Ingreso 2017

1. Para ser múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de 2 y de 3, porque 6 = 2 × 3.

   396 termina en 6, que es par ⇒ es múltiplo de 23 + 9 + 6 = 18, y 18 es múltiplo de 3 ⇒ es múltiplo de 3

2. Cumple las dos condiciones. La división lo confirma:

   396 : 6 = 66, exacta396 = 6 × 66

Respuesta. Sí, n ∈ M₆, porque 396 = 6 × 66 (la división 396 : 6 es exacta).

Verificación. 6 × 66 = 6 × 60 + 6 × 6 = 360 + 36 = 396.

Error común. Mirar solo que es par. Ser par alcanza para el 2, no para el 6: por ejemplo, 14 es par y no es múltiplo de 6. Hacen falta las dos condiciones.

1. Un número primo tiene solo dos divisores. 396 tiene muchos más: por ejemplo, el 2 y el 6.

   396 = 2 × 198396 = 6 × 66

2. Así que 396 es un número compuesto. Su descomposición en factores primos lo muestra completo:

   396 = 2² × 3² × 11

Respuesta. n no es primo porque tiene más de dos divisores: además de 1 y 396, lo dividen, por ejemplo, 2, 3 y 6 (396 = 2 × 198).

Verificación. 2 × 198 = 396 y 2² × 3² × 11 = 4 × 9 × 11 = 36 × 11 = 396.

Error común. Contestar solo «porque es par». Es cierto, pero hay que decir qué tiene que ver: ser par significa que el 2 es divisor, y entonces tiene más de dos divisores.

1. Descomponemos 396 dividiendo siempre por el primo más chico posible:

   396 : 2 = 198198 : 2 = 9999 : 3 = 3333 : 3 = 1111 : 11 = 1396 = 2² × 3² × 11

2. Los divisores primos de 396 son 2, 3 y 11. El 2 es par, así que no entra en A.

   A = {3; 11}

Respuesta. A = {3; 11}.

Verificación. 396 : 3 = 132 y 396 : 11 = 36, las dos exactas; 3 y 11 son primos e impares. El 9 y el 33 también dividen a 396 y son impares, pero no son primos.

Error común. Poner el 9, el 33 o el 99, que son divisores impares pero no primos, o poner el 1, que no es primo. También olvidarse del 11 por cortar la descomposición antes de llegar a 1.

1. Como 396 = 2² × 3² × 11, un dígito tiene un divisor común con 396 si es múltiplo de 2, de 3 o de 11.

   pares: 2, 4, 6, 8 ⇒ se descartanmúltiplos de 3: 3, 6, 9 ⇒ se descartanningún dígito es múltiplo de 11

2. Quedan los dígitos que no se tacharon. Comprobamos cada uno:

   dcm(396; 1) = 1dcm(396; 5) = 1, porque 5 no divide a 396dcm(396; 7) = 1, porque 7 no divide a 396 (396 = 7 × 56 + 4)

Respuesta. Los valores de p son 1, 5 y 7.

Verificación. Para los descartados, el dcm no es 1: dcm(396; 2) = 2, dcm(396; 3) = 3, dcm(396; 4) = 4, dcm(396; 6) = 6, dcm(396; 8) = 4 y dcm(396; 9) = 9.

Error común. Olvidarse del 1: dcm(396; 1) = 1 y el 1 es un dígito natural. O dejar el 9 porque es impar: 9 divide a 396 (396 = 9 × 44). En el Politécnico ℕ empieza en 1, así que el 0 no se considera.

1. Adentro del corchete, reemplazamos n y resolvemos la división y la potencia:

   396 : 4 = 99(32)⁰ = 1[99 + 1] = 100

2. Multiplicamos por 15 y calculamos la raíz:

   100 × 15 = 20√425 = 25, porque 25 × 25 = 425

3. Sumamos los dos términos:

   20 + 25 = 1005 + 25 = 1025 = 20,4

Respuesta. El resultado es 1025, es decir, 20,4.

Verificación. Con decimales: 396 : 4 = 99; 99 + 1 = 100; 100 × 0,2 = 20; √0,16 = 0,4; 20 + 0,4 = 20,4.

Error común. Tomar (32)⁰ como 0 o como 32: cualquier número distinto de cero elevado a la 0 da 1. También pasa que se multiplica solo el 1 por 15, sin respetar el corchete.

1. Sumamos las tres partes del perímetro, todas en quintos de la hipotenusa:

   35 + 45 + 55 = 125 de la hipotenusa125 de la hipotenusa = 36 cm

2. Si 12 quintos son 36 cm, un quinto es 36 cm : 12:

   15 de la hipotenusa = 36 cm : 12 = 3 cmhipotenusa = 3 cm × 5 = 15 cmun cateto = 3 cm × 3 = 9 cmel otro cateto = 3 cm × 4 = 12 cm

3. En un triángulo rectángulo, cada cateto es la altura del otro. Así que la superficie es cateto × cateto : 2. Pero también es hipotenusa × altura : 2, si tomamos la hipotenusa como base.

   superficie = 9 cm × 12 cm : 2 = 54 cm²15 cm × h : 2 = 54 cm²h = 54 cm² × 2 : 15 cm = 108 cm² : 15 cm = 7,2 cm

Respuesta. La altura correspondiente a la hipotenusa mide 7,2 cm.

