METODICAMENTEIngreso · Poli

Exámenes reales · Politécnico

Ingreso 2016

Rendido el 18 de noviembre de 2015.

Matemática

5 problemas · 50 puntos · 1 h 30 min (así lo fija el Politécnico en su «Modalidad de ingreso»). Cada respuesta se justifica con un planteo, en hoja aparte.

1:30:00

La clase: el examen problema por problema

Rendí primero el simulacro con el reloj. Después, cada ítem trae cómo empezar, tres pistas que se abren de a una y la resolución paso a paso con la verificación y el error que más se comete. Abrí una pista, intentá de nuevo, y recién entonces mirá la resolución.

Problema 1

Responde las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta.

a) ¿Cuál es la medida del ángulo β si β es el complemento del suplemento del ángulo ε, siendo la medida de ε = 102° 30′?

b) ¿Cuáles son los elementos de A ∩ B si A = {x / x ∈ M₃ ∧ x ∈ D₁₈} y B = {x / x ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ x < 6}? Escribe previamente A y B por extensión.

c) ¿Cuáles son los números de tres cifras múltiplos de 3 pero no múltiplos de 6, que se pueden formar con los dígitos primos divisores de 924?

d) ¿Cuál es el consecuente de una razón si se sabe que el antecedente es 9 y la razón entre ambos coincide con el recíproco del antecedente?

e) ¿Cuál es el número total de diagonales de un polígono, si se pueden trazar 13 diagonales desde un vértice?

a) El complemento del suplemento

Cómo empezar. Leé la frase de atrás para adelante: primero el suplemento de ε, y después el complemento de ese resultado.

Pista 1

El suplemento es lo que le falta a un ángulo para llegar a 180°. El complemento es lo que le falta para llegar a 90°.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si ε = 120° 15′, su suplemento es 180° − 120° 15′ = 59° 45′, y el complemento de eso es 90° − 59° 45′ = 30° 15′.

Pista 3

Calculá 180° − 102° 30′ escribiendo 180° como 179° 60′. Con ese resultado, hacé 90° menos el suplemento, escribiendo 90° como 89° 60′.

Resolución paso a paso del ítem a
  1. Suplemento de ε: lo que le falta para 180°. Para restar los minutos pedimos prestado 1° = 60′.

    180° = 179° 60′179° 60′ − 102° 30′ = 77° 30′
  2. β es el complemento de ese suplemento: lo que le falta para 90°.

    90° = 89° 60′89° 60′ − 77° 30′ = 12° 30′

Respuesta. β mide 12° 30′.

Verificación. 12° 30′ + 77° 30′ = 89° 60′ = 90° (son complementarios), y 77° 30′ + 102° 30′ = 179° 60′ = 180° (son suplementarios).

Error común. Hacer al revés: buscar primero el complemento de ε. Pero ε mide más de 90°, así que no tiene complemento. Si una resta da negativa, el orden está mal.

b) La intersección A ∩ B

Cómo empezar. Escribí primero cada conjunto por extensión, como pide la consigna. Después buscá los elementos que están en los dos.

Pista 1

A tiene los números que son múltiplos de 3 y divisores de 18 a la vez. En B, ℕ₀ incluye el 0; «2 ≤ x» incluye el 2 y «x < 6» deja afuera el 6.

Pista 2

Ejemplo con otros números: M₄ ∩ D₂₀. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20; los múltiplos de 4 entre ellos son 4 y 20. Y {x / x ∈ ℕ₀ ∧ 10 ≤ x < 13} = {10; 11; 12}.

Pista 3

Escribí los divisores de 18, tachá los que no son múltiplos de 3, escribí B y marcá los números que se repiten en las dos listas.

Resolución paso a paso del ítem b
  1. Divisores de 18, y entre ellos los múltiplos de 3:

    D₁₈ = {1; 2; 3; 6; 9; 18}A = {3; 6; 9; 18}
  2. Naturales con el cero, desde el 2 inclusive y menores que 6:

    B = {2; 3; 4; 5}
  3. La intersección tiene los elementos comunes a A y a B:

    A ∩ B = {3}

Respuesta. A = {3; 6; 9; 18}, B = {2; 3; 4; 5} y A ∩ B = {3}.

Verificación. El 3 está en los dos: 3 es múltiplo de 3, divide a 18 y cumple 2 ≤ 3 < 6. El 6 está en A pero no en B, porque 6 < 6 es falso.

