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Exámenes reales · Politécnico

Ingreso 2023

Rendido el 23 de noviembre de 2022.

Matemática

5 problemas · 50 puntos · 1 h 30 min (así lo fija el Politécnico en su «Modalidad de ingreso»). Cada respuesta se justifica con un planteo, en hoja aparte.

1:30:00

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La clase: el examen problema por problema

Rendí primero el simulacro con el reloj. Después, cada ítem trae cómo empezar, tres pistas que se abren de a una y la resolución paso a paso con la verificación y el error que más se comete. Abrí una pista, intentá de nuevo, y recién entonces mirá la resolución.

Problema 1

a) Obtiene el o los valores que puede asumir el dígito «b» para que el número 30b2 sea múltiplo de 3.

b) Justifica si las medidas de los lados de un triángulo rectángulo pueden ser: 50 cm; 30 cm y 25 cm.

c) Si: A = {x / x = {10/a}; a ∈ M₅ ∧ x ≥ 12} y B = D₆. Escribe A y B por extensión. Justifica si dichos conjuntos son disjuntos.

a) El dígito b

Cómo empezar. No hace falta dividir: hay una regla para saber si un número es múltiplo de 3 mirando sus cifras.

Pista 1

Un número es múltiplo de 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Sumá las cifras que conocés y buscá qué dígitos completan.

Pista 2

Ejemplo con otros números: en 3c3, 3 + 3 = 6, y 6 + c tiene que ser múltiplo de 3. Sirven c = 0, 3, 6 o 9.

Pista 3

Sumá 3 + 0 + 2. Probá los dígitos del 0 al 9 y quedate con los que, sumados a ese resultado, dan 6, 9, 12 o 15.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Suma de las cifras conocidas:

    3 + 0 + b + 2 = 5 + b

  2. b es un dígito, del 0 al 9, así que 5 + b va de 5 a 14. Los múltiplos de 3 en ese tramo son 6, 9 y 12:

    5 + b = 6 ⇒ b = 15 + b = 9 ⇒ b = 45 + b = 12 ⇒ b = 7

Respuesta. El dígito b puede valer 1, 4 o 7: los números son 3012, 3042 y 3072.

Verificación. Dividiendo: 3012 : 3 = 1004, 3042 : 3 = 1014 y 3072 : 3 = 1024, las tres exactas. Con b = 2, 3022 : 3 da 1007 y sobra 1.

Error común. Quedarse con un solo valor cuando el examen pide «el o los valores». Fijate que de una solución a la siguiente se suma 3.

b) ¿Es un triángulo rectángulo?

Cómo empezar. Si fuera rectángulo, el lado más largo sería la hipotenusa. ¿Qué tienen que cumplir los tres lados?

Pista 1

En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras: el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.

Pista 2

Ejemplo con otros números: con 5, 12 y 13, 13² = 169 y 5² + 12² = 25 + 144 = 169: es rectángulo. Con 6, 7 y 9, 9² = 81 y 6² + 7² = 85: no lo es.

Pista 3

Calculá 50² por un lado y 30² + 25² por el otro, y compará.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. El lado mayor, 50 cm, tendría que ser la hipotenusa. Comparamos su cuadrado con la suma de los cuadrados de los otros dos:

    50² = 2.50030² + 25² = 900 + 625 = 1.5252.500 ≠ 1.525

  2. No se cumple el teorema de Pitágoras, así que el triángulo no tiene un ángulo recto.

Respuesta. No: 50 cm, 30 cm y 25 cm no pueden ser los lados de un triángulo rectángulo, porque 50² = 2.500 y 30² + 25² = 1.525 no son iguales.

Verificación. Al revés: para que fuera rectángulo con catetos de 30 cm y 25 cm, la hipotenusa tendría que medir √1.525 ≈ 39,05 cm, no 50 cm.

Error común. Poner el 50 como cateto y sumar mal los cuadrados, o calcular 50 × 2 en lugar de 50 × 50. El cuadrado es el número por sí mismo.

c) Los conjuntos A y B

Cómo empezar. En A, la letra a recorre los múltiplos de 5; cada a da un número x = 10 : a. Los elementos de A son esos x, no las a.

