el 5 en B («menor que» no incluye el igual). El Politécnico toma los naturales desde el 1, como en su resolución oficial: por eso B no incluye el 0.

c) Figuras isoperimétricas

Cómo empezar. Desarmá la palabra: «iso» quiere decir igual y «perímetro» es la medida del contorno.

Pista 1

Pensá qué tienen igual las figuras. No es la forma ni la superficie.

Pista 2

Un cuadrado de 5 cm de lado y un rectángulo de 7 cm por 3 cm son muy distintos, pero si medís sus contornos, los dos dan 20 cm.

Pista 3

Escribí la definición con una oración completa: «Dos figuras son isoperimétricas cuando…».

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Isoperimétricas significa «de igual perímetro». Pueden tener formas y superficies distintas.

    Cuadrado de 5 cm: 4 × 5 cm = 20 cmRectángulo de 7 cm por 3 cm: 2 × 7 cm + 2 × 3 cm = 20 cmSuperficies: 25 cm² y 21 cm² (distintas)

Respuesta. Dos figuras son isoperimétricas cuando tienen el mismo perímetro.

Verificación. En el ejemplo, los perímetros coinciden (20 cm) aunque las superficies no: la definición habla solo del contorno.

Error común. Confundir con figuras equivalentes, que son las que tienen igual superficie.

Problema 2

Emma diseña una tarjeta para su cumpleaños. Para ello, recortó un círculo de 4 cm de radio y trazó dos de sus diámetros, ac y bd, los cuales coinciden con las diagonales del cuadrado abcd, tal como se muestra en la figura. Para decorar la tarjeta, Emma necesita calcular algunas medidas (utilizar π = 3,14).

a) ¿Cuál es la superficie de la zona rayada de la figura?

b) ¿Qué porcentaje de la superficie del círculo representa la superficie del cuadrado abcd?

oabcd4 cm
La figura del examen, con el radio marcado.

a) La zona rayada

Cómo empezar. La zona rayada no tiene fórmula propia. Mirá la figura: es lo que queda del círculo cuando le sacás el cuadrado, pero solo uno de esos pedazos.

Pista 1

Fuera del cuadrado y dentro del círculo hay cuatro pedazos iguales. Calculá la superficie del círculo, restale la del cuadrado y repartí entre cuatro.

Pista 2

Para el cuadrado no hace falta el lado: las diagonales lo parten en 4 triángulos rectángulos con catetos iguales al radio. Por ejemplo, con radio 3 cm cada triángulo tendría 3 × 3 : 2 = 4,5 cm².

Pista 3

Círculo: 3,14 × 4² = 3,14 × 16. Cuadrado: 4 triángulos de 4 cm × 4 cm : 2. Restá y dividí por 4.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Superficie del círculo, con r = 4 cm:

    S círculo = π × r² = 3,14 × (4 cm)² = 3,14 × 16 cm² = 50,24 cm²

  2. Superficie del cuadrado. Las diagonales miden 8 cm (un diámetro) y lo cortan en cuatro triángulos rectángulos con catetos de 4 cm:

    un triángulo: 4 cm × 4 cm : 2 = 8 cm²S cuadrado = 4 × 8 cm² = 32 cm²o también: diagonal × diagonal : 2 = 8 cm × 8 cm : 2 = 32 cm²
    4 cm4 cmabcd

  3. Lo que sobra del círculo son cuatro zonas iguales a la rayada:

    50,24 cm² − 32 cm² = 18,24 cm²18,24 cm² : 4 = 4,56 cm²

Respuesta. La zona rayada mide 4,56 cm².

Verificación. 4 × 4,56 cm² + 32 cm² = 18,24 cm² + 32 cm² = 50,24 cm², la superficie del círculo.

Error común. Tomar el radio como lado del cuadrado (el lado es la cuerda ab, que mide más que 4 cm), o usar el diámetro en π × r². También pasa que se olvida dividir por 4 y se da como respuesta toda la zona fuera del cuadrado.

b) Qué porcentaje del círculo ocupa el cuadrado

Cómo empezar. Porcentaje de un total: la parte dividida por el total, por 100. Acá la parte es el cuadrado y el total es el círculo.