Error común. Poner el 6 en B (el signo < no incluye el igual) o poner en A múltiplos de 3 que no dividen a 18, como el 12 o el 15.

c) Números de tres cifras

Cómo empezar. Hay tres pasos: descomponer 924 para saber qué dígitos se pueden usar, recordar cuándo un número es múltiplo de 3, y cuándo no es múltiplo de 6.

Pista 1

Los dígitos primos son 2, 3, 5 y 7; quedate con los que dividen a 924. Múltiplo de 3: la suma de las cifras es múltiplo de 3. No múltiplo de 6: además tiene que ser impar.

Pista 2

Ejemplo con otros números: con los dígitos primos que dividen a 30 (2, 3 y 5), el 255 sirve: 2 + 5 + 5 = 12 es múltiplo de 3 y termina en 5, así que es impar.

Pista 3

Probá las combinaciones de tres cifras con los dígitos que salieron de 924 cuya suma sea múltiplo de 3, y quedate con las que terminan en cifra impar.

Resolución paso a paso del ítem c
  1. Descomponemos 924 en factores primos:

    924 = 2² × 3 × 7 × 11dígitos primos que dividen a 924: 2, 3 y 7 (el 11 no es un dígito)
  2. Buscamos combinaciones de tres cifras (se pueden repetir) cuya suma sea múltiplo de 3:

    2 + 3 + 7 = 12 ✓3 + 3 + 3 = 9 ✓7 + 7 + 7 = 21 ✓2 + 2 + 2 = 6 ✓las demás combinaciones no dan múltiplo de 3 (por ejemplo, 2 + 2 + 3 = 7)
  3. Para no ser múltiplo de 6, el número tiene que ser impar: debe terminar en 3 o en 7. Así se descartan 222, 372 y 732.

    con 2, 3 y 7: 237; 273; 327; 723con tres cifras iguales: 333; 777

Respuesta. Los números son 237, 273, 327, 333, 723 y 777.

Verificación. Todos dan división exacta por 3 (237 : 3 = 79; 273 : 3 = 91; 327 : 3 = 109; 333 : 3 = 111; 723 : 3 = 241; 777 : 3 = 259) y todos son impares, así que ninguno es múltiplo de 6.

Error común. Dejar números pares como 372 o 732: son múltiplos de 3 pero también de 6. Ojo: la consigna no dice si las cifras pueden repetirse; la resolución oficial acepta 333 y 777. Si se pidieran cifras distintas, quedarían solo 237, 273, 327 y 723.

d) El consecuente de la razón

Cómo empezar. En una razón a : b, el antecedente es a (el de arriba) y el consecuente es b (el de abajo). Acá el antecedente es 9 y el consecuente es lo que buscás.

Pista 1

El recíproco de un número es el que multiplicado por él da 1. Planteá que la razón 9 : c es igual al recíproco de 9.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si el antecedente es 4 y la razón es el recíproco de 4, entonces 4 : c = 14, y c = 4 × 4 = 16.

Pista 3

El recíproco de 9 es 19. Escribí 9 : c = 19 y despejá c pensando qué número divide a 9 y da 19.

Resolución paso a paso del ítem d
  1. El recíproco de 9 es 19, porque 9 × 19 = 1. Llamamos c al consecuente:

    9 : c = 19
  2. En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

    9 × 9 = c × 1c = 81

Respuesta. El consecuente es 81.

Verificación. 9 : 81 = 981 = 19, que es el recíproco de 9.

Error común. Confundir recíproco con opuesto (−9) o contestar 19, que es la razón y no el consecuente.

e) Las diagonales del polígono

Cómo empezar. Desde un vértice no se puede trazar diagonal a sí mismo ni a sus dos vecinos. Con eso sabés cuántos lados tiene el polígono.

Pista 1

Desde cada vértice salen n − 3 diagonales, siendo n el número de lados. El total es n × (n − 3) : 2, porque cada diagonal une dos vértices y se contaría dos veces.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si desde un vértice salen 5 diagonales, n − 3 = 5, el polígono tiene 8 lados y en total hay 8 × 5 : 2 = 20 diagonales.

Pista 3

Resolvé n − 3 = 13 para saber cuántos lados tiene. Después multiplicá los lados por 13 y dividí por 2.

