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Exámenes reales · Politécnico

Ingreso 2022

Rendido el 24 de noviembre de 2021.

Matemática

5 problemas · 50 puntos · 1 h 30 min (así lo fija el Politécnico en su «Modalidad de ingreso»). Cada respuesta se justifica con un planteo, en hoja aparte.

1:30:00

Abrir en pantalla completaFuente: ips.edu.ar

La clase: el examen problema por problema

Rendí primero el simulacro con el reloj. Después, cada ítem trae cómo empezar, tres pistas que se abren de a una y la resolución paso a paso con la verificación y el error que más se comete. Abrí una pista, intentá de nuevo, y recién entonces mirá la resolución.

Problema 1

Responde.

a) ¿Cuál es la superficie lateral de una pirámide sabiendo que la medida de su apotema es 0,1 m y su base es un hexágono regular de 42 cm de perímetro?

b) ¿Cuándo dos figuras son isoperimétricas?

c) ¿Cuántos lados posee un polígono en el cual, al trazar las diagonales desde un vértice, quedan determinados 10 triángulos? Justifica.

d) ¿Cuál es el recíproco de «p» si mcm(p; 120) = 240 y dcm(p; 120) = 8?

a) La superficie lateral de la pirámide

Cómo empezar. Fijate las unidades: la apotema está en metros y el perímetro en centímetros. Primero pasá todo a la misma unidad.

Pista 1

La superficie lateral son 6 triángulos iguales: base el lado del hexágono y altura la apotema. Juntos dan perímetro de la base × apotema : 2.

Pista 2

Ejemplo con otros números: una pirámide de base cuadrada con 20 cm de perímetro y apotema 0,08 m = 8 cm tiene superficie lateral 20 cm × 8 cm : 2 = 80 cm².

Pista 3

Pasá 0,1 m a centímetros (1 m = 100 cm). Después multiplicá 42 cm por la apotema y dividí por 2.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Misma unidad: centímetros.

    0,1 m = 0,1 × 100 cm = 10 cm

  2. Cada cara lateral es un triángulo de base el lado del hexágono y altura la apotema. Sumar las 6 caras es lo mismo que hacer perímetro × apotema : 2:

    S lateral = 42 cm × 10 cm : 2 = 210 cm²

Respuesta. La superficie lateral de la pirámide es de 210 cm².

Verificación. Cara por cara: el lado del hexágono es 42 cm : 6 = 7 cm; una cara mide 7 cm × 10 cm : 2 = 35 cm², y seis caras, 6 × 35 cm² = 210 cm².

Error común. Pasar 0,1 m a 1 cm (es por 100, no por 10) o multiplicar 42 × 0,1 mezclando centímetros con metros. También, olvidar el «: 2» de los triángulos.

b) Figuras isoperimétricas

Cómo empezar. Desarmá la palabra: «iso» quiere decir igual y «perímetro» es la medida del contorno.

Pista 1

Pensá qué tienen igual las figuras. No es la forma ni la superficie.

Pista 2

Un cuadrado de 6 cm de lado y un rectángulo de 8 cm por 4 cm son distintos, pero sus contornos miden lo mismo: 24 cm.

Pista 3

Escribí la definición con una oración completa: «Dos figuras son isoperimétricas cuando…».

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Isoperimétricas significa «de igual perímetro». Pueden tener formas y superficies distintas.

    Cuadrado de 6 cm: 4 × 6 cm = 24 cmRectángulo de 8 cm por 4 cm: 2 × 8 cm + 2 × 4 cm = 24 cmSuperficies: 36 cm² y 32 cm² (distintas)

Respuesta. Dos figuras son isoperimétricas cuando tienen el mismo perímetro.

Verificación. En el ejemplo, los perímetros coinciden (24 cm) aunque las superficies no: la definición habla solo del contorno.

Error común. Confundir con figuras equivalentes, que son las que tienen igual superficie.

c) Los lados del polígono

Cómo empezar. Dibujá polígonos chicos, trazá las diagonales desde un vértice y contá los triángulos. Buscá la relación entre lados y triángulos.