Pista 1

Probá a = 5, 10, 15, 20… Para cada uno calculá x = {10/a} y quedate con los x que no bajan de 12. B son los divisores de 6.

Pista 2

Ejemplo: en C = {x / x = {12/a}; a ∈ M₄ ∧ x ≥ 1}, a = 4 da 3, a = 8 da 32, a = 12 da 1 y a = 16 da 34, que no entra. C = {3; 32; 1}.

Pista 3

Calculá 105, 1010, 1015, 1020 y 1025, y compará cada uno con 12. Después buscá si algún número está en A y en B.

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Probamos los múltiplos de 5 (en ℕ empiezan en 5). Cuanto más grande es a, más chico es x:

    a = 5: x = 105 = 2 sí (2 ≥ 12)a = 10: x = 1010 = 1 sía = 15: x = 1015 = 23 sí (46 > 36)a = 20: x = 1020 = 12 sí («≥» incluye el igual)a = 25: x = 1025 = 25 no (410 < 510)

  2. A partir de a = 25, los x son cada vez más chicos, así que no entra ninguno más.

    A = {2; 1; 23; 12}

  3. B son los divisores de 6:

    B = D₆ = {1; 2; 3; 6}

  4. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Acá comparten el 1 y el 2:

    A ∩ B = {1; 2} ≠ ∅

Respuesta. A = {2; 1; 23; 12} y B = {1; 2; 3; 6}. No son disjuntos, porque tienen elementos en común: A ∩ B = {1; 2}.

Verificación. Cada elemento de A multiplicado por su a da 10: 2 × 5, 1 × 10, 23 × 15 y 12 × 20. Y 1 y 2 dividen a 6.

Error común. Escribir en A los valores de a ({5; 10; 15; 20}) en lugar de los x, o dejar afuera 12: «≥» quiere decir mayor o igual.

Problema 2

Carla compra baldosas rectangulares para colocar en su patio. El perímetro de cada baldosa es 120 cm y la medida del largo de la misma coincide con el doble de la medida de su ancho. Las baldosas se venden en cajas y cada caja contiene 10 baldosas. Si utiliza 11 cajas completas y las tres quintas partes de otra caja para embaldosar su patio, calcula en m², la superficie del patio de Carla.

a) La superficie del patio

Cómo empezar. El patio está cubierto por baldosas: su superficie es la de una baldosa por la cantidad de baldosas. Tenés que averiguar las dos cosas.

Pista 1

Como el largo vale dos anchos, el contorno de la baldosa equivale a 6 anchos. Con eso sale el ancho y el largo. Después contá las baldosas de las cajas.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un rectángulo de 48 cm de perímetro con largo triple del ancho tiene un contorno de 8 anchos: ancho 6 cm, largo 18 cm y superficie 108 cm².

Pista 3

Ancho = 120 cm : 6; largo, el doble. Baldosas: 11 × 10 más 35 de 10. Multiplicá y pasá a m² (1 m² = 10.000 cm²).

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Medidas de una baldosa. El contorno tiene dos largos y dos anchos; cada largo vale dos anchos, así que en total son 6 anchos:

    2 × largo + 2 × ancho = 2 × 2 anchos + 2 anchos = 6 anchosancho = 120 cm : 6 = 20 cmlargo = 2 × 20 cm = 40 cm
    largo = 2 × anchoanchoanchoancho

  2. Superficie de una baldosa:

    40 cm × 20 cm = 800 cm²

  3. Cantidad de baldosas: 11 cajas completas y tres quintos de otra.

    11 × 10 = 110 baldosas35 × 10 = 6 baldosastotal: 110 + 6 = 116 baldosas

  4. Superficie del patio y pasaje a m². Un metro tiene 100 cm, así que 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm²:

    116 × 800 cm² = 92.800 cm²92.800 cm² : 10.000 = 9,28 m²

Respuesta. La superficie del patio de Carla es de 9,28 m².

Verificación. En metros desde el principio: una baldosa mide 0,4 m × 0,2 m = 0,08 m², y 116 × 0,08 m² = 9,28 m².

Error común. Dividir 120 cm por 4 como si la baldosa fuera cuadrada, o dividir por 100 al pasar de cm² a m² (daría 928 m², un patio enorme). Para superficies, el paso de cm² a m² es por 10.000.

