Problema 1
Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta.
a) ¿Cuál es la medida del ángulo β si β es el complemento del suplemento del ángulo ε, siendo la medida de ε = 102° 30′?
b) ¿Cuáles son los elementos de A ∩ B si A = {x / x ∈ M₃ ∧ x ∈ D₁₈} y B = {x / x ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ x < 6}? Escribe previamente A y B por extensión.
c) ¿Cuáles son los números de tres cifras múltiplos de 3 pero no múltiplos de 6, que se pueden formar con los dígitos primos divisores de 924?
d) ¿Cuál es el consecuente de una razón si se sabe que el antecedente es 9 y la razón entre ambos coincide con el recíproco del antecedente?
e) ¿Cuál es el número total de diagonales de un polígono, si se pueden trazar 13 diagonales desde un vértice?
a) El complemento del suplemento
Cómo empezar. Leé la frase de atrás para adelante: primero el suplemento de ε, y después el complemento de ese resultado.
Pista 1
El suplemento es lo que le falta a un ángulo para llegar a 180°. El complemento es lo que le falta para llegar a 90°.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si ε = 120° 15′, su suplemento es 180° − 120° 15′ = 59° 45′, y el complemento de eso es 90° − 59° 45′ = 30° 15′.
Pista 3
Calculá 180° − 102° 30′ escribiendo 180° como 179° 60′. Con ese resultado, hacé 90° menos el suplemento, escribiendo 90° como 89° 60′.
Resolución paso a paso del ítem a
Suplemento de ε: lo que le falta para 180°. Para restar los minutos pedimos prestado 1° = 60′.
180° = 179° 60′179° 60′ − 102° 30′ = 77° 30′β es el complemento de ese suplemento: lo que le falta para 90°.
90° = 89° 60′89° 60′ − 77° 30′ = 12° 30′
Respuesta. β mide 12° 30′.
Verificación. 12° 30′ + 77° 30′ = 89° 60′ = 90° (son complementarios), y 77° 30′ + 102° 30′ = 179° 60′ = 180° (son suplementarios).
Error común. Hacer al revés: buscar primero el complemento de ε. Pero ε mide más de 90°, así que no tiene complemento. Si una resta da negativa, el orden está mal.
b) La intersección A ∩ B
Cómo empezar. Escribí primero cada conjunto por extensión, como pide la consigna. Después buscá los elementos que están en los dos.
Pista 1
A tiene los números que son múltiplos de 3 y divisores de 18 a la vez. En B, ℕ₀ incluye el 0; «2 ≤ x» incluye el 2 y «x < 6» deja afuera el 6.
Pista 2
Ejemplo con otros números: M₄ ∩ D₂₀. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20; los múltiplos de 4 entre ellos son 4 y 20. Y {x / x ∈ ℕ₀ ∧ 10 ≤ x < 13} = {10; 11; 12}.
Pista 3
Escribí los divisores de 18, tachá los que no son múltiplos de 3, escribí B y marcá los números que se repiten en las dos listas.
Resolución paso a paso del ítem b
Divisores de 18, y entre ellos los múltiplos de 3:
D₁₈ = {1; 2; 3; 6; 9; 18}A = {3; 6; 9; 18}Naturales con el cero, desde el 2 inclusive y menores que 6:
B = {2; 3; 4; 5}La intersección tiene los elementos comunes a A y a B:
A ∩ B = {3}
Respuesta. A = {3; 6; 9; 18}, B = {2; 3; 4; 5} y A ∩ B = {3}.
Verificación. El 3 está en los dos: 3 es múltiplo de 3, divide a 18 y cumple 2 ≤ 3 < 6. El 6 está en A pero no en B, porque 6 < 6 es falso.
Error común. Poner el 6 en B (el signo < no incluye el igual) o poner en A múltiplos de 3 que no dividen a 18, como el 12 o el 15.
c) Números de tres cifras
Cómo empezar. Hay tres pasos: descomponer 924 para saber qué dígitos se pueden usar, recordar cuándo un número es múltiplo de 3, y cuándo no es múltiplo de 6.
Pista 1
Los dígitos primos son 2, 3, 5 y 7; quedate con los que dividen a 924. Múltiplo de 3: la suma de las cifras es múltiplo de 3. No múltiplo de 6: además tiene que ser impar.
