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Exámenes reales · Politécnico

Ingreso 2018

Rendido el 17 de noviembre de 2017.

Matemática

5 problemas · 50 puntos · 1 h 30 min (así lo fija el Politécnico en su «Modalidad de ingreso»). Cada respuesta se justifica con un planteo, en hoja aparte.

1:30:00

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La clase: el examen problema por problema

Rendí primero el simulacro con el reloj. Después, cada ítem trae cómo empezar, tres pistas que se abren de a una y la resolución paso a paso con la verificación y el error que más se comete. Abrí una pista, intentá de nuevo, y recién entonces mirá la resolución.

Problema 1

Algo sobre conjuntos y números. Lee atentamente cada apartado y resuelve. Justifica tu respuesta.

a) Con los divisores de seis, menores que seis, Santino escribe números de tres cifras, múltiplos de dos y no mayores a 300. ¿Qué números escribió?

b) Expresa por extensión: A = {x / x ∈ D₂₄ ∧ x no es primo}. Justifica si A y B son disjuntos siendo B = {25; 26; 27}.

c) Una sala de cine está totalmente ocupada por adultos y menores. Los adultos ocupan las tres octavas partes de la misma. Si las dos quintas partes de los menores son niñas, ¿qué parte de la sala está ocupada por niños?

a) Los números de Santino

Cómo empezar. Primero averiguá qué cifras puede usar: los divisores de 6 que son menores que 6. Después aplicá las otras dos condiciones.

Pista 1

Un múltiplo de 2 termina en cifra par. «No mayor a 300» quiere decir 300 o menos: mirá con qué cifras puede empezar.

Pista 2

Ejemplo con otros números: con las cifras 1, 4 y 5, los números de tres cifras múltiplos de 5 y menores que 200 son 115, 145 y 155.

Pista 3

Las cifras son 1, 2 y 3. La última tiene que ser la única par; la primera no puede ser 3 (todo número que empieza con 3 pasa de 300). Combiná la cifra del medio.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Divisores de 6 y cuáles son menores que 6:

    D₆ = {1; 2; 3; 6}cifras disponibles: 1, 2 y 3

  2. Múltiplo de 2: tiene que terminar en cifra par. De las disponibles, la única par es 2.

    última cifra: 2

  3. No mayor a 300: con estas cifras, cualquier número que empiece con 3 es 312 o más, y se pasa. Empieza con 1 o con 2. El enunciado no prohíbe repetir cifras.

    empezando con 1: 112, 122, 132empezando con 2: 212, 222, 232

Respuesta. Santino escribió 112, 122, 132, 212, 222 y 232.

Verificación. Todos terminan en 2, así que son pares: 112 : 2 = 56; 122 : 2 = 61; 132 : 2 = 66; 212 : 2 = 106; 222 : 2 = 111; 232 : 2 = 116. Y todos son menores que 300.

Error común. Incluir el 6 entre las cifras (el 6 es divisor de 6, pero no es menor que 6). Si se entiende que las cifras no se repiten, el único número es 132: conviene escribir en el examen cómo se interpretó.

b) El conjunto A y los disjuntos

Cómo empezar. A son los divisores de 24 que no son primos. Escribí D₂₄ completo y después sacá los primos.

Pista 1

Buscá los divisores de 24 de a pares: dos números que multiplicados den 24. Un primo tiene exactamente dos divisores; ojo con el 1, que tiene uno solo.

Pista 2

Ejemplo con otros números: D₁₀ = {1; 2; 5; 10}; sin los primos queda {1; 10}. Y {1; 10} con {2; 3} son disjuntos porque no comparten elementos.

Pista 3

Tachá de D₂₄ los primos y fijate si 25, 26 o 27 están en lo que queda.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Divisores de 24, de a pares:

    24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6D₂₄ = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

  2. Los primos de esa lista son 2 y 3. Los demás no son primos (el 1 tampoco):

    A = {1; 4; 6; 8; 12; 24}

  3. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Todos los elementos de B son mayores que 24, y ningún divisor de 24 puede ser mayor que 24.

