recta numérica
Representá Divisibilidad, potencias y raíces exactas con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con usar criterios con fundamento. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Factores, múltiplos, potencias y raíces permiten reconocer estructuras sin probar cálculos al azar.
Ya podés usar criterios con fundamento y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a usar criterios con fundamento. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Operaciones con naturales.
Comprobación de treinta segundos. Una biblioteca recibió 18 cajas de 24 libros. ¿Cuántos libros recibió. Respuesta. 432.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-02.
- usar criterios con fundamento.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-01.
La idea
Los criterios de divisibilidad resumen regularidades del sistema decimal: la factorización explica por qué funcionan y ayuda a resolver problemas. Una potencia representa factores iguales y una raíz exacta deshace esa operación. El objetivo no es memorizar listas aisladas, sino decidir y justificar usando productos, restos y estructuras. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es usar criterios con fundamento. El segundo es factorizar naturales. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Operaciones, propiedades, estimación y control: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder validar relaciones de divisibilidad con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de 2⁵. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Factores, múltiplos, potencias y raíces permiten reconocer estructuras sin probar: cálculos al azar.
Ejemplo resuelto
144 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras forman 144 y 144÷8=18. 144=2⁴·3², por lo que los factores de √144 pueden emparejarse. √144=2²·3=12 y se controla con 12²=144. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 7 al resolver Si un número es divisible por 4 y por 3, necesariamente es divisible por….
Por qué tienta: Esta elección es compatible con elegir un número que no reúne los factores exigidos.
Cómo repararlo: Descomponé 4 y 3 en factores primos y reuní los necesarios.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Factores, múltiplos, potencias y raíces permiten reconocer estructuras sin probar cálculos al azar.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás usar criterios con fundamento con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Divisibilidad, potencias y raíces exactas.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Divisibilidad, potencias y raíces exactas trabaja este objeto matemático. Factores, múltiplos, potencias y raíces permiten reconocer estructuras sin probar cálculos al azar.
Qué hace falta antes
- Operaciones con naturales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Una biblioteca recibió 18 cajas de 24 libros. ¿Cuántos libros recibió. Respuesta. 432.
- usar criterios con fundamento. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Divisibilidad, potencias y raíces exactas con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con usar criterios con fundamento. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de 2⁵. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Factores, múltiplos, potencias y raíces permiten reconocer estructuras sin probar. cálculos al… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 7. Se reconoce porque Ser divisible por 4 y por 3 garantiza divisibilidad por mcm(4,3)=12, no por 7. Reparación. Descomponé 4 y 3 en factores primos y reuní los necesarios.
Comprobación rápida
¿Cuál número es divisible por 3. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
741 Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
¿Cuál número es divisible por 3?
Necesito una pista
Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 741
La respuesta correcta es 741. 7+4+1=12 es múltiplo de 3.
Ejercicio 2
Consigna
Calculá 2⁵.
Necesito una pista
Ubicá primero 2⁵. Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 32
La respuesta correcta es 32. Cinco factores 2 producen 32.
Ejercicio 3
Consigna
¿Cuál es primo?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál es primo. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 29
La respuesta correcta es 29. No tiene divisores naturales distintos de 1 y 29.
Ejercicio 4
Consigna
¿Cuál es la descomposición prima de 84?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál es la descomposición prima de 84. Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2²·3·7
La respuesta correcta es 2²·3·7. Los factores son primos y su producto es 84.
Ejercicio 5
Consigna
Calculá √196.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte √196. Para trabajar interpretar potencias y raíces, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 14
La respuesta correcta es 14. 14²=196.
Ejercicio 6
Consigna
¿Cuál número es divisible por 8?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál número es divisible por 8. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 312
La respuesta correcta es 312. 312÷8=39.
Ejercicio 7
Consigna
Calculá ∛343.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ∛343. Para trabajar usar criterios con fundamento, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7
La respuesta correcta es 7. 7³=343.
Ejercicio 8
Consigna
¿Qué expresión asegura que n es múltiplo de 6?
Necesito una pista
Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: n=6k con k natural
La respuesta correcta es n=6k con k natural. La escritura como producto define el múltiplo.
Ejercicio 9
Consigna
Hallá el resto de 437÷9.
Necesito una pista
Buscá el mayor múltiplo de 9 que no supere 437; la diferencia con 437 es el resto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
9·48=432 y sobran 5.
Ejercicio 10
Consigna
¿Cuál número es compuesto?
Necesito una pista
Probá si cada candidato tiene un divisor distinto de 1 y de sí mismo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 77
77=7·11.
Ejercicio 11
Consigna
Explicá por qué 4 536 es divisible por 9.
