Problema 1
a) Luis expresó por extensión el conjunto D₃₆, ordenando sus elementos de menor a mayor. Con los 5 primeros elementos de dicho conjunto, escribió todos los números de tres cifras, que son divisibles por 3, pero no son múltiplos de 6. ¿Cuáles de estos números son menores que 360?
b) ¿Cuándo dos ángulos son consecutivos?
c) Si a + b = 54, calcula: {1/a+b} + ⁵√(140a + 140b)
d) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un pentadecágono?
a) Los números de Luis
Cómo empezar. Hay que juntar tres condiciones. Antes de escribir números, traducí «divisible por 3 pero no múltiplo de 6» a algo que se pueda mirar en las cifras.
Pista 1
Un múltiplo de 6 es múltiplo de 2 y de 3 a la vez. Si es divisible por 3 pero no por 6, entonces no es par: termina en cifra impar. Y sus cifras suman un múltiplo de 3.
Pista 2
Ejemplo con otros números: 225 sirve (2 + 2 + 5 = 9 y es impar); 252 no sirve (es divisible por 3 pero par, o sea múltiplo de 6); 125 no sirve (1 + 2 + 5 = 8).
Pista 3
Las cifras son los 5 primeros divisores de 36. Para que sea menor que 360, empieza con 1, 2 o 3 (si empieza con 3, la segunda cifra no puede ser 6). La última cifra, impar. Revisá cada candidato.
Resolución paso a paso del ítem a
Divisores de 36, de menor a mayor, y los cinco primeros:
D₃₆ = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}cifras disponibles: 1, 2, 3, 4 y 6Condiciones: divisible por 3 → la suma de cifras es múltiplo de 3. No múltiplo de 6 → no es par → termina en 1 o en 3 (las únicas cifras impares disponibles). Menor que 360 → empieza con 1, 2 o 3, y si empieza con 3, la segunda cifra no es 6. El enunciado no prohíbe repetir cifras, así que se pueden repetir.
Revisamos los que terminan en 1 (las otras dos cifras tienen que sumar 2, 5 u 8):
111 (suma 3) 141 (suma 6) 231 (suma 6)261 (suma 9) 321 (suma 6)Revisamos los que terminan en 3 (las otras dos cifras tienen que sumar 3, 6 o 9):
123 (suma 6) 213 (suma 6) 243 (suma 9) 333 (suma 9)Ordenados de menor a mayor:
111; 123; 141; 213; 231; 243; 261; 321; 333
Respuesta. Los números menores que 360 son 111, 123, 141, 213, 231, 243, 261, 321 y 333.
Verificación. Cada uno dividido por 3 da exacto y el cociente es impar: 111 : 3 = 37; 123 : 3 = 41; 141 : 3 = 47; 213 : 3 = 71; 231 : 3 = 77; 243 : 3 = 81; 261 : 3 = 87; 321 : 3 = 107; 333 : 3 = 111. Cociente impar quiere decir que no son múltiplos de 6.
Error común. Usar los cinco primeros números (1 a 5) en lugar de los cinco primeros divisores de 36: el 5 no está y el 6 sí. Si alguien entiende que las cifras no se repiten, la lista queda en 123, 213, 231, 243, 261 y 321: conviene escribir en el examen cómo se interpretó.
b) Ángulos consecutivos
Cómo empezar. Imaginá dos ángulos dibujados uno al lado del otro, «pegados». ¿Qué comparten?
Pista 1
Fijate en tres cosas: el vértice, los lados y el interior de cada ángulo.
Pista 2
Ejemplo: en un reloj, el ángulo entre las 12 y la 1 y el ángulo entre la 1 y las 2 tienen el mismo vértice (el centro) y comparten la semirrecta que marca la 1.
Pista 3
Escribí la definición completa: «Dos ángulos son consecutivos cuando…», nombrando el vértice, el lado y lo que pasa con sus interiores.
Resolución paso a paso del ítem b
Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado en común, y los otros dos lados quedan uno a cada lado del lado común: sus interiores no se superponen.
aôb y bôc son consecutivos: vértice común o, lado común ob
Respuesta. Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado común, y no tienen otros puntos interiores en común (uno está a continuación del otro).
Verificación. Revisá con el reloj: los dos ángulos se tocan solo en la semirrecta de la 1; ninguno se mete dentro del otro.
Error común. Decir solo «tienen un lado en común»: un ángulo dentro de otro también comparte un lado y el vértice, pero no es consecutivo porque sus interiores se superponen. Tampoco hace falta que sumen 180°: eso sería además adyacentes.
c) Cálculo con a + b
Cómo empezar. No sabés cuánto vale a ni cuánto vale b, pero sí cuánto vale a + b. Buscá la manera de que aparezca a + b en las dos partes.
Pista 1
En la raíz, sacá 140 como factor común: 140a + 140b = 140 × (a + b). Después reemplazá a + b por 54.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si a + b = 2, entonces {1/a+b} + ∛(4a + 4b) = 12 + ∛(4 × 2) = 12 + ∛8 = 12 + 2 = 52.
Pista 3
Calculá 1 : 54, que es el recíproco de 54; después 140 × 54 y su raíz quinta (buscá qué número multiplicado 5 veces por sí mismo da ese resultado). Sumá.
Resolución paso a paso del ítem c
Primer término: 1 dividido por a + b es el recíproco de 54.
{1/a+b} = 1 : 54 = 45Dentro de la raíz, factor común 140 (propiedad distributiva):
140a + 140b = 140 × (a + b) = 140 × 54 = 5160 = 132Raíz quinta: buscamos un número que multiplicado cinco veces por sí mismo dé 132. Como 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32:
⁵√132 = 12Sumamos:
45 + 12 = 810 + 510 = 1310 = 1,3
Respuesta. La expresión vale 1310, o sea 1,3.
Verificación. Elegí valores que sumen 54, por ejemplo a = 1 y b = 14: 140 + 1160 = 4160 + 1160 = 5160 = 132. Su raíz quinta es 12, y 45 + 12 = 1310. Da igual.
Error común. Leer {1/a+b} como {1/a} + b. La raya de fracción abarca a + b entera. También, sacar raíz cuadrada en lugar de raíz quinta.
d) Diagonales del pentadecágono
Cómo empezar. «Penta» es cinco y «deca» es diez: ¿cuántos lados tiene el pentadecágono?
Pista 1
Desde un vértice se trazan diagonales a todos los vértices menos a él mismo y a sus dos vecinos.
Pista 2
Ejemplo con otros números: desde un vértice de un hexágono (6 lados) salen 6 − 3 = 3 diagonales.
Pista 3
Restale 3 a la cantidad de lados del pentadecágono.
Resolución paso a paso del ítem d
El pentadecágono tiene 15 lados y 15 vértices. Desde uno, se descuentan él mismo y sus dos vecinos:
15 − 3 = 12 diagonales
Respuesta. Desde un vértice de un pentadecágono se pueden trazar 12 diagonales.
Verificación. Las 12 diagonales más los 2 lados que salen de ese vértice llegan a 14 vértices: todos menos el de partida (15 − 1 = 14).
Error común. Calcular el total de diagonales del polígono, 15 × 12 : 2 = 90. La pregunta es desde un solo vértice.