    A ∩ B = ∅

Respuesta. A = {1; 4; 6; 8; 12; 24}. A y B son disjuntos, porque no tienen elementos en común: A ∩ B = ∅.

Verificación. Revisá uno por uno: 25 = 5 × 5, 26 = 2 × 13 y 27 = 3 × 9. Ninguno aparece en A, cuyos elementos son todos 24 o menos.

Error común. Sacar el 1 de A pensando que es primo. El 1 no es primo: tiene un solo divisor.

c) La parte de la sala que ocupan los niños

Cómo empezar. Las 25 no son de la sala: son de los menores. Primero averiguá qué parte de la sala ocupan los menores.

Pista 1

Los menores son lo que falta para completar la sala. Si 25 de los menores son niñas, los niños son los otros 35 de los menores.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si los adultos son 14 de una sala y 13 de los menores son niñas, los menores son 34, y los niños 23 × 34 = 612 = 12 de la sala.

Pista 3

Calculá 1 − 38 y después multiplicá por 35 (fracción de una fracción).

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Parte de la sala ocupada por menores:

    1 − 38 = 58

  2. De los menores, 25 son niñas; los niños son el resto:

    1 − 25 = 35 de los menores

  3. Fracción de una fracción: 35 de 58 de la sala.

    35 × 58 = 1540 = 38

Respuesta. Los niños ocupan 38 de la sala.

Verificación. Las niñas ocupan 25 × 58 = 1040 = 14 = 28. Adultos + niñas + niños = 38 + 28 + 38 = 88: la sala completa.

Error común. Calcular 35 de la sala entera, o restar 25 de 58 como si fueran partes del mismo entero. Las fracciones de los menores se multiplican por 58.

Problema 2

Una pirámide de base cuadrada y un cubo poseen la misma cantidad de superficie lateral. La medida de la apotema de la pirámide es 10 cm y la medida del perímetro de su base, 48 cm.

Calcula qué porcentaje del volumen del cubo representa el volumen de la pirámide.

a) Volumen de la pirámide y del cubo

Cómo empezar. Necesitás dos volúmenes. Para el cubo, la arista sale de la superficie lateral, que es la misma que la de la pirámide. Para la pirámide, falta la altura.

Pista 1

Superficie lateral de la pirámide = perímetro × apotema : 2. La del cubo son 4 caras cuadradas. La altura de la pirámide sale con Pitágoras: la apotema es la hipotenusa y medio lado de la base, un cateto.

Pista 2

Ejemplo con otros números: pirámide de base cuadrada con perímetro 24 cm y apotema 5 cm: lado 6 cm, altura √(5² − 3²) = √16 = 4 cm, volumen 6 × 6 × 4 : 3 = 48 cm³.

Pista 3

Lateral: 48 × 10 : 2. Una cara del cubo: esa lateral : 4; la arista es su raíz cuadrada. Pirámide: lado 48 : 4, altura √(10² − 6²), volumen = base × altura : 3.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Superficie lateral de la pirámide (cuatro triángulos con altura 10 cm):

    48 cm × 10 cm : 2 = 240 cm²

  2. El cubo tiene la misma superficie lateral, repartida en 4 caras cuadradas:

    una cara: 240 cm² : 4 = 60 cm²arista = √60 cm ≈ 7,75 cm

  3. Volumen del cubo (redondeando la arista con dos decimales, como pide el examen):

    V cubo = 7,75 cm × 7,75 cm × 7,75 cm ≈ 465,48 cm³

  4. Pirámide: lado de la base y altura. La altura, la apotema y medio lado forman un triángulo rectángulo.

    lado = 48 cm : 4 = 12 cm medio lado = 6 cmh² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 h = 8 cm

  5. Volumen de la pirámide: la tercera parte de base por altura.

    V pirámide = 12 cm × 12 cm × 8 cm : 3 = 1.152 cm³ : 3 = 384 cm³

  6. Porcentaje: la pirámide es la parte y el cubo, el total.

    384 cm³ : 465,48 cm³ × 100 ≈ 82,50 %

Respuesta. El volumen de la pirámide es aproximadamente el 82,50 % del volumen del cubo.