Pista 1

Desde un vértice, las diagonales van a todos los vértices menos a él mismo y a sus dos vecinos. Compará la cantidad de triángulos con la de lados.

Pista 2

Ejemplo: en un pentágono, desde un vértice salen 2 diagonales y quedan 3 triángulos; en un hexágono salen 3 diagonales y quedan 4 triángulos.

Pista 3

Los triángulos son siempre 2 menos que los lados. Planteá: lados − 2 = 10, y despejá.

Resolución paso a paso del ítem c

  1. En un polígono de n lados, desde un vértice se trazan n − 3 diagonales (no van a sí mismo ni a los dos vértices vecinos). Esas diagonales lo cortan en n − 2 triángulos.

    pentágono: 5 − 2 = 3 triánguloshexágono: 6 − 2 = 4 triángulosn lados: n − 2 triángulos

  2. Con 10 triángulos:

    n − 2 = 10 ⇒ n = 10 + 2 = 12
    12345678910

Respuesta. El polígono tiene 12 lados (es un dodecágono), porque al trazar las diagonales desde un vértice quedan siempre 2 triángulos menos que lados.

Verificación. Desde un vértice del dodecágono salen 12 − 3 = 9 diagonales, y 9 diagonales cortan el polígono en 9 + 1 = 10 triángulos.

Error común. Contestar 10 (igualar triángulos con lados) o 13 (confundir con la cantidad de diagonales, que son n − 3).

d) El recíproco de p

Cómo empezar. Primero hay que encontrar p. Hay una relación entre el mcm, el dcm y los dos números que sirve justo para esto.

Pista 1

Para dos números naturales, el mcm por el dcm es igual al producto de los dos números. Después, el recíproco de un número es 1 dividido ese número.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si mcm(q; 6) = 12 y dcm(q; 6) = 2, entonces q × 6 = 12 × 2 = 24 y q = 4. El recíproco de 4 es 14.

Pista 3

Planteá p × 120 = 240 × 8 y despejá p. Después escribí p como fracción y dala vuelta.

Resolución paso a paso del ítem d

  1. mcm × dcm = producto de los dos números:

    p × 120 = 240 × 8 = 1.920p = 1.920 : 120 = 16

  2. Comprobamos con la descomposición en factores primos:

    16 = 2⁴ 120 = 2³ × 3 × 5dcm(16; 120) = 2³ = 8 mcm(16; 120) = 2⁴ × 3 × 5 = 240

  3. El recíproco de 16 es el número que multiplicado por 16 da 1:

    16 = 161 ⇒ recíproco: 116

Respuesta. p = 16, y su recíproco es 116.

Verificación. 16 × 116 = 1616 = 1. Y los factores primos confirman que dcm(16; 120) = 8 y mcm(16; 120) = 240.

Error común. Dar como respuesta p = 16 y olvidar el recíproco, o confundir recíproco con opuesto (−16).

Problema 2

La base de un prisma recto es un cuadrado de 144 cm² de superficie. La medida del lado de la base equivale a la tercera parte de la medida de la altura del prisma.

a) Calcula la superficie total del prisma.

b) ¿Qué porcentaje de la superficie total del prisma representa la superficie de una de sus bases?

a) La superficie total del prisma

Cómo empezar. Un prisma de base cuadrada tiene 2 bases cuadradas y 4 caras laterales rectangulares. Para las caras necesitás el lado de la base y la altura.

Pista 1

El lado de la base es el número que multiplicado por sí mismo da 144. Si el lado es la tercera parte de la altura, la altura es el triple del lado.

Pista 2

Ejemplo con otros números: base cuadrada de 25 cm²: lado 5 cm; altura el triple, 15 cm. Caras: 4 × 5 × 15 = 300 cm². Total: 300 + 2 × 25 = 350 cm².

Pista 3

Lado = √144; altura = 3 × lado. Sumá 4 caras de lado × altura y 2 bases de 144 cm².