Problema 3

Marco construye una pirámide cuya base es un cuadrado de 18 cm de lado. La superficie de una cara lateral de la pirámide equivale a la tercera parte de la superficie de su base. Calcula:

a) La superficie total de la pirámide.

b) ¿Qué porcentaje de la superficie total representa la superficie lateral?

a) La superficie total

Cómo empezar. Contá las caras de una pirámide de base cuadrada: una base y cuatro caras laterales iguales.

Pista 1

Calculá la superficie de la base. Cada cara lateral es la tercera parte de la base. El total es la base más las cuatro caras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: base cuadrada de 6 cm: 36 cm². Si cada cara fuera la mitad de la base, mediría 18 cm²; las cuatro, 72 cm²; el total, 36 + 72 = 108 cm².

Pista 3

Base = 18 cm × 18 cm. Una cara = base : 3. Total = base + 4 × cara.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Base:

    S base = 18 cm × 18 cm = 324 cm²

  2. Una cara lateral es la tercera parte de la base, y hay cuatro:

    S cara = 324 cm² : 3 = 108 cm²S lateral = 4 × 108 cm² = 432 cm²

  3. Superficie total: base más superficie lateral.

    S total = 324 cm² + 432 cm² = 756 cm²

Respuesta. La superficie total de la pirámide es de 756 cm².

Verificación. Midiendo todo en tercios de la base: la base son 3 tercios y las caras, 4 tercios; en total, 7 tercios. 324 cm² : 3 × 7 = 108 cm² × 7 = 756 cm².

Error común. Tomar la tercera parte de la base como superficie lateral entera (es una sola cara), o contar 3 caras porque se dibujan pocas en la figura.

b) El porcentaje de la superficie lateral

Cómo empezar. Porcentaje de un total: la parte dividida por el total, por 100. La parte es la superficie lateral; el total incluye también la base.

Pista 1

Ya tenés la superficie lateral y la total del ítem a. La parte va arriba y el total abajo; el resultado tiene que ser menor que 100 %.

Pista 2

Ejemplo con otros números: 72 cm² de 108 cm² son 72 : 108 × 100 = 66,666… % ≈ 66,67 %.

Pista 3

Dividí la superficie lateral por la superficie total, multiplicá por 100 y redondeá a dos decimales.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Parte sobre total, por cien, redondeado como pide el examen:

    432 cm² : 756 cm² × 100 = 57,142… % ≈ 57,14 %

Respuesta. La superficie lateral representa aproximadamente el 57,14 % de la superficie total.

Verificación. Con tercios: la lateral son 4 tercios de la base y el total, 7 tercios; 47 = 0,5714…, o sea 57,14 %.

Error común. Dividir por la base (432 : 324 da más de 100 %) o invertir la división. Un porcentaje mayor que 100 % no puede ser una parte del total.

Problema 4

a) Álvaro tiene un bolso con gorras para repartir con sus compañeros del club donde juega al rugby. El domingo reparte 14 gorras que equivalen al 40 % de las gorras que le quedan todavía en el bolso. ¿Cuántas gorras tenía Álvaro en el bolso antes de repartirlas a sus compañeros?

b) Luca, otro jugador del equipo de rugby, encargó remeras en el mismo negocio que compraron las gorras. Cada remera cuesta $1460 más que las tres cuartas partes de lo que cuesta cada gorra. ¿Cuál es el precio de cada remera si cada gorra les cuesta $1500?

a) Las gorras del bolso

Cómo empezar. Leé con cuidado: el 40 % no es de todas las gorras, es de las que le quedan después de repartir. Primero averiguá cuántas le quedan.

Pista 1

Las 14 gorras repartidas son el 40 % de las que quedaron. Con eso sacás las que quedaron; las que tenía al principio son las que quedaron más las que repartió.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si regala 6 figuritas, que son el 30 % de las que le quedan, le quedan 6 : 30 × 100 = 20 y tenía 20 + 6 = 26.

Pista 3

14 son el 40 %: dividí 14 por 40 y multiplicá por 100. Después sumale las 14 gorras que repartió.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Las que quedan en el bolso. Si 14 son el 40 %, el 100 % se obtiene dividiendo por 40 y multiplicando por 100:

    40 % → 14 gorras100 % → 14 : 40 × 100 = 35 gorras

  2. Antes de repartir tenía las que le quedan más las que repartió:

    35 + 14 = 49 gorras

Respuesta. Álvaro tenía 49 gorras en el bolso antes de repartirlas.