Verificación. Sin redondear la arista: V cubo = 60 cm² × √60 cm ≈ 464,76 cm³, y 384 : 464,76 × 100 ≈ 82,62 %. La diferencia de una décima viene solo del redondeo de la arista; el planteo es el mismo.

Error común. Tomar la superficie lateral del cubo como 6 caras (esas son la superficie total), o usar la apotema (10 cm) como altura de la pirámide. La altura es menor que la apotema. Y no olvidar el «: 3» del volumen de la pirámide.

Problema 3

El cuadrilátero acmq de la figura es un trapecio y el bcmp, un cuadrado. La superficie del triángulo abc es de 6 cm². La medida de ab es 3 cm y ésta es la mitad de la medida de pq.

Calcula:

a) La superficie del trapecio acmq

b) El perímetro del triángulo bcq

abpqcm
La figura del examen.

a) La superficie del trapecio acmq

Cómo empezar. El triángulo abc es rectángulo en b (bc es un lado del cuadrado, perpendicular a la base). Con su superficie y ab sale bc, que es el lado del cuadrado.

Pista 1

En un triángulo rectángulo, los catetos funcionan como base y altura: superficie = ab × bc : 2. Después, pq es el doble de ab.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un triángulo rectángulo de 10 cm² con un cateto de 4 cm tiene el otro cateto de 10 × 2 : 4 = 5 cm.

Pista 3

Despejá bc de 3 cm × bc : 2 = 6 cm². La base mayor aq es ab + bp + pq; la base menor, cm; la altura, bc. Aplicá la fórmula del trapecio.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Lado del cuadrado: bc es cateto del triángulo abc.

    3 cm × bc : 2 = 6 cm²bc = 6 cm² × 2 : 3 cm = 4 cm

  2. Como bcmp es un cuadrado, todos sus lados miden 4 cm. Y pq es el doble de ab:

    bp = cm = mp = 4 cmpq = 2 × 3 cm = 6 cm
    abpqcm3 cm4 cm6 cm4 cm4 cm

  3. Bases y altura del trapecio:

    base mayor aq = 3 cm + 4 cm + 6 cm = 13 cmbase menor cm = 4 cmaltura = bc = 4 cm

  4. Superficie del trapecio:

    (13 cm + 4 cm) × 4 cm : 2 = 17 cm × 4 cm : 2 = 34 cm²

Respuesta. La superficie del trapecio acmq es 34 cm².

Verificación. Por partes: triángulo abc 6 cm² + cuadrado 4 cm × 4 cm = 16 cm² + triángulo pmq 6 cm × 4 cm : 2 = 12 cm². Total: 6 + 16 + 12 = 34 cm².

Error común. Olvidarse del «: 2» al despejar bc (daría 2 cm), o tomar pq como la mitad de ab en lugar del doble. Leé bien: ab «es la mitad» de pq.

b) El perímetro del triángulo bcq

Cómo empezar. bcq es un triángulo rectángulo en b. Conocés los dos catetos; falta la hipotenusa cq.

Pista 1

Los catetos son bc y bq, y bq = bp + pq. La hipotenusa sale con el teorema de Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un triángulo rectángulo con catetos de 6 cm y 8 cm tiene hipotenusa √(36 + 64) = √100 = 10 cm y perímetro 6 + 8 + 10 = 24 cm.

Pista 3

Calculá bq = 4 cm + 6 cm, después cq = √(4² + bq²), y sumá los tres lados. Redondeá con dos decimales.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Los catetos:

    bc = 4 cmbq = bp + pq = 4 cm + 6 cm = 10 cm

  2. La hipotenusa, por Pitágoras:

    cq² = 4² + 10² = 16 + 100 = 116cq = √116 ≈ 10,77 cm

  3. Perímetro:

    4 cm + 10 cm + 10,77 cm = 24,77 cm

Respuesta. El perímetro del triángulo bcq es de 24,77 cm aproximadamente.