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Lado de la base y altura del prisma:

    lado = √144 cm² = 12 cm, porque 12 × 12 = 144altura = 3 × 12 cm = 36 cm

  2. Caras laterales: 4 rectángulos de 12 cm por 36 cm.

    una cara: 12 cm × 36 cm = 432 cm²S lateral = 4 × 432 cm² = 1.728 cm²

  3. Superficie total: las dos bases más la lateral.

    S total = 2 × 144 cm² + 1.728 cm² = 288 cm² + 1.728 cm² = 2.016 cm²

Respuesta. La superficie total del prisma es de 2.016 cm².

Verificación. Cada cara lateral (432 cm²) es 3 veces la base. Entonces el total son 2 bases + 4 × 3 bases = 14 bases: 14 × 144 cm² = 2.016 cm².

Error común. Dar vuelta la relación y hacer altura = 12 : 3 = 4 cm. El lado es la tercera parte de la altura: la altura es la más grande. También es común contar una sola base.

b) El porcentaje de una base

Cómo empezar. La parte es una sola base; el total es la superficie total del ítem a.

Pista 1

Porcentaje: parte dividida por total, por 100. Ojo: es una de las bases, no las dos.

Pista 2

Ejemplo con otros números: 40 cm² de un total de 320 cm² son 40 : 320 × 100 = 12,5 %.

Pista 3

Dividí 144 cm² por la superficie total, multiplicá por 100 y redondeá a dos decimales.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Una base sobre el total, por cien:

    144 cm² : 2.016 cm² × 100 = 7,142… % ≈ 7,14 %

Respuesta. Una base representa aproximadamente el 7,14 % de la superficie total del prisma.

Verificación. El total son 14 bases, así que una base es 114 del total: 1 : 14 = 0,0714…, es decir, 7,14 %.

Error común. Usar las dos bases (288 cm²) y obtener 14,29 %, o invertir la división.

Problema 3

La siguiente figura que armó Violeta está formada por un triángulo equilátero cuyo perímetro es 90 cm, dos cuadrados de igual cantidad de superficie y una semicircunferencia.

Calcula (utiliza π = 3,14)

a) El perímetro de la figura.

b) La medida de la diagonal de uno de los cuadrados.

c) La superficie de la semicircunferencia.

La figura de Violeta, como en el examen.

a) El perímetro de la figura

Cómo empezar. Mirá la figura: los dos cuadrados juntos ocupan lo mismo que la base del triángulo. De ahí sale el lado de cada cuadrado.

Pista 1

El perímetro es solo el contorno de afuera. Los segmentos de adentro (base del triángulo, lado común de los cuadrados, diámetro) no cuentan.

Pista 2

Ejemplo con otros números: una semicircunferencia de 10 cm de diámetro mide 3,14 × 10 cm : 2 = 15,7 cm de largo.

Pista 3

Lado del triángulo = 90 cm : 3; lado de cada cuadrado, la mitad. Sumá 2 lados del triángulo, 2 lados de cuadrado y media circunferencia de diámetro 30 cm.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. El triángulo es equilátero: sus tres lados son iguales. Su base está ocupada por los dos cuadrados iguales, así que cada cuadrado tiene de lado la mitad.

    lado del triángulo = 90 cm : 3 = 30 cmlado de cada cuadrado = 30 cm : 2 = 15 cm

  2. La semicircunferencia tiene de diámetro los dos lados de abajo de los cuadrados: 30 cm. Su largo es la mitad de la circunferencia (π × diámetro).

    arco = 3,14 × 30 cm : 2 = 47,10 cm

  3. El contorno: dos lados del triángulo, el lado de afuera de cada cuadrado y el arco.

    P = 30 cm + 30 cm + 15 cm + 15 cm + 47,10 cm = 137,10 cm
    30 cm30 cm15 cm15 cmarco

Respuesta. El perímetro de la figura es de 137,10 cm.

Verificación. Otra forma de sumar: los lados rectos dan 2 × 30 cm + 2 × 15 cm = 90 cm, y 90 cm + 47,10 cm = 137,10 cm.

