Ingreso 2020

1. Calculamos x para los primeros naturales:

   b = 1 → x = 12 + 1 = 13b = 2 → x = 6 + 1 = 7b = 3 → x = 4 + 1 = 5b = 4 → x = 3 + 1 = 4b = 5 → x = 2,4 + 1 = 3,4b = 6 → x = 2 + 1 = 3 (no es mayor que 3)

2. Desde b = 6 en adelante, {12/b} vale 2 o menos, así que x vale 3 o menos y no entra. La condición pide que b sea natural, pero no que x lo sea: por eso 3,4 también es elemento de B.

   B = {13; 7; 5; 4; 3,4}

Respuesta. B = {13; 7; 5; 4; 3,4}.

Verificación. Con b = 6, x = 3, que no cumple x > 3; con b = 7, x = 127 + 1 ≈ 2,71, menos todavía. Y 3,4 sí cumple: 3,4 > 3.

Error común. Probar solo los divisores de 12 y perder el 3,4: el enunciado no exige que x sea natural. También es común incluir el 3: «mayor que 3» no incluye al 3.

1. Relación de Euler para poliedros: C + V = A + 2.

   C + 10 = 16 + 2C + 10 = 18C = 18 − 10 = 8

Respuesta. El poliedro tiene 8 caras, porque por la relación de Euler C + V = A + 2, y 8 + 10 = 16 + 2.

Verificación. Reemplazá los tres números en la relación: C + V = 8 + 10 = 18 y A + 2 = 16 + 2 = 18. Los dos lados dan lo mismo.

Error común. Escribir la fórmula como C + A = V + 2. Para acordarte, probala con el cubo: 6 caras + 8 vértices = 14 = 12 aristas + 2.

1. Traducimos cada pedazo:

   el cubo de m → m³el triple de p → 3pla suma entre ambos → m³ + 3p

2. La sexta parte de toda esa suma:

   (m³ + 3p) : 6 o también 16 × (m³ + 3p)

Respuesta. La expresión es (m³ + 3p) : 6, que también se escribe 16 × (m³ + 3p).

Verificación. Probá con m = 2 y p = 4: el cubo de 2 es 8, el triple de 4 es 12, la suma 20 y su sexta parte 206 = 103. Con la expresión: (2³ + 3 × 4) : 6 = 20 : 6 = 103.

Error común. Escribir m³ + 3p : 6 sin paréntesis: así solo se divide el 3p. También, confundir el cubo (m³) con el triple (3m).

1. Elegimos, por ejemplo, 15 y buscamos sus divisores:

   15 = 3 × 5D₁₅ = {1; 3; 5; 15}

2. Tiene cuatro divisores, más de dos: es compuesto.

Respuesta. Por ejemplo, 15 es compuesto porque tiene más de dos divisores: 1, 3, 5 y 15.

Verificación. 15 : 3 = 5 y 15 : 5 = 3, divisiones exactas: 3 y 5 son divisores distintos de 1 y de 15.

Error común. Dar el 1 (no es primo ni compuesto: tiene un solo divisor) o un número como 7, que es impar pero primo: ser impar no lo hace compuesto.

1. Factorizamos 525 y 70:

   525 = 3 × 5² × 770 = 2 × 5 × 7

2. mcm: todos los primos, cada uno con su mayor exponente.

   a = mcm(525; 70) = 2 × 3 × 5² × 7 = 1.050

3. Múltiplos de 63 cerca de 510:

   63 × 8 = 504 (menor que 510)63 × 9 = 567 (se pasa)b = 504 = 2³ × 3² × 7

4. dcm: solo los primos comunes, con el menor exponente.

   1.050 = 2 × 3 × 5² × 7504 = 2³ × 3² × 7dcm(1.050; 504) = 2 × 3 × 7 = 42

Respuesta. a = 1.050, b = 504 y el dcm(a; b) es 42.

Verificación. 1.050 : 42 = 25 y 504 : 42 = 12. Como 25 y 12 no tienen divisores comunes (salvo el 1), 42 es el mayor divisor común.

Error común. Tomar como a el producto 525 × 70 en lugar del mcm, o tomar b = 567, que se pasa de 510.

1. Una cara:

   1.350 cm² : 6 = 225 cm²

2. La arista es el lado de un cuadrado de 225 cm²:

   √225 cm² = 15 cm, porque 15 × 15 = 225

3. La diagonal d divide la cara en dos triángulos rectángulos con catetos de 15 cm. Por Pitágoras:

   d² = 15² + 15² = 225 + 225 = 450d = √450 ≈ 21,21 cm

Respuesta. La diagonal de una cara del cubo mide aproximadamente 21,21 cm.

Verificación. 21,21² = 449,86…, casi 450: la raíz está bien redondeada. Otra forma: la diagonal de un cuadrado es el lado × √2, y 15 × 1,4142 ≈ 21,21.

Error común. Dividir por 4 en lugar de por 6 (la superficie total incluye las 6 caras), o dar la diagonal del cubo (la que lo atraviesa) en lugar de la de una cara.

1. Factor común 53 (propiedad distributiva al revés):

   53x + 53y = 53 × (x + y) = 53 × 65 = 3015 = 2

2. La potencia:

   (32)³ = 278

3. Sumamos:

   2 + 278 = 168 + 278 = 438 = 5,375

Respuesta. La expresión vale 438, que es 5,375 (redondeado con dos decimales, 5,38).