Verificación. 10,77² = 115,99…, casi 116: la raíz está bien. Además cq tiene que ser más larga que bq (10 cm), porque es la hipotenusa.

Error común. Tomar bq como pq solamente (6 cm) y olvidarse del tramo bp, o sumar los catetos al cuadrado y no sacar la raíz.

Problema 4

Algo sobre geometría y medida. Lee atentamente cada apartado y resuelve. Justifica tu respuesta.

a) Calcula la medida de los ángulos α y β sabiendo que son suplementarios. Además α y ε son ángulos complementarios, siendo la medida de ε, 42° 10′.

b) Si son 6 las diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono convexo, ¿cuántas son las diagonales totales que posee ese polígono?

c) Felipe tiene un terreno rectangular de 90 m de ancho y 1,5 km de largo. Planta 16 árboles frutales por cada 0,1 ha. ¿Cuántos árboles plantó Felipe?

d) Una pirámide posee 13 vértices. ¿Cuántas son las caras laterales de dicho cuerpo? ¿Cómo se llama el polígono de la base?

a) Los ángulos α y β

Cómo empezar. De β no sabés nada directo; de α, sí: es el complemento de ε. Empezá por α.

Pista 1

Complementarios suman 90°; suplementarios suman 180°. Para restar ángulos con minutos, pasá un grado a 60 minutos.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si ε midiera 30°, α sería 90° − 30° = 60° y β, 180° − 60° = 120°.

Pista 3

Calculá 90° − 42° 10′ escribiendo 90° como 89° 60′. Después hacé 180° − α, escribiendo 180° como 179° 60′.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. α y ε son complementarios: suman 90°.

    90° = 89° 60′α = 89° 60′ − 42° 10′ = 47° 50′

  2. α y β son suplementarios: suman 180°.

    180° = 179° 60′β = 179° 60′ − 47° 50′ = 132° 10′

Respuesta. α mide 47° 50′ y β mide 132° 10′.

Verificación. 47° 50′ + 42° 10′ = 89° 60′ = 90°. Y 47° 50′ + 132° 10′ = 179° 60′ = 180°.

Error común. Restar como si los minutos fueran decimales (90 − 42,10 = 47,90). Un grado tiene 60 minutos, no 100.

b) Las diagonales totales

Cómo empezar. Primero averiguá cuántos lados tiene el polígono. Después contá todas sus diagonales.

Pista 1

Desde un vértice salen n − 3 diagonales. En total, cada vértice tira n − 3, pero así cada diagonal se cuenta dos veces (una desde cada punta).

Pista 2

Ejemplo con otros números: si desde un vértice salen 4 diagonales, el polígono tiene 7 lados y en total 7 × 4 : 2 = 14 diagonales.

Pista 3

Planteá n − 3 = 6 para hallar n, y después calculá n × 6 : 2.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Cantidad de lados:

    n − 3 = 6 ⇒ n = 9 (es un eneágono)

  2. Total de diagonales: 9 vértices, 6 diagonales desde cada uno, y cada diagonal se contó dos veces.

    9 × 6 : 2 = 27 diagonales

Respuesta. El polígono (un eneágono, de 9 lados) tiene 27 diagonales en total.

Verificación. Con la fórmula n × (n − 3) : 2: 9 × (9 − 3) : 2 = 9 × 6 : 2 = 27.

Error común. Hacer 9 × 6 = 54 y no dividir por 2: cada diagonal une dos vértices y se estaría contando dos veces.

c) Los árboles de Felipe

Cómo empezar. Las medidas están en unidades distintas (m, km, ha). Pasá todo a metros y metros cuadrados antes de calcular.

Pista 1

1 km = 1.000 m. Una hectárea es un cuadrado de 100 m de lado: 1 ha = 10.000 m², así que 0,1 ha = 1.000 m².