Verificación. Los lados cumplen Pitágoras: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². El perímetro da 9 cm + 12 cm + 15 cm = 36 cm. Y 15 cm × 7,2 cm : 2 = 54 cm², la misma superficie.

Error común. Contestar con un cateto (9 cm o 12 cm): los catetos son las alturas de los otros lados, no la de la hipotenusa. La altura sobre la hipotenusa siempre es más corta que los dos catetos.

1. Los que practican natación:

   34 de 704 = 704 : 4 × 3 = 176 × 3 = 528 socios

2. De esos 528, la octava parte hace yoga y la tercera parte hace vóley:

   yoga: 528 : 8 = 66vóley: 528 : 3 = 176

3. El resto hace gimnasia:

   528 − 66 − 176 = 286

Respuesta. Practican natación y gimnasia 286 socios.

Verificación. Con fracciones: la gimnasia es 1 − 18 − 13 = 2424 − 324 − 824 = 1324 de los nadadores, y 1324 de 528 = 528 : 24 × 13 = 22 × 13 = 286.

Error común. Calcular la octava y la tercera parte de los 704 socios en lugar de los 528 que nadan. La frase «de los que practican natación» dice cuál es el total.

1. Mujeres que nadan: el 25 % de los 528 nadadores.

   25 % de 528 = 528 : 4 = 132 mujeres

2. Esas 132 mujeres son el 40 % de todas las socias. Buscamos el 100 %:

   40 % → 1321 % → 132 : 40 = 3,3100 % → 3,3 × 100 = 330 mujeres

3. Los varones son los socios que no son mujeres:

   704 − 330 = 374 varones

Respuesta. El club tiene 374 socios varones.

Verificación. 40 % de 330 = 330 × 0,4 = 132, que son las nadadoras. Y 330 + 374 = 704, el total de socios.

Error común. Contestar 330, que es la cantidad de mujeres, o calcular el 40 % de 132 en lugar de buscar de qué número 132 es el 40 %.

1. Lado de la base cuadrada:

   l = √256 cm² = 16 cm, porque 16 × 16 = 256

2. La diagonal de la cara es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 16 cm y la altura del prisma:

   altura² = 20² − 16² = 400 − 256 = 144altura = √144 = 12 cm

3. Superficie de una cara lateral y superficie total (2 bases y 4 caras laterales):

   una cara: 16 cm × 12 cm = 192 cm²S total = 2 × 256 cm² + 4 × 192 cm² = 512 cm² + 768 cm² = 1.280 cm²

4. La parte que representa una cara:

   1921280 = 320 (dividimos arriba y abajo por 64)

Respuesta. Una cara lateral representa 320 de la superficie total del prisma (el 15 %).

Verificación. 320 de 1.280 cm² = 1.280 : 20 × 3 = 64 × 3 = 192 cm², la superficie de una cara. También: 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20².

Error común. Tomar los 20 cm como altura del prisma: 20 cm es la diagonal de la cara, que es más larga que la altura. Otro error: olvidar una de las dos bases en la superficie total.

1. Volumen del prisma:

   V = S base × altura = 256 cm² × 12 cm = 3.072 cm³

2. Pasamos a decímetros cúbicos, que equivalen a litros (1 dm³ = 1.000 cm³ = 1 litro):

   3.072 cm³ = 3,072 dm³ = 3,072 litros3,072 litros > 1 litro

Respuesta. Sí, puede contener un litro de agua: su capacidad es de 3,072 litros (3.072 cm³), más de 1 litro.

Verificación. Un litro son 1.000 cm³, y 3 × 1.000 cm³ = 3.000 cm³ es menor que 3.072 cm³: le entran más de tres litros.

Error común. Comparar con 1 cm³ o con 1 m³ en lugar de 1 dm³, o dividir por 100 al pasar de cm³ a dm³: para volúmenes se divide por 1.000.

1. Pasamos las dos fracciones a treintavos para compararlas:

   efectivo: 16 = 530débito: 25 = 1230diferencia: 1230 − 530 = 730 del precio

2. Esas 7 partes de 30 son $ 1.470:

   130 del precio = $ 1.470 : 7 = $ 210precio = $ 210 × 30 = $ 6.300

3. Lo que ya pagó y lo que le falta:

   efectivo: $ 210 × 5 = $ 1.050débito: $ 210 × 12 = $ 2.520falta: $ 6.300 − $ 1.050 − $ 2.520 = $ 2.730

4. Lo que falta se paga en 4 cuotas iguales:

   $ 2.730 : 4 = $ 682,50

Respuesta. Sergio paga $ 682,50 en cada una de las cuatro cuotas.

Verificación. Lo de débito supera a lo de efectivo en $ 2.520 − $ 1.050 = $ 1.470, como dice el problema. Y $ 1.050 + $ 2.520 + 4 × $ 682,50 = $ 1.050 + $ 2.520 + $ 2.730 = $ 6.300.

Error común. Tomar los $ 1.470 como lo que se pagó con débito, o repartir en 4 cuotas todo el precio en lugar de lo que falta. Si lo que falta no da menos que el precio, hay que revisar el planteo.