Verificación. Elegí valores que sumen 65, por ejemplo x = 1 e y = 15: 53 + 13 + 278 = 2 + 278 = 438. Da lo mismo.

Error común. Elevar al cubo solo el numerador (32)³ = 272, o multiplicar por 3 en lugar de elevar al cubo (92). El cubo se aplica a numerador y denominador.

1. Lado de cada triángulo equilátero, que es también el lado de la base:

   l = 60 cm : 3 = 20 cm

2. Superficie de la base cuadrada:

   20 cm × 20 cm = 400 cm²

3. Altura de una cara lateral: la altura parte el triángulo en dos triángulos rectángulos con hipotenusa 20 cm y un cateto de 10 cm.

   h² = 20² − 10² = 400 − 100 = 300h = √300 ≈ 17,32 cm

4. Superficie de una cara y de las cuatro:

   una cara: 20 cm × 17,32 cm : 2 = 173,2 cm²S lateral = 4 × 173,2 cm² = 692,8 cm²

5. Superficie total y porcentaje de la base:

   S total = 400 cm² + 692,8 cm² = 1.092,8 cm²400 cm² : 1.092,8 cm² × 100 = 36,603… % ≈ 36,60 %

Respuesta. La base representa aproximadamente el 36,60 % de la superficie total de la pirámide.

Verificación. Las caras laterales son el resto: 692,8 cm² : 1.092,8 cm² × 100 ≈ 63,40 %, y 36,60 % + 63,40 % = 100 %.

Error común. Comparar la base solo con la superficie lateral (400 : 692,8 da 57,74 %): el enunciado pide la superficie total, que incluye a la base. También, usar 20 cm como altura del triángulo: la altura es menor que el lado.

1. El radio, desde el perímetro de la base:

   2 × 3,14 × r = 25,12 cmr = 25,12 cm : 6,28 = 4 cm

2. Superficie de la base:

   3,14 × (4 cm)² = 3,14 × 16 cm² = 50,24 cm²

3. La base es la sexta parte de la lateral, entonces la lateral es seis veces la base:

   S lateral = 50,24 cm² × 6 = 301,44 cm²

4. Desplegada, la superficie lateral es un rectángulo de base 25,12 cm y altura h:

   25,12 cm × h = 301,44 cm²h = 301,44 cm² : 25,12 cm = 12 cm

Respuesta. La altura del frasco es 12 cm.

Verificación. Superficie lateral = 25,12 cm × 12 cm = 301,44 cm², y 301,44 cm² : 6 = 50,24 cm², que es la base. Se cumple el dato.

Error común. Usar 25,12 cm como si fuera el diámetro o el radio. El perímetro es la vuelta completa: hay que dividir por 2 × 3,14.

1. Medidas de la etiqueta en centímetros (10 mm = 1 cm):

   80 mm = 8 cm 50 mm = 5 cmuna etiqueta: 8 cm × 5 cm = 40 cm²

2. Las 200 etiquetas:

   200 × 40 cm² = 8.000 cm²

3. En metros cuadrados (1 m² = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm²):

   8.000 cm² : 10.000 = 0,8 m²0,8 m² < 1 m²

4. Además, se pueden cortar: en un papel de 100 cm × 100 cm entran 12 etiquetas por fila (12 × 8 cm = 96 cm) y 20 filas (20 × 5 cm = 100 cm).

   12 × 20 = 240 etiquetas, más que 200

Respuesta. Sí, le alcanza: las 200 etiquetas ocupan 0,8 m², menos que 1 m² (y del papel se pueden cortar hasta 240 etiquetas).

Verificación. Al revés: 1 m² = 10.000 cm², y 10.000 cm² : 40 cm² = 250 etiquetas como máximo por superficie. 200 es menos que 250.

Error común. Pasar mal las unidades de superficie: 1 m² no son 100 cm², son 10.000 cm². Con ese error parece que no alcanza. El dato del radio y la altura no hace falta para este ítem.

1. Todo en veinteavos (20 es el mcm de 4 y 5):

   grandes: 14 = 520 medianos: 25 = 820pequeños: 2020 − 520 − 820 = 720

2. Diferencia entre pequeños y grandes:

   720 − 520 = 220 = 110 del total

3. Esa diferencia son 6 bidones:

   110 del total = 6total = 6 × 10 = 60 bidones

Respuesta. En el negocio hay 60 bidones de jabón líquido.

Verificación. Grandes: 60 : 4 = 15. Medianos: 25 de 60 = 24. Pequeños: 60 − 15 − 24 = 21. Y 21 − 15 = 6, el dato.

Error común. Pensar que los 6 bidones son los pequeños. Son la diferencia entre pequeños y grandes.

1. Todo como porcentaje del precio del grande:

   grande + pequeño = 100 % + 35 % = 135 % = 1,35 del grande1,35 × grande = $303,75

2. Despejamos dividiendo:

   grande = $303,75 : 1,35 = $225

Respuesta. El bidón grande cuesta $225.

Verificación. El pequeño cuesta el 35 % de $225: $225 × 0,35 = $78,75. $225 + $78,75 = $303,75, lo que gastó Adriano.

Error común. Calcular el 35 % de $303,75: el 35 % es del precio del grande, no del total gastado.