Resolución paso a paso del ítem e
  1. Diagonales desde un vértice: n − 3.

    n − 3 = 13 ⇒ n = 16 lados
  2. Cada uno de los 16 vértices tiene 13 diagonales, pero así cada diagonal se cuenta dos veces (una desde cada punta):

    16 × 13 : 2 = 208 : 2 = 104

Respuesta. El polígono tiene 104 diagonales en total.

Verificación. Con la fórmula n × (n − 3) : 2 para n = 16: 16 × 13 = 208 y 208 : 2 = 104.

Error común. Olvidarse de dividir por 2 y contestar 208, o pensar que el polígono tiene 13 lados.

Problema 2

180 cm² es la cantidad de superficie lateral de una pirámide de base cuadrada. Si la medida de la apotema de la pirámide es de 9 cm, calcula el volumen de la misma.

a) El volumen de la pirámide

Cómo empezar. Para el volumen necesitás la base y la altura de la pirámide, y no tenés ninguna. Primero buscá el lado de la base usando la superficie lateral.

Pista 1

La superficie lateral son 4 triángulos iguales de altura igual a la apotema. Con un triángulo sacás el lado. La altura sale de un triángulo rectángulo interior: Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: superficie lateral 240 cm² y apotema 10 cm. Cada cara: 60 cm², lado 60 × 2 : 10 = 12 cm, altura √(10² − 6²) = 8 cm, volumen 12² × 8 : 3 = 384 cm³.

Pista 3

Dividí 180 cm² por 4, despejá el lado de lado × 9 : 2, usá la mitad del lado y la apotema en Pitágoras, y aplicá V = S base × altura : 3.

Resolución paso a paso del ítem a
  1. Una cara lateral es un cuarto de la superficie lateral:

    180 cm² : 4 = 45 cm²
  2. Cada cara es un triángulo de base l (lado de la base) y altura 9 cm (la apotema):

    l × 9 cm : 2 = 45 cm²l = 45 cm² × 2 : 9 cm = 10 cm
  3. La altura h, la apotema y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo. La apotema es la hipotenusa:

    h² = 9² − 5² = 81 − 25 = 56h = √56 ≈ 7,48 cm
    h5 cm9 cm (apotema)
  4. El volumen de una pirámide es la tercera parte de la base por la altura:

    S base = 10 cm × 10 cm = 100 cm²V = 100 cm² × 7,48 cm : 3 = 748 cm³ : 3 ≈ 249,33 cm³

Respuesta. El volumen de la pirámide es de 249,33 cm³ aproximadamente.

Verificación. 7,48² = 55,95…, muy cerca de 56: la raíz está bien. Y 249,33 cm³ × 3 = 747,99 cm³ ≈ 100 cm² × 7,48 cm.

Error común. Usar la apotema (9 cm) como altura de la pirámide: la apotema está inclinada sobre una cara, la altura es vertical y más corta. También olvidar el «: 3» del volumen. Si no redondeás la raíz antes de multiplicar da 249,44 cm³; el examen pide redondear cada resultado parcial a dos decimales, y así sale 249,33 cm³, como en la resolución oficial.

Problema 3

Las galletitas que se producen en una fábrica se envasan en bolsas. En cada bolsa se colocan 20 galletitas. Las bolsas se acomodan en cajas y cada caja contiene 19 bolsas.

El 5 % de las galletitas producidas en la primera semana de noviembre no se pudo embolsar y con el resto de lo fabricado armaron 30 cajas.

a) ¿Cuántas galletitas se fabricaron esa semana?

b) Cada una de esas cajas con las bolsas cuesta $ 360, pero si se compran más de 4 cajas hacen un descuento del 20 % sobre el total a pagar. Gabi, el encargado del bar del POLI, compra más de 4 cajas y paga $ 1.728. ¿Cuántas cajas compró?

a) Las galletitas fabricadas

Cómo empezar. Las 30 cajas no son todo lo fabricado: son lo que se pudo embolsar. Si el 5 % quedó afuera, ¿qué porcentaje está en las cajas?

Pista 1

Contá primero cuántas galletitas hay en las 30 cajas. Esas galletitas son el 95 % de lo fabricado; con eso buscás el 100 %.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si el 10 % no se embolsó y se embolsaron 900 galletitas, esas 900 son el 90 %, y el total es 900 : 90 × 100 = 1.000.

Pista 3

Calculá 20 × 19 × 30. Ese número es el 95 %: dividilo por 95 y multiplicalo por 100.