Pista 2
Ejemplo con otros números: con los dígitos primos que dividen a 30 (2, 3 y 5), el 255 sirve: 2 + 5 + 5 = 12 es múltiplo de 3 y termina en 5, así que es impar.
Pista 3
Probá las combinaciones de tres cifras con los dígitos que salieron de 924 cuya suma sea múltiplo de 3, y quedate con las que terminan en cifra impar.
Resolución paso a paso del ítem c
Descomponemos 924 en factores primos:
924 = 2² × 3 × 7 × 11dígitos primos que dividen a 924: 2, 3 y 7 (el 11 no es un dígito)Buscamos combinaciones de tres cifras (se pueden repetir) cuya suma sea múltiplo de 3:
2 + 3 + 7 = 12 ✓3 + 3 + 3 = 9 ✓7 + 7 + 7 = 21 ✓2 + 2 + 2 = 6 ✓las demás combinaciones no dan múltiplo de 3 (por ejemplo, 2 + 2 + 3 = 7)Para no ser múltiplo de 6, el número tiene que ser impar: debe terminar en 3 o en 7. Así se descartan 222, 372 y 732.
con 2, 3 y 7: 237; 273; 327; 723con tres cifras iguales: 333; 777
Respuesta. Los números son 237, 273, 327, 333, 723 y 777.
Verificación. Todos dan división exacta por 3 (237 : 3 = 79; 273 : 3 = 91; 327 : 3 = 109; 333 : 3 = 111; 723 : 3 = 241; 777 : 3 = 259) y todos son impares, así que ninguno es múltiplo de 6.
Error común. Dejar números pares como 372 o 732: son múltiplos de 3 pero también de 6. Ojo: la consigna no dice si las cifras pueden repetirse; la resolución oficial acepta 333 y 777. Si se pidieran cifras distintas, quedarían solo 237, 273, 327 y 723.
d) El consecuente de la razón
Cómo empezar. En una razón a : b, el antecedente es a (el de arriba) y el consecuente es b (el de abajo). Acá el antecedente es 9 y el consecuente es lo que buscás.
Pista 1
El recíproco de un número es el que multiplicado por él da 1. Planteá que la razón 9 : c es igual al recíproco de 9.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si el antecedente es 4 y la razón es el recíproco de 4, entonces 4 : c = 14, y c = 4 × 4 = 16.
Pista 3
El recíproco de 9 es 19. Escribí 9 : c = 19 y despejá c pensando qué número divide a 9 y da 19.
Resolución paso a paso del ítem d
El recíproco de 9 es 19, porque 9 × 19 = 1. Llamamos c al consecuente:
9 : c = 19En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
9 × 9 = c × 1c = 81
Respuesta. El consecuente es 81.
Verificación. 9 : 81 = 981 = 19, que es el recíproco de 9.
Error común. Confundir recíproco con opuesto (−9) o contestar 19, que es la razón y no el consecuente.
e) Las diagonales del polígono
Cómo empezar. Desde un vértice no se puede trazar diagonal a sí mismo ni a sus dos vecinos. Con eso sabés cuántos lados tiene el polígono.
Pista 1
Desde cada vértice salen n − 3 diagonales, siendo n el número de lados. El total es n × (n − 3) : 2, porque cada diagonal une dos vértices y se contaría dos veces.
Pista 2
Ejemplo con otros números: si desde un vértice salen 5 diagonales, n − 3 = 5, el polígono tiene 8 lados y en total hay 8 × 5 : 2 = 20 diagonales.
Pista 3
Resolvé n − 3 = 13 para saber cuántos lados tiene. Después multiplicá los lados por 13 y dividí por 2.
Resolución paso a paso del ítem e
Diagonales desde un vértice: n − 3.
n − 3 = 13 ⇒ n = 16 ladosCada uno de los 16 vértices tiene 13 diagonales, pero así cada diagonal se cuenta dos veces (una desde cada punta):
16 × 13 : 2 = 208 : 2 = 104
Respuesta. El polígono tiene 104 diagonales en total.
Verificación. Con la fórmula n × (n − 3) : 2 para n = 16: 16 × 13 = 208 y 208 : 2 = 104.
Error común. Olvidarse de dividir por 2 y contestar 208, o pensar que el polígono tiene 13 lados.