Pista 2

Ejemplo con otros números: un terreno de 50 m por 0,4 km mide 50 m × 400 m = 20.000 m²; en él entran 20 parcelas de 1.000 m².

Pista 3

Calculá 90 m × 1.500 m, dividí por 1.000 m² para saber cuántas veces entra 0,1 ha, y multiplicá por 16.

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Superficie del terreno en m²:

    1,5 km = 1.500 m90 m × 1.500 m = 135.000 m²

  2. Cuántas veces entra 0,1 ha (1.000 m²):

    0,1 ha = 0,1 × 10.000 m² = 1.000 m²135.000 m² : 1.000 m² = 135

  3. 16 árboles en cada una:

    135 × 16 = 2.160 árboles

Respuesta. Felipe plantó 2.160 árboles frutales.

Verificación. En hectáreas: 135.000 m² = 13,5 ha. Por cada hectárea van 160 árboles (16 × 10), y 13,5 × 160 = 2.160.

Error común. Multiplicar 90 × 1,5 sin pasar los km a metros, o tomar 1 ha = 1.000 m². La hectárea tiene 10.000 m².

d) La pirámide de 13 vértices

Cómo empezar. Una pirámide tiene los vértices de la base y uno más arriba, la cúspide.

Pista 1

Sacá la cúspide y quedan los vértices de la base. La base tiene tantos lados como vértices, y sobre cada lado hay una cara lateral.

Pista 2

Ejemplo con otros números: una pirámide de 7 vértices tiene 6 en la base: base hexagonal y 6 caras laterales.

Pista 3

Restá 1 a los 13 vértices y buscá el nombre del polígono con esa cantidad de lados.

Resolución paso a paso del ítem d

  1. Vértices de la base:

    13 − 1 = 12 vértices

  2. La base tiene 12 lados, y hay una cara lateral (triangular) apoyada en cada lado.

    caras laterales: 12polígono de 12 lados: dodecágono

Respuesta. La pirámide tiene 12 caras laterales y su base es un dodecágono.

Verificación. Con la relación de Euler: caras 12 + 1 = 13, vértices 13, aristas 12 + 12 = 24. C + V = 13 + 13 = 26 = 24 + 2.

Error común. Contar 13 caras laterales (la cúspide no está en la base), o confundir dodecágono (12 lados) con decágono (10 lados).

Problema 5

Para la fiesta de cumpleaños de Bruno, su mamá compró caramelos que colocó en bolsitas para regalar a los invitados. Intentó colocar de a 15 caramelos por bolsita, de a 20 o de a 25 y en todos los casos le sobraron 6 caramelos.

a) ¿Cuántos caramelos compró si son menos de 500?

b) ¿Le sobrarían caramelos si en cada bolsita colocara 18? ¿Por qué?

c) Para la mesa dulce, Tiziana, una buena repostera, preparó alfajores de maizena. El lunes hizo la sexta parte del total, el martes la cuarta parte del total y el miércoles, el doble de los que hizo el lunes. Si todavía le faltan preparar 30 alfajores, ¿cuántas docenas de alfajores cocinó Tiziana?

a) Cuántos caramelos compró

Cómo empezar. Si le sobran 6 en los tres casos, sacando esos 6 el resto se reparte justo de a 15, de a 20 y de a 25. ¿Qué número es múltiplo de los tres a la vez?

Pista 1

La cantidad menos 6 es un múltiplo común de 15, 20 y 25. Buscá el mcm y después sumale los 6 que sobran.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si al armar grupos de 4 o de 6 siempre sobra 1, la cantidad es un múltiplo de mcm(4; 6) = 12 más 1: 13, 25, 37…

Pista 3

Factorizá 15, 20 y 25, calculá el mcm y buscá qué múltiplo de él más 6 es menor que 500.