Resolución paso a paso del ítem a
  1. Galletitas que hay en las cajas:

    1 caja: 19 bolsas × 20 galletitas = 380 galletitas30 cajas: 380 × 30 = 11.400 galletitas
  2. Esas galletitas son el 100 % − 5 % = 95 % de lo fabricado. Buscamos el 100 %:

    95 % → 11.4001 % → 11.400 : 95 = 120100 % → 120 × 100 = 12.000

Respuesta. Esa semana se fabricaron 12.000 galletitas.

Verificación. El 5 % de 12.000 es 600, y 12.000 − 600 = 11.400, justo lo que entra en las 30 cajas.

Error común. Sumarle a 11.400 el 5 % de 11.400 (da 11.970). El 5 % es de lo fabricado, que todavía no conocés, no de lo embolsado.

b) Las cajas que compró Gabi

Cómo empezar. Gabi tuvo descuento, así que los $ 1.728 no son el precio completo. Con un 20 % de descuento, ¿qué porcentaje del precio pagó?

Pista 1

Pagó el 80 % del total. Buscá cuánto era el total sin descuento y después cuántas cajas de $ 360 hay en ese total.

Pista 2

Ejemplo con otros números: con un 25 % de descuento alguien pagó $ 1.500. Eso es el 75 %, y el precio sin descuento era 1.500 : 75 × 100 = $ 2.000.

Pista 3

Dividí 1.728 por 80 y multiplicá por 100. Ese total dividilo por el precio de una caja.

Resolución paso a paso del ítem b
  1. Con el 20 % de descuento se paga el 80 % del total:

    80 % → $ 1.7281 % → $ 1.728 : 80 = $ 21,60100 % → $ 21,60 × 100 = $ 2.160
  2. Sin descuento, cada caja cuesta $ 360:

    $ 2.160 : $ 360 = 6 cajas

Respuesta. Gabi compró 6 cajas.

Verificación. 6 cajas × $ 360 = $ 2.160; el 20 % de $ 2.160 es $ 432, y $ 2.160 − $ 432 = $ 1.728. Además 6 es más que 4, así que corresponde el descuento.

Error común. Dividir directamente $ 1.728 : $ 360 = 4,8, que no es un número entero de cajas. O sumarle a $ 1.728 su 20 %: el descuento se calculó sobre el total, no sobre lo pagado.

Problema 4

En el rectángulo apdq, «b» y «e» son los puntos medios de los lados ap y dq respectivamente, ap = 12 cm y pc mide la cuarta parte de pd.

Además, los triángulos bpc y feq poseen, cada uno, una cantidad de superficie de 24 cm².

a) Calcula el perímetro del hexágono abcdef.

b) ¿Qué porcentaje de la superficie del rectángulo representa la superficie del hexágono?

pcdbeafq
La figura del examen, redibujada en proporción.

a) El perímetro del hexágono

Cómo empezar. El hexágono tiene seis lados: ab, bc, cd, de, ef y fa. Algunos son pedazos de los lados del rectángulo y otros, bc y ef, son hipotenusas de los triángulos de las esquinas.

Pista 1

Como b es punto medio, pb mide la mitad de ap. Con la superficie del triángulo bpc sacás pc. Con pc sacás pd. Y bc sale con Pitágoras.

Pista 2

Ejemplo con otros números: un triángulo rectángulo de 30 cm² con un cateto de 5 cm tiene el otro cateto de 30 × 2 : 5 = 12 cm, y la hipotenusa mide √(5² + 12²) = √169 = 13 cm.

Pista 3

pb = 12 : 2. Despejá pc de pb × pc : 2 = 24. Después pd = 4 × pc, cd = pd − pc, y bc = √(pb² + pc²). El otro triángulo es igual.

Resolución paso a paso del ítem a
  1. b es el punto medio de ap, así que pb = ab = 6 cm. Lo mismo en el otro lado: de = eq = 6 cm.

    pb = 12 cm : 2 = 6 cm
  2. El triángulo bpc es rectángulo en p. Sus catetos son pb y pc:

    6 cm × pc : 2 = 24 cm²pc = 24 cm² × 2 : 6 cm = 8 cm
  3. pc es la cuarta parte de pd:

    pd = 4 × 8 cm = 32 cmcd = 32 cm − 8 cm = 24 cm
  4. bc es la hipotenusa del triángulo bpc:

    bc² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100bc = √100 = 10 cm
  5. El triángulo feq también es rectángulo, tiene 24 cm² y un cateto eq = 6 cm, así que es igual al bpc: fq = 8 cm, ef = 10 cm y af = 32 cm − 8 cm = 24 cm.

    perímetro = ab + bc + cd + de + ef + fa= 6 cm + 10 cm + 24 cm + 6 cm + 10 cm + 24 cm = 80 cm
    pcdbeafq6 cm6 cm6 cm6 cm8 cm24 cm24 cm8 cm10 cm10 cm

Respuesta. El perímetro del hexágono abcdef es de 80 cm.

