Problema 1
Responde, justificando tus respuestas:
a) ¿Cuántos lados posee un polígono por el que se pueden trazar 10 diagonales desde un vértice?
b) ¿Cuál es la superficie lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero de 62,34 cm² de superficie y ésta representa el 20 % de la superficie de una de sus caras laterales?
c) ¿Cuándo dos conjuntos son disjuntos?
a) Diagonales desde un vértice
Cómo empezar. Desde un vértice no se puede trazar una diagonal hacia sí mismo ni hacia sus dos vecinos. Pensá cuántos vértices quedan.
Pista 1
En un polígono de n lados hay n vértices. Desde uno de ellos, las diagonales van a todos los vértices menos tres: él mismo y los dos de al lado.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si desde un vértice salen 7 diagonales, el polígono tiene 7 + 3 = 10 lados (un decágono).
Pista 3
Planteá n − 3 = 10 y despejá n sumando 3 en los dos lados.
Resolución paso a paso del ítem a
Desde un vértice de un polígono de n lados se trazan n − 3 diagonales: se descuentan el propio vértice y los dos vecinos, que se unen con lados y no con diagonales.
diagonales desde un vértice = n − 3Igualamos al dato y despejamos:
n − 3 = 10n = 10 + 3 = 13
Respuesta. El polígono tiene 13 lados.
Verificación. En un polígono de 13 vértices, desde uno se descartan 3 (él y sus dos vecinos): 13 − 3 = 10 diagonales, el dato.
Error común. Confundir con el total de diagonales del polígono, que es n × (n − 3) : 2. La pregunta habla de las que salen de un solo vértice.
b) Superficie lateral del prisma
Cómo empezar. La base es el 20 % de una cara lateral. Primero buscá cuánto mide una cara; después contá cuántas caras laterales tiene un prisma de base triangular.
Pista 1
Si 62,34 cm² son el 20 % de una cara, la cara entera es el 100 %, o sea, cinco veces más.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si 15 cm² son el 25 % de una superficie, la superficie entera es 15 cm² × 4 = 60 cm², porque 25 % entra cuatro veces en 100 %.
Pista 3
Multiplicá 62,34 cm² por 5 para tener una cara. El prisma triangular tiene tantas caras laterales como lados tiene el triángulo: multiplicá por esa cantidad.
Resolución paso a paso del ítem b
El 20 % es 20100 = 15. Si la base es un quinto de la cara, la cara es cinco veces la base:
una cara lateral = 62,34 cm² × 5 = 311,7 cm²La base es un triángulo: tiene 3 lados, y el prisma tiene una cara lateral rectangular sobre cada lado. Como el triángulo es equilátero, las tres caras son iguales:
S lateral = 3 × 311,7 cm² = 935,1 cm²
Respuesta. La superficie lateral del prisma es 935,1 cm².
Verificación. El 20 % de 311,7 cm² es 311,7 cm² × 0,2 = 62,34 cm², la base. Y 935,1 cm² : 3 = 311,7 cm² por cara.
Error común. Calcular el 20 % de 62,34 cm² (eso da 12,468 cm², más chico que la base). El dato dice que la base es el 20 % de la cara, así que la cara tiene que ser más grande que la base.
c) Conjuntos disjuntos
Cómo empezar. Pensá en dos conjuntos que no se tocan: ¿qué tienen en común?
Pista 1
La palabra clave es la intersección: los elementos que están a la vez en los dos conjuntos.
Pista 2
Ejemplo: {1; 2} y {3; 4} no comparten ningún elemento. En cambio, {1; 2} y {2; 5} comparten el 2.
Pista 3
Escribí la definición con una oración completa: «Dos conjuntos son disjuntos cuando…».
Resolución paso a paso del ítem c
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. Dicho con símbolos, su intersección es el conjunto vacío.
A y B disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅{1; 2} ∩ {3; 4} = ∅ (disjuntos){1; 2} ∩ {2; 5} = {2} (no son disjuntos)
Respuesta. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en común, es decir, cuando su intersección es vacía.
Verificación. Con la definición, revisá el ejemplo: ningún elemento de {1; 2} aparece en {3; 4}, así que la intersección queda vacía.
Error común. Decir que son disjuntos porque «son distintos». {1; 2} y {2; 5} son distintos, pero no son disjuntos: comparten el 2.