Pista 1

Ya tenés las dos superficies del ítem a. Decidí cuál va arriba: el cuadrado es una parte del círculo, así que el resultado tiene que ser menor que 100 %.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si una mesa de 40 m² ocupa 10 m², ocupa 10 : 40 × 100 = 25 %.

Pista 3

Calculá 32 cm² : 50,24 cm² y multiplicá por 100. Redondeá a dos decimales.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. La parte sobre el total, por cien:

    32 cm² : 50,24 cm² × 100 = 63,694… %≈ 63,69 %

Respuesta. El cuadrado ocupa aproximadamente el 63,69 % de la superficie del círculo.

Verificación. 63,69 % de 50,24 cm² = 0,6369 × 50,24 cm² ≈ 32,0 cm², la superficie del cuadrado.

Error común. Invertir la división (50,24 : 32 da más de 150 %). Un porcentaje mayor que 100 % no puede ser la parte de un total.

Problema 3

El Instituto Politécnico celebra sus 120 años con una jornada deportiva donde participan 96 estudiantes de primer año. Se formarán equipos según estas reglas: cada equipo debe tener la misma cantidad de estudiantes y cada uno de ellos debe pertenecer a un único equipo; el número de estudiantes por equipo debe ser un número mayor que una decena y menor que el mcm(16; 32).

a) ¿Cuántos equipos se pueden formar siguiendo estas reglas? Si hay más de una opción válida, indica todas.

b) Si se desea formar la menor cantidad de equipos que cumplan con las reglas pedidas, ¿cuántos estudiantes debe tener cada equipo?

a) Cuántos equipos

Cómo empezar. Traducí las reglas. «Todos los equipos iguales y nadie afuera» quiere decir que la cantidad por equipo divide exactamente a 96. «Mayor que una decena y menor que el mcm» pone un límite de cada lado.

Pista 1

Hacé tres cosas por separado: calculá el mcm(16; 32), escribí todos los divisores de 96 y quedate con los que están entre 10 y ese mcm.

Pista 2

Ejemplo con otros números: con 60 estudiantes y equipos de más de 10 y menos de 25, sirven 12, 15 y 20 por equipo, que dan 60 : 12 = 5, 60 : 15 = 4 y 60 : 20 = 3 equipos.

Pista 3

Como 32 es múltiplo de 16, el mcm(16; 32) es 32. Buscá los divisores de 96 mayores que 10 y menores que 32, y para cada uno dividí 96 por ese número.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. El mcm de dos números cuando uno es múltiplo del otro es el mayor:

    mcm(16; 32) = 32, porque 32 = 16 × 2

  2. Divisores de 96, buscados de a pares:

    96 = 1 × 96 = 2 × 48 = 3 × 32 = 4 × 24 = 6 × 16 = 8 × 12D₉₆ = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96}

  3. Estudiantes por equipo (n): mayor que 10 y menor que 32. El 32 queda afuera.

    10 < n < 32 ⇒ n = 12, n = 16 o n = 24

  4. Cantidad de equipos para cada caso:

    96 : 12 = 8 equipos96 : 16 = 6 equipos96 : 24 = 4 equipos

Respuesta. Se pueden formar 8 equipos de 12, 6 equipos de 16 o 4 equipos de 24.

Verificación. 8 × 12 = 96, 6 × 16 = 96 y 4 × 24 = 96: en los tres casos están todos y nadie se repite.

Error común. Contar el 32 como válido (la regla dice «menor que», no «menor o igual»), o contestar cuántos estudiantes hay por equipo cuando la pregunta es cuántos equipos.

b) La menor cantidad de equipos

Cómo empezar. Con los mismos 96 estudiantes, ¿cuándo hay menos equipos: con equipos chicos o con equipos grandes?

Pista 1

Menos equipos quiere decir equipos más numerosos. Mirá las opciones del ítem a.

Pista 2

Ejemplo con otros números: 60 estudiantes en equipos de 12, 15 o 20; la menor cantidad de equipos sale con 20 por equipo.