Necesito una pista
Representá el dato central de por qué 4 536 es divisible por 9. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La suma de cifras es 18, múltiplo de 9; por la congruencia decimal, el número también lo es.
Una respuesta suficiente debe sostener validar relaciones de divisibilidad con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 12
Consigna
Compará 3⁴ y 4³ sin expandir una cuenta larga.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en 3⁴ y 4³ sin expandir una cuenta larga. Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3⁴=81 y 4³=64; la base mayor no garantiza potencia mayor cuando cambian exponentes.
Una respuesta suficiente debe sostener factorizar naturales con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
¿Cuántos divisores positivos tiene 16?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuántos divisores positivos tiene 16. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
La respuesta correcta es 5. Son 1,2,4,8 y 16.
Ejercicio 14
Consigna
Predecí si √180 será natural usando factores primos.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en si √180 será natural usando factores primos. Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 180=2²·3²·5; queda un factor 5 sin pareja, por eso la raíz no es natural.
Una respuesta suficiente debe sostener factorizar naturales con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 15
Consigna
Modelizá con múltiplos cuándo vuelven a coincidir turnos de 12 y 18 minutos.
Necesito una pista
Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se busca el menor múltiplo común: mcm(12,18)=36 minutos.
Una respuesta suficiente debe sostener factorizar naturales con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Luz afirma que 1234 es divisible por 4 porque 12 lo es. Repará.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Luz afirma que 1234 es divisible por 4 porque 12 lo es.…. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para 4 se observan las dos últimas cifras: 34 no es múltiplo de 4, por eso 1234 no lo es.
Una respuesta suficiente debe sostener validar relaciones de divisibilidad con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Nico escribe 2³=2·3. Localizá el error.
Necesito una pista
Para trabajar factorizar naturales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El exponente indica cantidad de factores: 2³=2·2·2=8.
Una respuesta suficiente debe sostener factorizar naturales con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Dante resolvió “¿Cuál número es divisible por 3?” y escribió “742”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Dante con la condición de validar relaciones de divisibilidad. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción 742 conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de validar relaciones de divisibilidad.. La corrección usa validar relaciones de divisibilidad: 741.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de validar relaciones de divisibilidad. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de validar relaciones de divisibilidad en la consigna ¿Cuál número es divisible por 3 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Si un número es divisible por 4 y por 3, necesariamente es divisible por…
Necesito una pista
Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 12
La respuesta correcta es 12. 4 y 3 son coprimos y su producto es 12.
Ejercicio 20
Consigna
Calculá 5³−3².
Necesito una pista
Ubicá primero 5³−3². Para trabajar interpretar potencias y raíces, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 116
La respuesta correcta es 116. 125−9=116.
Ejercicio 21
Consigna
¿Qué operación controla ∛512=8?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué operación controla ∛512=8. Para trabajar interpretar potencias y raíces, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 8³=512
La respuesta correcta es 8³=512. La potenciación cúbica es inversa de la raíz cúbica.
Ejercicio 22
Consigna
Justificá que la suma de dos múltiplos de 5 vuelve a ser múltiplo de 5.
Necesito una pista
Representá el dato central de Justificá que la suma de dos múltiplos de 5 vuelve a ser…. Para trabajar usar criterios con fundamento, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si a=5m y b=5n, entonces a+b=5(m+n).
Una respuesta suficiente debe sostener usar criterios con fundamento con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 23
Consigna
Interpretá el resto en 250=D·17+r al formar grupos de 17.
Necesito una pista
Relacioná la igualdad con una división euclídea: identificá qué cuenta el cociente y qué queda sin agrupar, respetando el límite del resto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El cociente indica grupos completos y r los elementos sobrantes, siempre con 0≤r<17.
El cociente indica grupos completos y r los elementos sobrantes, siempre con 0≤r<17.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstruí 360 como producto de primos por dos caminos.
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstruí 360 como producto de primos por dos caminos. Para trabajar interpretar potencias y raíces, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo 36·10=(2²·3²)(2·5)=2³·3²·5; cualquier árbol termina en la misma factorización.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar potencias y raíces con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 25
Consigna
Proponé un número divisible por 6 y por 8, pero no por 5, y verificá.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Proponé un número divisible por 6 y por 8. pero no por…. Para trabajar validar relaciones de divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 24 sirve: es 6·4 y 8·3, y no termina en 0 ni 5.
Una respuesta suficiente debe sostener validar relaciones de divisibilidad con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá cómo reconocer una raíz cuadrada exacta desde la factorización.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá cómo reconocer una raíz cuadrada exacta desde la factorización. Para trabajar usar criterios con fundamento, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Todos los exponentes de los factores primos deben ser pares; al dividirlos por dos se obtiene la raíz.
Una respuesta suficiente debe sostener usar criterios con fundamento con datos y una propiedad explícita.