Verificación. Por partes: el perímetro del rectángulo es 2 × 32 cm + 2 × 12 cm = 88 cm. Al cortar cada esquina se pierden 6 cm + 8 cm = 14 cm y se gana la hipotenusa de 10 cm: 88 cm − 2 × 14 cm + 2 × 10 cm = 80 cm.

Error común. Sumar los lados del rectángulo en lugar de los del hexágono, o usar pd entero (32 cm) en lugar de cd (24 cm). También tomar ap = 12 cm como cateto del triángulo, cuando el cateto es la mitad.

b) Qué porcentaje del rectángulo es el hexágono

Cómo empezar. El hexágono es el rectángulo menos los dos triángulos de las esquinas. Calculá las dos superficies y compará.

Pista 1

La superficie del rectángulo es pd × ap. Restale los dos triángulos, que ya sabés que tienen 24 cm² cada uno.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si a un rectángulo de 50 m² le recortás dos esquinas de 5 m² cada una, quedan 40 m², que son 40 : 50 × 100 = 80 % del rectángulo.

Pista 3

Calculá 32 cm × 12 cm, restale 2 × 24 cm², y dividí el hexágono por el rectángulo y multiplicá por 100.

Resolución paso a paso del ítem b
  1. Superficie del rectángulo:

    32 cm × 12 cm = 384 cm²
  2. Superficie del hexágono: el rectángulo sin los dos triángulos.

    384 cm² − 2 × 24 cm² = 384 cm² − 48 cm² = 336 cm²
  3. La parte sobre el total, por cien:

    336 cm² : 384 cm² × 100 = 87,5 %

Respuesta. La superficie del hexágono representa el 87,5 % de la superficie del rectángulo.

Verificación. Los triángulos ocupan 48 cm² : 384 cm² × 100 = 12,5 %, y 87,5 % + 12,5 % = 100 %.

Error común. Restar un solo triángulo, o invertir la división (384 : 336 da más de 100 %, y el hexágono es una parte del rectángulo).

Problema 5

Un tanque contiene nafta hasta las dos quintas partes de su capacidad.

Cuando se le agregan 6 hl de nafta, el tanque se llena hasta sus dos terceras partes.

a) ¿Qué fracción de la capacidad total representan los 6 hl?

b) Calcula en m³ el volumen del tanque.

a) La fracción que son los 6 hl

Cómo empezar. El tanque pasó de 25 a 23 de su capacidad. Lo que se agregó es la diferencia entre esas dos fracciones.

Pista 1

Para restar fracciones con distinto denominador, pasalas a un denominador común. Para quintos y tercios sirven los quinceavos.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si un tanque pasa de 13 a 12, lo agregado es 12 − 13 = 36 − 26 = 16 de la capacidad.

Pista 3

Escribí 23 y 25 como quinceavos (multiplicando arriba y abajo por 5 y por 3) y restá.

Resolución paso a paso del ítem a
  1. Pasamos las dos fracciones a quinceavos:

    25 = 61523 = 1015
  2. Lo agregado es la diferencia:

    1015 − 615 = 415
    había: 6 de 156 hl: 4 de 15después: 10 de 15

Respuesta. Los 6 hl representan 415 de la capacidad total del tanque.

Verificación. 25 + 415 = 615 + 415 = 1015 = 23, que es hasta donde se llenó.

Error común. Restar numeradores y denominadores por separado (2 − 2 arriba y 3 − 5 abajo) no tiene sentido: sin denominador común no se puede restar. Otro error es contestar 23 o 25, que son hasta dónde llegaba la nafta, no lo agregado.

b) El volumen del tanque en m³

Cómo empezar. Ya sabés que 6 hl son 415 del tanque. Pasá los hectolitros a litros y buscá cuánto es 115 y después 1515.

Pista 1

Un hectolitro son 100 litros. Y un litro es 1 dm³; un m³ tiene 1.000 dm³.