Pista 3

Elegí, entre las opciones válidas, la de más estudiantes por equipo y comprobá cuántos equipos da.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. De las opciones válidas, la menor cantidad de equipos es 4, que corresponde al número más grande de estudiantes por equipo:

    96 : 24 = 4 equipos

Respuesta. Cada equipo debe tener 24 estudiantes (se forman 4 equipos).

Verificación. 24 es divisor de 96, es mayor que 10 y menor que 32. Con 48 por equipo habría menos equipos, pero 48 no cumple la regla.

Error común. Responder 4 (eso es la cantidad de equipos) cuando se pregunta cuántos estudiantes tiene cada equipo.

Problema 4

Ignacio comienza su viaje en auto desde Rosario hacia Mendoza. El primer día recorre un tercio de la distancia total del trayecto. Después de detenerse para descansar, avanza tres décimos de la distancia que le quedaba por recorrer para llegar a Mendoza. Al finalizar ese día había recorrido un total de 464 km.

a) ¿Cuál es la distancia total que deberá recorrer Ignacio para llegar de Rosario a Mendoza?

b) El segundo día de su viaje, Ignacio se detuvo en un pintoresco pueblo. En ese momento le faltaba por recorrer el 20 % de la distancia total del viaje. ¿A cuántos kilómetros se encontraba Ignacio de Rosario cuando se detuvo en el pueblo?

a) La distancia total

Cómo empezar. Cuidado con la trampa: los tres décimos no son del total, son de «lo que le quedaba». Primero averiguá qué fracción del total es lo que quedaba.

Pista 1

Después del primer tramo le quedan 23 del viaje. El segundo tramo es 310 de esos 23: multiplicá las fracciones.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si alguien recorre 14 y después 13 de lo que le queda, el segundo tramo es 13 × 34 = 14, y entre los dos hizo 12 del total.

Pista 3

Sumá 13 con la fracción del segundo tramo, usando quinceavos. Esa fracción del viaje son 464 km: dividí para saber cuánto es 115 y multiplicá por 15.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Primer tramo y lo que queda:

    primer tramo: 13 del totalqueda: 1 − 13 = 23 del total

  2. Segundo tramo: tres décimos de lo que quedaba.

    310 × 23 = 630 = 15 del total

  3. Lo recorrido el primer día, en quinceavos para poder sumar:

    13 + 15 = 515 + 315 = 815 del total

  4. Si 8 partes de 15 son 464 km, cada parte es 464 km : 8. El viaje entero son 15 partes.

    115 del total = 464 km : 8 = 58 kmtotal = 58 km × 15 = 870 km
    1.er tramo: 52.º: 38 partes = 464 kmfalta: 3

Respuesta. De Rosario a Mendoza Ignacio deberá recorrer 870 km.

Verificación. Un tercio de 870 km es 290 km; quedan 580 km, y 310 de 580 km son 174 km. 290 km + 174 km = 464 km, el dato.

Error común. Tomar 310 del total: 13 + 310 = 1930, y 464 : 19 no da exacto. Cuando una cuenta de este tipo no cierra, conviene releer de qué es cada fracción.

b) El pueblo

Cómo empezar. La pregunta es la distancia desde Rosario, no lo que le falta. Primero calculá cuánto le falta y después restá.

Pista 1

El 20 % es una fracción conocida: 20100. Simplificala y pasala a quinceavos, como en el ítem a.

Pista 2

Ejemplo con otros números: en un viaje de 500 km, si falta el 10 %, faltan 50 km, y la persona está a 500 km − 50 km = 450 km del punto de partida.

Pista 3

Calculá el 20 % de 870 km (o cuántas partes de 58 km son) y restáselo al total.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Lo que falta:

    20 % = 20100 = 15 = 315 del totalfalta: 58 km × 3 = 174 km

  2. Lo recorrido desde Rosario es el total menos lo que falta:

    870 km − 174 km = 696 km

Respuesta. Ignacio estaba a 696 km de Rosario (le faltaban 174 km para llegar a Mendoza).

Verificación. 696 km + 174 km = 870 km. Y 174 km : 870 km = 0,2, que es el 20 %.

Error común. Contestar 174 km, que es lo que falta, no la distancia desde Rosario. La resolución oficial dice «696 km de Mendoza»: son 696 km desde Rosario.

