Problema 1
a) Determina el valor de «x» que verifica simultáneamente las siguientes condiciones: dcm(10; x) = 5; x ∈ M₃; 20 < x < 70.
b) Define poliedro.
c) Calcula los números «m» y «p» si: p es el cuádruple del recíproco de 25; m = 20 % · (p + 2).
a) El valor de x
Cómo empezar. Leé qué dice dcm(10; x) = 5 sobre x: el 5 divide a x, pero ningún divisor común más grande, como el 10.
Pista 1
Si el dcm con 10 es 5, x es múltiplo de 5 pero no de 2 (si fuera par, el dcm sería 10). Además x es múltiplo de 3.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si dcm(6; y) = 3, y es múltiplo de 5 y está entre 10 y 40, y tiene que ser múltiplo de 15 e impar: 15 sirve; 30 no, porque dcm(6; 30) = 6.
Pista 3
x es múltiplo de 3 y de 5 a la vez, es decir, de 15. Escribí los múltiplos de 15 entre 20 y 70 y descartá los pares.
Resolución paso a paso del ítem a
Múltiplo de 3 (dato) y de 5 (porque 5 lo divide): múltiplo de 15. Entre 20 y 70 hay tres:
15 × 2 = 30 15 × 3 = 45 15 × 4 = 60Probamos el dcm con 10 de cada uno. Los pares comparten con 10 el 2 y el 5, y el dcm les da 10:
dcm(10; 30) = 10 no sirvedcm(10; 45) = 5 sirvedcm(10; 60) = 10 no sirve
Respuesta. El valor de x es 45.
Verificación. D₁₀ = {1; 2; 5; 10} y D₄₅ = {1; 3; 5; 9; 15; 45}: el mayor divisor común es 5. Además 45 : 3 = 15 y 20 < 45 < 70.
Error común. Contestar 15 (cumple el dcm y es múltiplo de 3, pero no está entre 20 y 70) o elegir 30 o 60, que son pares y tienen dcm 10 con el 10.
b) Qué es un poliedro
Cómo empezar. Desarmá la palabra: «poli» quiere decir muchos y «edro» quiere decir cara.
Pista 1
Pensá en cuerpos que conocés y mirá cómo son sus caras: ¿son planas o curvas? ¿Qué figura es cada cara?
Pista 2
Ejemplo: un cubo tiene 6 caras cuadradas; una pirámide de base cuadrada, 4 triángulos y un cuadrado. Un cilindro y una esfera tienen superficies curvas.
Pista 3
Completá con una oración: «Un poliedro es un cuerpo limitado por…», y decí qué clase de figuras planas son sus caras.
Resolución paso a paso del ítem b
Un poliedro es un cuerpo (una figura de tres dimensiones) cuyas caras son todas polígonos. Sus elementos son las caras, las aristas (donde se juntan dos caras) y los vértices (donde se juntan las aristas).
poliedros: cubo, prismas, pirámidesno son poliedros: cilindro, cono, esfera (tienen superficies curvas)
Respuesta. Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos: todas sus caras son planas.
Verificación. Probá la definición con un prisma de base triangular: 2 triángulos y 3 rectángulos, todos polígonos. Es un poliedro.
Error común. Confundir poliedro con polígono: el polígono es una figura plana; el poliedro es un cuerpo con volumen. Tampoco son poliedros los cuerpos redondos como el cono.
c) Los números p y m
Cómo empezar. Primero p, porque m depende de p. El recíproco de una fracción es la fracción dada vuelta.
Pista 1
Recíproco: intercambiá numerador y denominador. Cuádruple: por 4. Después, el 20 % de un número es 20100 de ese número; el punto quiere decir multiplicar.
Pista 2
Ejemplo con otros números: el triple del recíproco de 34 es 3 × 43 = 4. El 10 % de (4 + 6) es 10100 × 10 = 1.
Pista 3
Calculá 4 × 52. Sumale 2 a ese resultado y tomá el 20 % de la suma, respetando el paréntesis.
Resolución paso a paso del ítem c
El recíproco de 25 es 52, porque 25 × 52 = 1. El cuádruple:
p = 4 × 52 = 202 = 10El paréntesis se resuelve primero; después, el 20 %:
p + 2 = 10 + 2 = 12m = 20100 × 12 = 240100 = 2,4
Respuesta. p = 10 y m = 2,4.
Verificación. p : 4 = 10 : 4 = 52, que multiplicado por 25 da 1: es el recíproco. Y 2,4 : 12 = 0,2, que es el 20 %.
Error común. Hacer primero el cuádruple de 25 (85) y después el recíproco (58): el orden de la frase importa. Otro error es olvidar el paréntesis: 20 % × 10 + 2 da 4.