Ingreso 2015

1. Escritura simbólica. El corchete muestra que la quinta parte es de toda la suma:

   15 × [p² + dcm(50; 65)]

2. El divisor común mayor de 50 y 65:

   50 = 2 × 5² 65 = 5 × 13dcm(50; 65) = 5

3. Reemplazamos p = 32 y resolvemos:

   (32)² = 9494 + 5 = 94 + 204 = 29415 × 294 = 2920 = 1,45

Respuesta. Se escribe 15 × [p² + dcm(50; 65)] y su valor es 2920 = 1,45.

Verificación. Con decimales: 1,5² = 2,25; 2,25 + 5 = 7,25; 7,25 : 5 = 1,45.

Error común. Escribir 15 × p² + dcm(50; 65), sin corchetes: así solo se toma la quinta parte del cuadrado y el resultado da 5,45. También confundir dcm con mcm (el mcm de 50 y 65 es 650).

1. El recíproco de 15 es 5, porque 15 × 5 = 1. Escritura simbólica:

   13 × 5 − 6 × q

2. Reemplazamos q = 18:

   13 × 5 = 536 × 18 = 68 = 34

3. Restamos con denominador común 12:

   53 − 34 = 2012 − 912 = 1112

Respuesta. Se escribe 13 × 5 − 6 × q y su valor es 1112 (aproximadamente 0,92).

Verificación. 1112 + 34 = 1112 + 912 = 2012 = 53, que es la tercera parte de 5.

Error común. Usar 15 en lugar de su recíproco, o escribir 13 × (5 − 6 × q): eso sería «la tercera parte de la diferencia», y da 1712. La resolución oficial usa la misma lectura que esta clase.

1. Escritura simbólica:

   15 % × (p : q) o también 15100 × (p : q)

2. La razón con los valores dados:

   32 : 18 = 32 × 8 = 12

3. El 15 % de 12:

   15100 × 12 = 180100 = 95 = 1,8

Respuesta. Se escribe 15 % × (p : q) y su valor es 95 = 1,8.

Verificación. 10 % de 12 es 1,2 y 5 % de 12 es 0,6; 1,2 + 0,6 = 1,8.

Error común. Invertir la razón y calcular q : p = 112. La razón «entre p y q» pone p primero. Errata de la resolución oficial: en la escritura simbólica pone «15 % · p : p»; tiene que ser p : q, como usa después en el cálculo (32 : 18).

1. Escritura simbólica:

   √(m × q)

2. Reemplazamos m = 2 y q = 18:

   2 × 18 = 28 = 14√14 = 12, porque 12 × 12 = 14

Respuesta. Se escribe √(m × q) y su valor es 12 = 0,5.

Verificación. 0,5 × 0,5 = 0,25 y 2 × 0,125 = 0,25: coinciden.

Error común. Escribir √m × q, con la raíz solo sobre m: da √2 × 18, otro número. La raíz tiene que cubrir el producto entero.

1. Decenas de mil: un múltiplo de 5 que sea una cifra y no sea 0 (un número no empieza con 0).

   decenas de mil = 5

2. Unidades: el número es impar, así que termina en 1, 3, 7 o 9 (el 5 ya se usó). Unidades de mil = decenas × unidades, y tiene que ser una sola cifra sin repetir:

   unidades 1: el producto repite la cifra de las decenas ✗decenas 0: el producto es 0, se repite ✗decenas 1: el producto repite la cifra de las unidades ✗unidades 3 y decenas 2: 2 × 3 = 6 ✓unidades 3 y decenas 4 o más: 12 o más, no es una cifra ✗unidades 7 o 9 con decenas 2: 14 o 18 ✗

3. Ya tenemos 5 6 _ 2 3. Falta la centena c. Regla del 11: (cifras de lugar impar) − (cifras de lugar par).

   (5 + c + 3) − (6 + 2) = cc tiene que ser 0 o un múltiplo de 11 de una cifra ⇒ c = 0

Respuesta. Sara escribió el número 56.023.

Verificación. 56.023 : 11 = 5.093 exacto (11 × 5.093 = 56.023). Es impar, tiene cinco cifras distintas, 2 × 3 = 6 y 5 es múltiplo de 5.

Error común. Olvidar que las cifras son distintas y aceptar, por ejemplo, unidades 1 (el producto repetiría la cifra de las decenas). La resolución oficial numera este problema como «Problema 3» y la figura de Ana como «Problema 2»: están al revés respecto del examen.