Resolución paso a paso del ítem a

  1. Factorizamos y calculamos el mcm (todos los primos con su mayor exponente):

    15 = 3 × 5 20 = 2² × 5 25 = 5²mcm(15; 20; 25) = 2² × 3 × 5² = 300

  2. La cantidad es un múltiplo de 300 más 6, y menor que 500:

    300 + 6 = 306 (sirve)600 + 6 = 606 (se pasa de 500)

Respuesta. Compró 306 caramelos.

Verificación. 306 : 15 = 20 y sobran 6; 306 : 20 = 15 y sobran 6; 306 : 25 = 12 y sobran 6 (12 × 25 = 300).

Error común. Dar 300, olvidando sumar los 6 que sobran, o multiplicar 15 × 20 × 25 en lugar de buscar el mcm. (Con 6 caramelos solos no se arma ninguna bolsita, así que esa opción no cuenta.)

b) Bolsitas de 18

Cómo empezar. Sobran caramelos si 306 no se puede repartir justo de a 18. ¿Es 306 múltiplo de 18?

Pista 1

Dividí 306 por 18 y mirá el resto. O usá criterios: 18 = 2 × 9, así que hay que ver si 306 es par y si sus cifras suman un múltiplo de 9.

Pista 2

Ejemplo con otros números: 50 caramelos en bolsitas de 7 dan 7 bolsitas (49 caramelos) y sobra 1.

Pista 3

Hacé 306 : 18 y fijate si el resto es 0.

Resolución paso a paso del ítem b

  1. Dividimos:

    306 : 18 = 17, resto 018 × 17 = 306

  2. Con criterios: 306 es par (divisible por 2) y 3 + 0 + 6 = 9 (divisible por 9). Entonces es divisible por 18.

Respuesta. No le sobrarían caramelos: 306 es múltiplo de 18, y arma justo 17 bolsitas.

Verificación. 17 × 18 = 17 × 20 − 17 × 2 = 340 − 34 = 306.

Error común. Pensar que, como en las otras sobraban 6, en esta también sobran. Cada divisor hay que probarlo.

c) Los alfajores de Tiziana

Cómo empezar. El total de alfajores es el entero. El miércoles hizo el doble que el lunes: ¿qué fracción del total es eso?

Pista 1

Pasá las tres fracciones a un mismo denominador y sumalas. Lo que falta para el entero son los 30 alfajores.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si hizo 13 y 16 del total y le faltan 24, ya hizo 12, falta 12, y el total es 48 alfajores, o sea 4 docenas.

Pista 3

Sumá 16 + 14 + 26 en doceavos. Calculá cuánto falta para 1212: esa fracción son 30 alfajores. Después pasá a docenas.

Resolución paso a paso del ítem c

  1. Miércoles: el doble del lunes.

    2 × 16 = 26 = 13

  2. Lo hecho en los tres días, en doceavos:

    212 + 312 + 412 = 912 = 34

  3. Lo que falta es 14 del total, y son 30 alfajores:

    14 del total = 30total = 30 × 4 = 120 alfajores

  4. En docenas (1 docena = 12):

    hasta el miércoles: 34 de 120 = 90 alfajores = 90 : 12 = 7 docenas y mediaen total: 120 : 12 = 10 docenas

Respuesta. Hasta el miércoles Tiziana cocinó 90 alfajores, es decir 7 docenas y media; cuando termine los 30 que le faltan, habrá cocinado 120 alfajores, o sea 10 docenas.

Verificación. Lunes: 120 : 6 = 20. Martes: 120 : 4 = 30. Miércoles: 2 × 20 = 40. 20 + 30 + 40 = 90, y 90 + 30 = 120.

Error común. Tomar el doble del lunes como 212 o como 112. También, contestar en alfajores cuando la pregunta pide docenas. La pregunta puede leerse como lo ya cocinado (7 docenas y media) o como el total (10 docenas): conviene escribir las dos cosas y aclarar cuál es cuál.

Dictado: «Una esfera transparente»

En el examen vale 15 puntos. La voz del navegador lo lee primero entero y después frase por frase, con el tiempo que necesites para escribir.

Ver el dictado oficial

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