Pista 2

Ejemplo con otros números: si 16 de un tanque son 200 litros, el tanque tiene 200 × 6 = 1.200 litros = 1.200 dm³ = 1,2 m³.

Pista 3

Pasá 6 hl a litros, dividí por 4 para tener 115, multiplicá por 15 y dividí por 1.000 para pasar de dm³ a m³.

Resolución paso a paso del ítem b
  1. Pasamos a litros:

    6 hl = 6 × 100 litros = 600 litros
  2. Si 4 partes de 15 son 600 litros:

    115 → 600 litros : 4 = 150 litros1515 → 150 litros × 15 = 2.250 litros
  3. Pasamos a metros cúbicos (1 litro = 1 dm³ y 1 m³ = 1.000 dm³):

    2.250 litros = 2.250 dm³ = 2,25 m³

Respuesta. El volumen del tanque es de 2,25 m³.

Verificación. 415 de 2.250 litros = 2.250 : 15 × 4 = 150 × 4 = 600 litros = 6 hl, la nafta agregada.

Error común. Pasar 6 hl a 60 litros (un hectolitro son 100 litros, no 10) o dividir por 100 al pasar de dm³ a m³: para volúmenes es por 1.000.

Dictado: «El alumno aplicado»

En el examen vale 15 puntos. La voz del navegador lo lee primero entero y después frase por frase, con el tiempo que necesites para escribir.

Ver el dictado oficial

Idioma Nacional: comprensión y producción

Respondé en pantalla, con el cronómetro del examen: 1 h 30 min. Al terminar, se corrige: lo de elegir y lo de copiar del texto, solo; lo que escribís, con la respuesta modelo y los criterios para que marques qué cumpliste. El dictado de este año (15 puntos) se practica arriba, con su propio corrector.

Las consignas son las del examen real del Politécnico. Las respuestas modelo son de METODICAMENTE: el instituto no publica claves.

1:30:00

Los dos magos

Marcelo Birmajer (adaptación)

China, año 100

I - El caos

Una nueva ola de disturbios y desmanes amenazaba a China. El Emperador Shin Hu se hallaba realmente confundido por el estado de sus dominios. Los señores de la guerra ocupaban enormes regiones y mataban a los campesinos, destruían los sembradíos, luchaban unos con otros. Por lo tanto, el Imperio corría el riesgo de la desunión.

El Emperador ya había recurrido a sus mejores generales y consejeros. Pero cuando estos triunfaban, las victorias eran breves. La solución no podía ser librar pequeñas batallas, sino implantar una armonía general que convenciera a la mayoría de los chinos, de tal modo que los señores de la guerra, además de vencidos por las armas, fueran desoídos por sus soldados. ¿Pero quién podía unir la capacidad militar con una sabiduría que acabara con aquel caos? “Sólo la magia”, pensó el Emperador.

II - Tzé Mingh y Jin Fu

Existían en China dos magos de igual e insuperable fama, Tzé Mingh y Jin Fu. Tzé era un hombre encantador. Vivía de sus trucos, y viajaba de un lado a otro de China en su carruaje, mostrando su magia. Bebía mucho alcohol de arroz, se acostaba muy tarde y nadie sabía cuándo se despertaba. Aparecía. Algunas de sus habilidades: convertir agua de mar en vino de arroz, dar cinco pasos en el aire, predecir el recorrido de una pluma en el viento durante más de diez minutos. Nadie tenía ninguna queja contra él, pero tampoco se sabía que fuera bueno ni amigable.

Jin Fu era muy distinto. No se movía de la región de Wakhan. Tenía esposa y cuatro hijos. Se levantaba muy temprano y colaboraba con los campesinos. Curaba a las cabras y a los niños en casos desesperados. Hacía magia sólo cuando era estrictamente necesario. Durante una gran sequía, hizo llover. Pero cuando los campesinos le suplicaron que repitiera el truco, Jin argumentó que no deseaba modificar la naturaleza si ésta no se mostraba especialmente hostil y agregó que la situación no era tan grave. Los campesinos lo tomaron por mezquino o perezoso, y no le perdonaron su prudencia. Pero tampoco le hicieron daño. Aunque era un mago bueno, temían su poder. Se negó también a ayudar por medios mágicos a sus hijos en la escuela. Pero en cuanto apareció un instructor malvado, Jin Fu se encargó de que se le enredara la lengua para que les dijera palabras suaves a sus alumnos cuando quería insultarlos.