Error común. Sumar los lados de adentro (la base del triángulo o el lado que comparten los cuadrados) o usar la circunferencia entera (94,20 cm) en lugar de la mitad.

b) La diagonal de un cuadrado

Cómo empezar. La diagonal parte al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales. ¿Qué lado de esos triángulos es la diagonal?

Pista 1

La diagonal es la hipotenusa y los catetos son dos lados del cuadrado. Usá el teorema de Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: en un cuadrado de 4 cm de lado, la diagonal mide √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66 cm.

Pista 3

Calculá √(15² + 15²) y redondeá a dos decimales.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Teorema de Pitágoras con catetos de 15 cm:

    d² = 15² + 15² = 225 + 225 = 450d = √450 = 21,213… cm ≈ 21,21 cm

Respuesta. La diagonal de cada cuadrado mide aproximadamente 21,21 cm.

Verificación. 21,21² = 449,86…, muy cerca de 450. Y la diagonal es más larga que el lado (15 cm) pero más corta que dos lados (30 cm), como tiene que ser.

Error común. Sumar los lados (15 + 15 = 30) sin elevar al cuadrado, o olvidar la raíz y contestar 450.

c) La superficie de la semicircunferencia

Cómo empezar. Se pide la superficie de la región encerrada por la semicircunferencia, es decir, del semicírculo: la mitad de un círculo.

Pista 1

La superficie del círculo es π × r², y la del semicírculo, la mitad. El radio es la mitad del diámetro, que ya conocés.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un semicírculo de 10 cm de radio mide 3,14 × 10² : 2 = 3,14 × 100 : 2 = 157 cm².

Pista 3

El diámetro es 30 cm: el radio es la mitad. Calculá 3,14 × r × r y dividí por 2.

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Radio: la mitad del diámetro.

    r = 30 cm : 2 = 15 cm

  2. Círculo entero y su mitad:

    S círculo = 3,14 × (15 cm)² = 3,14 × 225 cm² = 706,5 cm²S semicírculo = 706,5 cm² : 2 = 353,25 cm²

Respuesta. La superficie de la semicircunferencia (el semicírculo) es de 353,25 cm².

Verificación. Al revés: 353,25 cm² × 2 : 3,14 = 225 cm², que es 15 cm × 15 cm: el radio es 15 cm.

Error común. Usar el diámetro como radio (daría 1.413 cm²) o no dividir por 2. En rigor, la semicircunferencia es la línea curva; el examen llama así a la región, y lo que se calcula es la superficie del semicírculo.

Problema 4

Mirko vende cajas con 10 barbijos cada una. A una empresa le vende las dos quintas partes de las cajas que tiene y luego a Nicolás, el 20 % de las cajas que le quedaban. Después de estas dos ventas, todavía tiene 36 cajas.

a) ¿Cuántas cajas le vendió a Nicolás?

b) ¿Qué parte de la cantidad de barbijos vendidos a la empresa representan la cantidad de barbijos que hay en cada caja?

a) Las cajas de Nicolás

Cómo empezar. El 20 % de Nicolás no es del total: es de lo que quedaba después de la empresa. Primero buscá qué fracción del total son las 36 cajas.

Pista 1

Después de la empresa queda una parte del total; Nicolás se lleva el 20 % de esa parte, así que queda el 80 % de esa parte. Esa fracción son 36 cajas.

Pista 2

Ejemplo con otros números: vende 14 y después el 50 % de lo que queda; le quedan 12. Queda 12 × 34 = 38; 18 son 4 cajas y el total, 32.

Pista 3

Después de la empresa queda 35; después de Nicolás, 45 de 35. Averiguá el total y calculá el 20 % de lo que quedaba después de la empresa.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Después de la empresa:

    empresa: 25 del totalqueda: 1 − 25 = 35 del total

  2. Nicolás se lleva el 20 % = 15 de lo que quedaba; queda 45 de eso:

    queda al final: 45 × 35 = 1225 del total → 36 cajas

  3. De doce veinticincoavos a uno, y al total:

    125 → 36 : 12 = 3 cajas2525 → 3 × 25 = 75 cajas

  4. Ahora las ventas:

    empresa: 25 × 75 = 30 cajasquedaban: 75 − 30 = 45 cajasNicolás: 20 % de 45 = 0,2 × 45 = 9 cajas

Respuesta. A Nicolás le vendió 9 cajas.