Verificación. Al revés: 49 − 14 = 35 le quedan, y el 40 % de 35 es 0,4 × 35 = 14, las que repartió.

Error común. Contestar 35, que son las que le quedan, o tomar el 40 % sobre el total: 14 sería el 40 % de 35, no de 49.

b) El precio de la remera

Cómo empezar. «$1460 más que las tres cuartas partes de la gorra»: hay dos operaciones, y el orden es primero las tres cuartas partes y después la suma.

Pista 1

Calculá 34 del precio de la gorra y después sumale $1460.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si un libro cuesta $500 más que 25 de $2.000, primero 25 × 2.000 = 800, y después 800 + 500 = $1.300.

Pista 3

Hacé $1500 : 4 × 3 y al resultado sumale $1460.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Tres cuartas partes del precio de la gorra:

    34 × $1500 = $1500 : 4 × 3 = $375 × 3 = $1125

  2. La remera cuesta $1460 más que eso:

    $1125 + $1460 = $2585

Respuesta. Cada remera cuesta $2585.

Verificación. $2585 − $1460 = $1125, y $1125 : $1500 = 0,75 = 34.

Error común. Sumar primero y después tomar los tres cuartos: 34 × ($1500 + $1460) = $2220. La frase dice «más que las tres cuartas partes», así que la suma va al final.

Problema 5

Calcula la superficie total de un prisma recto, sabiendo que la base es un triángulo equilátero de 150 dm de perímetro y la altura de dicho prisma mide 64 dm.

a) La superficie total del prisma

Cómo empezar. Un prisma de base triangular tiene 5 caras: 2 triángulos iguales (las bases) y 3 rectángulos (las caras laterales). Calculá cada tipo por separado.

Pista 1

Las caras laterales son rectángulos de lado del triángulo por altura del prisma. Para la superficie del triángulo necesitás su altura, que sale con Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un triángulo equilátero de 20 dm de lado tiene altura √(20² − 10²) = √300 ≈ 17,32 dm y superficie 20 × 17,32 : 2 = 173,2 dm².

Pista 3

Lado = 150 : 3. Altura del triángulo = √(lado² − (lado : 2)²). Sumá 2 triángulos de lado × altura : 2 y 3 rectángulos de lado × 64 dm.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Lado del triángulo equilátero:

    lado = 150 dm : 3 = 50 dm

  2. Altura del triángulo (no es la altura del prisma). Parte la base en dos mitades de 25 dm y forma un triángulo rectángulo de hipotenusa 50 dm:

    h² = 50² − 25² = 2.500 − 625 = 1.875h = √1.875 ≈ 43,30 dm
    50 dm50 dm25 dm25 dmh

  3. Las dos bases:

    S triángulo = 50 dm × 43,30 dm : 2 = 1.082,5 dm²2 bases = 2 × 1.082,5 dm² = 2.165 dm²

  4. Superficie lateral: 3 rectángulos de 50 dm por 64 dm.

    S lateral = 3 × 50 dm × 64 dm = 3 × 3.200 dm² = 9.600 dm²

  5. Superficie total:

    S total = 2.165 dm² + 9.600 dm² = 11.765 dm²

Respuesta. La superficie total del prisma es de 11.765 dm² aproximadamente.

Verificación. La lateral también es perímetro de la base × altura del prisma: 150 dm × 64 dm = 9.600 dm². Y 43,30² = 1.874,89, casi 1.875: la altura está bien redondeada.

Error común. Confundir la altura del prisma (64 dm) con la altura del triángulo, o contar una sola base. Con la altura del triángulo sin redondear (43,301… dm), el total da 11.765,06 dm²; redondeando la altura a dos decimales, como pide el examen, da 11.765 dm².

Dictado: «Personajes memorables»

En el examen vale 15 puntos. La voz del navegador lo lee primero entero y después frase por frase, con el tiempo que necesites para escribir.

Ver el dictado oficial

Abrir en pantalla completaFuente: ips.edu.ar