III - Cita en la Ciudad Prohibida

Ambos magos fueron convocados por el Emperador a la Ciudad Prohibida. Librarían un duelo de magia, y el ganador ocuparía el puesto de Gran Mago del Imperio. Sus privilegios serían mayúsculos: riquezas, poder, un lugar en la historia de China. Pero su responsabilidad sería trascendental*: reunificar el Imperio. En ello se les fuera posiblemente la vida.

Tzé Mingh llegó a la Ciudad Prohibida, nadie sabía cómo. Fresco, alegre, encantador. Pensaban que se había transportado en una alfombra voladora, o caminando por el aire. Los consejeros del Emperador lo recibieron respetuosamente y lo llevaron a la posada de huéspedes, a la espera de la llegada de Jin Fu.

Jin tardó más de un mes en llegar. Se había trasladado a pie y en caballo desde su lejana región. Como no aceptaba ser llevado por changarines* en palanquín* y daba tiempo a los caballos para recuperarse, su demora fue mayor y su cansancio demoledor.

IV - Bajo el sol

El duelo se pactó para una mañana de sol resplandeciente. El Emperador, con un traje de vivos colores, observaba el enfrentamiento desde lo alto de la Ciudad Prohibida, en su trono deslumbrante.

Comenzó Tzé Mingh. Se paró justo en el centro de la Ciudad Prohibida, sin más implementos que una túnica blanca. Miró a un lado, a otro, y desapareció. Se esfumó. Sólo quedó la túnica blanca, rígida en el aire, como si aún estuviera ocupada por un cuerpo. La túnica, vacía, levitaba*. Un consejero se acercó a la túnica y la alzó, no había nada debajo. Pero su mano chocó contra un cuerpo. Otro repitió los movimientos del anterior. Ambos escucharon una feroz carcajada. Se oyó la voz de Tzé Mingh gritar y retumbar en el gigantesco predio: “¡Soy invisible!”.

Pasaron cinco minutos, todos los presentes permanecieron en silencio, y Tzé Mingh reapareció, dentro de su túnica. La túnica no se había movido del sitio durante aquellos minutos; Tzé Mingh tampoco. Los consejeros, los eunucos*, e incluso el Emperador, no pudieron contener el aplauso. Aquel mago era prodigioso*, nunca habían presenciado nada semejante.

Para los eunucos, Tzé Mingh ya había ganado. Sin embargo, los consejeros y el Emperador aún aguardaban un milagro por parte de Jin Fu. ¿Qué truco, qué prodigio, qué sabiduría podría aportarle más ventajas al Emperador? ¿Qué tareas no podrían ser realizadas con aquel prodigio insuperable?

Y lo cierto es que Jin Fu tenía todas las de perder. El truco que había preparado para vencer en el duelo era un conejo que hablaba. Le había enseñado a hablar a un conejo. Esperaba que los consejeros y el Emperador anticiparan que lo haría desaparecer; y cuando todos estuvieran atentos a ese antiguo pase de magia, el conejo exclamaría con una voz perfectamente modulada: “Emperador, aquí estamos para servirte. Si un conejo puede hablar, tu Imperio puede ser reunificado”.

Quizá los consejeros opusieran que no era el conejo el que hablaba, sino un despliegue de ventriloquia* de Jin Fu. Pero ante semejantes sospechas Jin Fu se apartaría todo lo que los consejeros ordenaran y les cedería el conejo para que hablaran con el animal cuanto quisieran, hasta despejar la menor duda.

Enseñarle a hablar al conejo le había llevado años. Pero ahora sabía que su batalla estaba perdida. Un conejo que hablara no podía hacerle frente a un hombre invisible. Sin embargo, un rayo de esperanza alumbró su cansada cabeza. Jin Fu era un hombre experimentado, casi anciano, no por la edad, sino por lo mucho vivido y por las innumerables pruebas de la maldad humana de las que había sido testigo. No quería poderes ni riquezas, sólo reunificar el Reino, para que todos los chinos pudieran volver a vivir en armonía.

Algo en su alma le dijo: “Lo importante no es que el conejo hable, sino lo que dice”.

Antes de caminar hasta el mismo sitio donde Tzé Mingh había realizado su acto, Jin Fu llevó su boca a la oreja del conejo y le susurró unas palabras. Nadie lo notó, pero el conejo reaccionó con una mirada inteligente.

