Ingreso 2014

1. La raíz de una fracción es la raíz del numerador sobre la raíz del denominador:

   √14 = 12, porque 12 × 12 = 14

2. Resolvemos el lado derecho:

   2 + 12 = 42 + 12 = 5252 : 5 = 52 × 15 = 510 = 12

3. Ahora la igualdad dice que x dividido 13 da 12. Para despejar x hacemos la operación inversa: multiplicamos por 13.

   x : 13 = 12x = 12 × 13 = 16

4. El recíproco de una fracción es la que, multiplicada por ella, da 1: se invierten numerador y denominador.

   recíproco de 16 = 61 = 6

Respuesta. x = 16, así que el recíproco de x es 6.

Verificación. Volvé a la igualdad con x = 16: 16 : 13 = 16 × 3 = 36 = 12, igual que el lado derecho. Y 16 × 6 = 1.

Error común. Contestar 16, que es x y no su recíproco. También es común sacar √14 = 116 (eso es elevar al cuadrado) o dividir solo el 2 por 5 y no toda la suma.

1. Divisores de 45, de a pares:

   45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9D₄₅ = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

2. Un número primo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. El 3 y el 5 son primos. El 1 tiene un solo divisor, así que no es primo. El 9, el 15 y el 45 tienen más de dos.

   no primos: 1; 9; 15; 45

3. Sumamos:

   p = 1 + 9 + 15 + 45 = 70

Respuesta. El valor de p es 70.

Verificación. La suma de todos los divisores de 45 es 1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 45 = 78. Si le restás los primos: 78 − 3 − 5 = 70.

Error común. Dejar afuera el 1 pensando que es primo, o dejar afuera el 45 porque «es el mismo número». Los dos son divisores no primos.

1. La propiedad: número × número = mcm × dcm.

   4 × q = mcm(4; q) × dcm(4; q)4 × q = 460 × 2 = 920

2. Despejamos q con la operación inversa:

   q = 920 : 4 = 230

3. La quinta parte de q:

   230 : 5 = 46

Respuesta. q = 230, y su quinta parte es 46.

Verificación. Con factores primos: 4 = 2 × 2 y 230 = 2 × 5 × 23. El dcm toma los comunes con el menor exponente: 2. El mcm toma todos con el mayor exponente: 2 × 2 × 5 × 23 = 460. Coinciden con los datos.

Error común. Contestar 230, que es q y no su quinta parte. Otro error es hacer 460 : 4 y olvidarse de multiplicar por el dcm.

1. h ∈ D₃₀ quiere decir que h es divisor de 30:

   30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6D₃₀ = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

2. h ∉ M₂: h no es múltiplo de 2, o sea, es impar.

   quedan: 1; 3; 5; 15

3. h ∈ M₅: h es múltiplo de 5.

   quedan: 5; 15

4. h es primo: 15 = 3 × 5 no es primo; 5 sí.

   h = 5

Respuesta. El valor de h es 5.

Verificación. Revisá las cuatro condiciones con 5: 30 : 5 = 6 (divide a 30); 5 es impar; 5 = 5 × 1 es múltiplo de 5; sus únicos divisores son 1 y 5, es primo.

Error común. Leer h ∉ M₂ como «h es múltiplo de 2» (la barra en ∉ niega). También pasa que se deja el 15 porque cumple las primeras condiciones, sin revisar que sea primo.

1. Las 80 páginas son 2 partes de 5 de lo que faltaba:

   15 de lo que falta = 80 : 2 = 40 páginaslo que faltaba = 40 × 5 = 200 páginas

2. El libro es lo leído más lo que faltaba:

   80 + 200 = 280 páginas

3. En la segunda semana leyó la cuarta parte del total:

   14 de 280 = 280 : 4 = 70 páginas

4. Lo que queda es el libro menos lo que leyó en las dos semanas:

   80 + 70 = 150 páginas leídas280 − 150 = 130 páginas

Respuesta. Después de la segunda semana a Pablo le quedan 130 páginas por leer.

Verificación. Otra vía: lo que faltaba eran 200 páginas; en la segunda semana leyó 70 de ellas, y 200 − 70 = 130. Y 25 de 200 = 80, el dato.

Error común. Tomar las 80 páginas como 25 del libro: daría un libro de 200 páginas y una respuesta de 70. La frase «de las páginas que le faltan leer» dice de qué es la fracción.

1. El contorno del rombo tiene 4 lados, y cada uno son 2 lados de triángulo: en total, 8 lados de triángulo.

   L = 160 cm : 8 = 20 cm

2. La altura de un triángulo equilátero cae en el punto medio de la base y forma un triángulo rectángulo: hipotenusa 20 cm y un cateto de 10 cm.

   h² + 10² = 20²h² = 400 − 100 = 300h = √300 ≈ 17,32 cm

3. Superficie del triángulo, base por altura sobre 2:

   20 cm × 17,32 cm : 2 = 173,2 cm²

Respuesta. Cada triángulo tiene una superficie de 173,2 cm² (con la altura redondeada a 17,32 cm).

Verificación. Comprobá la altura: 17,32² = 299,98…, casi 300; y 300 + 100 = 400 = 20². Además 8 × 173,2 cm² = 1.385,6 cm², que es la superficie del rombo: te sirve en el ítem b.