Problema 5

La base de una pirámide recta es un hexágono regular de 216 cm de perímetro. La medida de la apotema de la pirámide es igual a cinco tercios de la medida de un lado de la base. Determina:

a) En decímetros cuadrados, la superficie lateral de la pirámide.

b) La diferencia entre el perímetro de la base y el perímetro de una cara lateral.

a) La superficie lateral

Cómo empezar. La superficie lateral son las caras que no son la base: seis triángulos iguales. La apotema de la pirámide es la altura de cada uno de esos triángulos.

Pista 1

Necesitás el lado del hexágono (sale del perímetro) y la apotema (sale del lado). Con eso calculás un triángulo y multiplicás por 6.

Pista 2

Ejemplo con otros números: una pirámide de base cuadrada con lado 10 cm y apotema 12 cm tiene caras de 10 × 12 : 2 = 60 cm², y superficie lateral 4 × 60 cm² = 240 cm².

Pista 3

Lado: 216 cm : 6. Apotema: 53 de ese lado. Cada cara: lado × apotema : 2. Multiplicá por 6 y al final pasá los cm² a dm² (1 dm² = 100 cm²).

Resolución paso a paso del ítem a

  1. El hexágono regular tiene 6 lados iguales:

    l = 216 cm : 6 = 36 cm

  2. La apotema de la pirámide es 53 del lado:

    a = 53 × 36 cm = 36 cm : 3 × 5 = 60 cm

  3. Cada cara lateral es un triángulo de base l y altura a:

    una cara: 36 cm × 60 cm : 2 = 1.080 cm²S lateral = 6 × 1.080 cm² = 6.480 cm²
    aLl : 2l : 2

  4. Un decímetro son 10 cm, así que 1 dm² = 10 cm × 10 cm = 100 cm²:

    6.480 cm² : 100 = 64,8 dm²

Respuesta. La superficie lateral mide 64,8 dm².

Verificación. Con la fórmula perímetro de la base × apotema : 2 da lo mismo: 216 cm × 60 cm : 2 = 6.480 cm² = 64,8 dm².

Error común. Dividir por 10 en lugar de por 100 al pasar de cm² a dm². También, usar la arista lateral en lugar de la apotema como altura del triángulo. (La resolución oficial copia la consigna con «metros cuadrados», pero el examen pide decímetros cuadrados y la respuesta oficial está en dm².)

b) Base contra cara lateral

Cómo empezar. El perímetro de una cara lateral es la suma de sus tres lados: la base del triángulo (36 cm) y dos aristas laterales iguales, que todavía no conocés.

Pista 1

La apotema parte la cara en dos triángulos rectángulos. En cada uno, la arista lateral es la hipotenusa: usá el teorema de Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si la apotema midiera 12 cm y medio lado 5 cm, la arista sería √(12² + 5²) = √169 = 13 cm.

Pista 3

Los catetos son la apotema (60 cm) y la mitad del lado (18 cm). Calculá la arista, armá el perímetro de la cara como 2 aristas + 36 cm y restáselo a 216 cm.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Arista lateral L, con Pitágoras en medio triángulo (catetos a y l : 2):

    L² = 60² + 18² = 3.600 + 324 = 3.924L = √3.924 ≈ 62,64 cm
    aLl : 2l : 2

  2. Perímetro de una cara lateral:

    2 × 62,64 cm + 36 cm = 161,28 cm

  3. Diferencia con el perímetro de la base:

    216 cm − 161,28 cm = 54,72 cm

Respuesta. La diferencia es de 54,72 cm aproximadamente (el perímetro de la base es mayor).

Verificación. 62,64² = 3.923,7…, casi 3.924: la raíz está bien redondeada. Y 161,28 cm + 54,72 cm = 216 cm.

Error común. Usar el lado entero (36 cm) como cateto en lugar de la mitad, o tomar la apotema como si fuera la arista lateral: la arista es la hipotenusa y siempre es más larga que la apotema.

Dictado: «Magia nocturna»

En el examen vale 15 puntos. La voz del navegador lo lee primero entero y después frase por frase, con el tiempo que necesites para escribir.

Ver el dictado oficial

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