Una vez en el medio de la Ciudad Prohibida, Jin Fu alzó el conejo alto en sus brazos y el animal habló con una voz esplendorosa, fuerte y clara: “Emperador, en tu palacio guardas las mayores riquezas del Reino. En cada rincón del Imperio, tus intereses deben ser protegidos rigurosamente. ¿Podrás confiar en un hombre capaz de hacerse invisible?”

Las palabras del conejo fueron recibidas con un silencio sepulcral*. Ni el canto del grillo real se escuchaba en la Ciudad Prohibida. Nadie aplaudió. Los consejeros no se acercaron a revisar al conejo. Luego de cinco minutos, el Emperador dijo:

-Tzé Mingh, retírese. A partir de hoy, tiene prohibido hacerse invisible. Jin Fu será el Gran Mago del Imperio.

En negrita en el original:

  • Se negó también a ayudar por medios mágicos a sus hijos en la escuela.
  • Pero en cuanto apareció un instructor malvado, Jin Fu se encargó de que se le enredara la lengua para que les dijera palabras suaves a sus alumnos cuando quería insultarlos.

Glosario

  • trascendentales: importante por sus consecuencias.
  • changarín: hombre encargado de transportar bultos o personas.
  • palanquín: silla de mano usada en Oriente para el transporte.
  • levitar: elevarse en el aire un ser humano o una cosa, sin que intervengan agentes físicos conocidos.
  • eunuco: en la historia antigua y oriental, ministro o empleado favorito de un rey.
  • prodigioso: persona que posee una cualidad en grado extraordinario o excelente.
  • ventriloquia: habilidad de una persona para articular palabras sin apenas mover los labios, de forma que su voz parece venir de fuera de ella.
  • sepulcral: sombrío, tétrico, fúnebre.

Comprensión

  1. 1. Extrae la oración que indica la consecuencia que podría provocar el caos generado por los señores de la guerra. (4 puntos)

    Pista

    Buscá en la parte «I - El caos» una oración que empiece con un conector de consecuencia.

  2. 2. Escribe en tu hoja de examen la siguiente expresión (que aparece destacada en negrita) y complétala con la opción correcta: El Emperador eligió la magia para combatir el caos porque estaba convencido de que ………………. (6 puntos)

    Opciones
    Pista

    Releé la pregunta que se hace el Emperador justo antes de pensar «Sólo la magia».

  3. 3. Transcribe de esta lista las 3 (tres) expresiones verdaderas que describen a Tzé Mingh: (3 puntos)

    Opciones
    Pista

    Releé la presentación de Tzé Mingh en la parte II y lo que piensan de él después de su truco.

  4. 4. Transcribe de esta lista las 3 (tres) expresiones falsas referidas a Jin Fu: (3 puntos)

    Opciones
    Pista

    Ojo: acá buscás lo que NO es Jin Fu. Para cada palabra, buscá en el texto una frase que la confirme o la contradiga.

  5. 5. ¿Qué razones les dio Jin Fu a los campesinos para no ayudarlos cuando le suplicaron que hiciera llover nuevamente? (4 puntos)

    Pista

    Buscá en la parte II los verbos «argumentó» y «agregó».

  6. 6. Transcribe en tu hoja de examen la siguiente oración e indica qué función sintáctica cumplen la expresión A) y la expresión B) que aparecen subrayadas. Una mañana de sol, el Emperador observó el enfrentamiento. A) Una mañana de sol B) el enfrentamiento (4 puntos)

    Una mañana de sol, el Emperador observó el enfrentamiento.
    Pista

    Para A, preguntale al verbo «¿cuándo observó?». Para B, preguntale «¿qué observó?».

  7. 7. Cuando le tocó el turno a Jin Fu, su conejo dijo: “Emperador, en tu palacio guardas las mayores riquezas del Reino. En cada rincón del Imperio, tus intereses deben ser protegidos rigurosamente. ¿Podrás confiar en un hombre capaz de hacerse invisible?” ¿Qué decisiones tomó el Emperador luego de escuchar esas palabras?. (6 puntos)

    Pista

    Releé lo que dice el Emperador en el último renglón del cuento: hay tres decisiones.

Producción

Relee las oraciones del cuento resaltadas en negrita. Luego, escribe tu opinión sobre la actitud que adoptó Jin Fu cuando ayudó a los alumnos. Desarrolla tus ideas en un texto de aproximadamente 6 (seis) renglones. (5 puntos)

Ver el examen original del Politécnico