Error común. Dividir 160 por 4 y tomar 40 cm como lado del triángulo: eso es el lado del rombo. También es común usar 20 cm (el lado) como altura. La altura siempre es más corta que el lado.

1. La diagonal bd pasa por los lados de dos triángulos, uno detrás de otro:

   bd = 2 × 20 cm = 40 cm

2. La superficie del rombo son los 8 triángulos:

   8 × 173,2 cm² = 1.385,6 cm²

3. Superficie del rombo = D × d : 2. Despejamos la diagonal ac:

   ac × 40 cm : 2 = 1.385,6 cm²ac = 1.385,6 cm² × 2 : 40 cm = 69,28 cm

Respuesta. La diagonal bd mide 40 cm y la diagonal ac mide aproximadamente 69,28 cm.

Verificación. Otra vía: la diagonal ac atraviesa dos rombitos de dos triángulos cada uno, y en cada rombito mide dos alturas. Son 4 alturas: 4 × 17,32 cm = 69,28 cm.

Error común. Creer que las dos diagonales miden lo mismo (eso pasa en el cuadrado, no en este rombo) o tomar el lado del rombo, 40 cm, como la diagonal larga.

1. Escribimos cada parte como fracción del total recaudado:

   sonido: 110queda: 1 − 110 = 910Benjamín: 14 × 910 = 940Laslo: lo mismo, 940

2. Pasamos a cuarentavos para sumar y ver qué parte sobra:

   110 + 940 + 940 = 440 + 1840 = 2240sobra: 4040 − 2240 = 1840

3. Esos 1840 son $ 2.295:

   140 del total = $ 2.295 : 18 = $ 127,50total = $ 127,50 × 40 = $ 5.100

4. Dinero que recibe Benjamín:

   940 de $ 5.100 = $ 127,50 × 9 = $ 1.147,50

5. Ese dinero es la seña: el 15 % del precio de las camperas. Si el 15 % es $ 1.147,50, el 1 % es la quinceava parte y el 100 % es cien veces eso.

   1 % = $ 1.147,50 : 15 = $ 76,50100 % = $ 76,50 × 100 = $ 7.650

Respuesta. Las camperas cuestan $ 7.650 (se recaudaron $ 5.100 y Benjamín recibió $ 1.147,50 para la seña).

Verificación. Hacia adelante: $ 5.100 − $ 510 de sonido = $ 4.590; la cuarta parte es $ 1.147,50; menos dos veces eso queda $ 4.590 − $ 2.295 = $ 2.295, el dato. Y el 15 % de $ 7.650 es 0,15 × 7.650 = $ 1.147,50.

Error común. Dar como respuesta $ 5.100, que es lo recaudado, o $ 1.147,50, que es solo la seña. También es común tomar 14 del total en lugar de 14 de lo que quedaba después del sonido.

1. Superficie de una cara y arista del cubo:

   864 cm² : 6 = 144 cm²arista = √144 = 12 cm, porque 12 × 12 = 144

2. La base del prisma triangular es un triángulo rectángulo. Sus catetos van del vértice del cubo a un punto medio: media arista cada uno. La hipotenusa es la línea del corte.

   catetos: 12 cm : 2 = 6 cmcorte² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72corte = √72 ≈ 8,49 cm

3. Las caras laterales son tres rectángulos con la altura del cubo, 12 cm: dos de 6 cm de ancho (pedazos de caras del cubo) y uno de 8,49 cm (la cara del corte).

   6 cm × 12 cm + 6 cm × 12 cm + 8,49 cm × 12 cm= 72 cm² + 72 cm² + 101,88 cm² = 245,88 cm²

Respuesta. La superficie lateral del prisma de base triangular es de 245,88 cm² aproximadamente.

Verificación. Con la fórmula perímetro de la base × altura: (6 cm + 6 cm + 8,49 cm) × 12 cm = 20,49 cm × 12 cm = 245,88 cm².

Error común. Sumar las dos bases triangulares: la superficie lateral no las incluye. También pasa que se toma 12 cm como cateto, olvidando que a, b, c y d son puntos medios. Si no redondeás √72 antes de multiplicar, te da 245,82 cm²; el examen pide redondear también los resultados parciales a dos decimales, y así sale 245,88 cm².

1. Volumen del cubo:

   12 cm × 12 cm × 12 cm = 1.728 cm³

2. Volumen del prisma triangular: base (el triángulo) por altura.

   base: 6 cm × 6 cm : 2 = 18 cm²volumen: 18 cm² × 12 cm = 216 cm³

3. El prisma pentagonal es lo que queda del cubo:

   1.728 cm³ − 216 cm³ = 1.512 cm³

4. Qué parte del cubo es, en porcentaje:

   1.512 : 1.728 × 100 = 87,5 %

Respuesta. El volumen del prisma de base pentagonal es el 87,5 % del volumen del cubo.

Verificación. Otra vía, sin volúmenes: la base triangular (18 cm²) es 18 de la cara del cubo (144 cm²), porque 144 : 18 = 8. Entonces el prisma triangular es 18 = 12,5 % del cubo, y el pentagonal 100 % − 12,5 % = 87,5 %.

Error común. Contestar 12,5 %, que es el porcentaje del prisma triangular, o calcular el volumen del triangular sin dividir por 2 la base (6 × 6 es un cuadrado, no un triángulo).