Verificación. 75 − 30 − 9 = 36 cajas, las que le quedan. Y 9 : 45 = 0,2, el 20 % de lo que quedaba.

Error común. Calcular el 20 % del total (15 cajas): con eso le quedarían 75 − 30 − 15 = 30 cajas, no 36. También pasa que se contesta 75, que es el total de cajas.

b) Qué parte es una caja

Cómo empezar. Leé la pregunta al revés para ordenarla: «los barbijos de una caja» son la parte y «los barbijos vendidos a la empresa» son el total.

Pista 1

Contá los barbijos que se vendieron a la empresa: cajas de la empresa por 10. Después armá la fracción con la caja arriba.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si a una escuela le vende 20 cajas de 10 barbijos, son 200 barbijos, y una caja representa 10200 = 120 de lo vendido.

Pista 3

Multiplicá las cajas que compró la empresa (ítem a) por 10. Poné 10 sobre ese número y simplificá.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Barbijos vendidos a la empresa:

    30 cajas × 10 barbijos = 300 barbijos

  2. Una caja sobre ese total, simplificada dividiendo por 10:

    10300 = 130

Respuesta. Los barbijos de cada caja representan 130 de los barbijos vendidos a la empresa.

Verificación. Es lo mismo que comparar cajas: 1 caja de las 30 que compró la empresa es 130. Y 130 de 300 barbijos son 10.

Error común. Invertir la fracción (30010 = 30) o comparar con todos los barbijos de Mirko (750) en lugar de los de la empresa.

Problema 5

Se organiza en la ciudad de Rosario una MARATÓN. Las personas inscriptas que viven en Rosario superan en 580 a quienes se inscribieron y no viven en Rosario. Las personas inscriptas que no viven en Rosario representan el 40 % del total de inscriptos.

¿Cuántas personas se inscribieron para correr la MARATÓN?

a) Los inscriptos de la maratón

Cómo empezar. El 580 no es un grupo de personas: es la diferencia entre dos grupos. Averiguá qué porcentaje del total es esa diferencia.

Pista 1

Si los de afuera son el 40 %, los de Rosario son el resto. Restá los dos porcentajes: esa diferencia corresponde a 580 personas.

Pista 2

Ejemplo con otros números: en un club, el 30 % son chicos y el 70 % grandes, y los grandes superan a los chicos en 200. Entonces el 40 % son 200, el 1 % es 5 y el total, 500.

Pista 3

Los de Rosario son el 60 %. 60 % − 40 % = 20 % → 580 personas. Dividí por 20 y multiplicá por 100.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Los inscriptos son de Rosario o de afuera: entre los dos grupos suman el 100 %.

    de afuera: 40 %de Rosario: 100 % − 40 % = 60 %

  2. Los de Rosario superan a los de afuera en 580 personas. En porcentaje, esa diferencia es:

    60 % − 40 % = 20 % → 580 personas

  3. Del 20 % al 100 %:

    1 % → 580 : 20 = 29 personas100 % → 29 × 100 = 2.900 personas

Respuesta. Se inscribieron 2.900 personas para correr la maratón.

Verificación. De afuera: 40 % de 2.900 = 1.160. De Rosario: 60 % de 2.900 = 1.740. Diferencia: 1.740 − 1.160 = 580, el dato.

Error común. Tomar 580 como el 40 % (daría 1.450) o como el 60 %. El 580 es lo que un grupo tiene de más que el otro, no la cantidad de ninguno de los dos.

Dictado: «Historias para atesorar»

En el examen vale 15 puntos. La voz del navegador lo lee primero entero y después frase por frase, con el tiempo que necesites para escribir.

Ver el dictado oficial

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