1. Rectángulo abef: si la base es 1 parte, la altura son 5 partes, y el perímetro tiene 1 + 5 + 1 + 5 = 12 partes.

   12 partes = 300 cm ⇒ 1 parte = 25 cmab = ef = 25 cm af = be = 25 cm × 5 = 125 cm

2. Cuadrado cdem, con el mismo perímetro:

   lado = 300 cm : 4 = 75 cmcd = de = em = mc = 75 cm

3. Triángulo bmc, rectángulo en m:

   bm = be − em = 125 cm − 75 cm = 50 cmbc² = 50² + 75² = 2.500 + 5.625 = 8.125bc = √8.125 ≈ 90,14 cm

4. Perímetro de bcde:

   bc + cd + de + eb = 90,14 cm + 75 cm + 75 cm + 125 cm = 365,14 cm

Respuesta. El perímetro del cuadrilátero bcde es de 365,14 cm aproximadamente.

Verificación. 90,14² = 8.125,2…, casi 8.125: la raíz está bien redondeada. Además bc tiene que ser mayor que mc (75 cm) por ser la hipotenusa, y lo es.

Error común. Usar be entero (125 cm) como cateto del triángulo en lugar de bm (50 cm), o sumar los cuatro lados del cuadrado en lugar de los de bcde.

1. Superficie de cada pieza:

   rectángulo abef: 25 cm × 125 cm = 3.125 cm²cuadrado cdem: 75 cm × 75 cm = 5.625 cm²triángulo bmc: 50 cm × 75 cm : 2 = 1.875 cm²

2. Sumamos:

   3.125 cm² + 5.625 cm² + 1.875 cm² = 10.625 cm²

Respuesta. La figura de Ana tiene una superficie de 10.625 cm².

Verificación. Otra vía: el rectángulo que encierra todo mide (25 + 75) cm × 125 cm = 12.500 cm². Le falta el triángulo de arriba a la derecha, de catetos 75 cm y 50 cm: 1.875 cm². 12.500 cm² − 1.875 cm² = 10.625 cm².

Error común. Olvidar dividir por 2 la superficie del triángulo, o usar bc (la hipotenusa) como si fuera un cateto.

1. Capacidad total del recipiente:

   35 → 3.600 litros15 → 3.600 litros : 3 = 1.200 litros55 → 1.200 litros × 5 = 6.000 litros

2. Pasamos a metros (1 litro = 1 dm³; 1 m³ = 1.000 dm³):

   6.000 litros = 6.000 dm³ = 6 m³150 cm = 1,5 m

3. Volumen = superficie de la base × altura, así que la base es el volumen dividido por la altura:

   S base = 6 m³ : 1,5 m = 4 m²la base es un cuadrado: lado = √4 m² = 2 m

4. Las caras laterales son 4 rectángulos de 2 m por 1,5 m:

   una cara: 2 m × 1,5 m = 3 m²S lateral = 4 × 3 m² = 12 m²

Respuesta. Se necesitarán, como mínimo, 12 m² de acero inoxidable.

Verificación. Al revés: un prisma de base 2 m × 2 m y altura 1,5 m tiene 4 m² × 1,5 m = 6 m³ = 6.000 litros, y 35 de 6.000 litros son 3.600 litros, el dato.

Error común. Calcular con los 3.600 litros como si fueran toda la capacidad, o sumar también las dos bases: el problema pide solo las caras laterales. Otro error es dejar la altura en cm y el volumen en m³.

1. Aporte de Ignacio en función de los ahorros de Patricio (P):

   ahorros de Ignacio = 23 de Paporte de Ignacio = 14 × 23 de P = 212 de P = 16 de P

2. Entre los dos:

   16 de P + 13 de P = 16 de P + 26 de P = 36 de P = 12 de P12 de P = $ 270 ⇒ P = $ 540

3. Ahorros de Ignacio y los dos aportes:

   ahorros de Ignacio = 23 × $ 540 = $ 360aporte de Patricio = 13 × $ 540 = $ 180aporte de Ignacio = 14 × $ 360 = $ 90

Respuesta. Patricio aportó $ 180 e Ignacio aportó $ 90 para el regalo.

Verificación. $ 180 + $ 90 = $ 270. Y $ 360 es 23 de $ 540, porque $ 540 : 3 × 2 = $ 360. Con la tira: 3 partes iguales son $ 270, cada parte $ 90; Ignacio aporta 1 parte y Patricio 2.

Error común. Contestar los ahorros ($ 540 y $ 360) en lugar de los aportes, o tomar 23 de lo que aportó Patricio: la relación 23 es entre los ahorros, no entre los aportes.