tabla
Representá Relaciones entre variables y funciones de proporcionalidad con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con identificar variables. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una relación funcional conecta variables y puede leerse en lenguaje, tabla, gráfico y fórmula sin perder significado.
Ya podés identificar variables y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a identificar variables. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Proporcionalidad.
Comprobación de treinta segundos. Una escala usa 1 cm por 500 m. ¿Cuántos metros son 3,4 cm. Respuesta. 1700.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-06.
- Regularidades y fórmulas.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
Una variable representa cantidades que pueden cambiar. En una función, cada entrada admitida tiene una única salida. El lenguaje coloquial, la tabla, el gráfico y la fórmula deben narrar la misma relación. Las proporcionalidades directa e inversa son casos particulares: otras relaciones pueden crecer o disminuir sin conservar cociente ni producto. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es identificar variables. El segundo es convertir representaciones. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Proporcionalidad, escalas, porcentajes y decisiones: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder interpretar tasas, dominios y variación con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Cuál tabla es función. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una relación funcional conecta variables y puede leerse en lenguaje: tabla, gráfico y fórmula sin perder significado.
Ejemplo resuelto
Costo a $250 por entrada. C=250n. La tabla(0,0),(2,500),(4,1000) conserva C/n=250. El gráfico es una recta por el origen: el punto(4,1000) significa cuatro entradas cuestan $1000. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 14 al resolver En y=2x+3, calculá y cuando x=4.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con incluir el término independiente dentro de una multiplicación inexistente.
Cómo repararlo: Sustituí x por 4 conservando la estructura 2x+3.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una relación funcional conecta variables y puede leerse en lenguaje, tabla, gráfico y fórmula sin perder significado.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás identificar variables con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Relaciones entre variables y funciones de proporcionalidad.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Relaciones entre variables y funciones de proporcionalidad trabaja este objeto matemático. Una relación funcional conecta variables y puede leerse en lenguaje, tabla, gráfico y fórmula sin perder significado.
Qué hace falta antes
- Proporcionalidad. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Una escala usa 1 cm por 500 m. ¿Cuántos metros son 3,4 cm. Respuesta. 1700.
- Regularidades y fórmulas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Relaciones entre variables y funciones de proporcionalidad con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con identificar variables. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Cuál tabla es función. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una relación funcional conecta variables y puede leerse en lenguaje.…. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 14. Se reconoce porque La fórmula indica 2·4+3=11, no 2·(4+3)=14. Reparación. Sustituí x por 4 conservando la estructura 2x+3.
Comprobación rápida
En y=5x, calculá y para x=7. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
35 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
En y=5x, calculá y para x=7.
Necesito una pista
Para trabajar identificar variables, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 35
La respuesta correcta es 35. 5·7=35.
Ejercicio 2
Consigna
¿Cuál tabla es función?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál tabla es función. Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cada x tiene una sola y
La respuesta correcta es Cada x tiene una sola y. La unicidad de salida define función.
Ejercicio 3
Consigna
¿Qué significa (3,18) en y=6x?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué significa (3,18) en y=6x. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: A entrada 3 corresponde salida 18
La respuesta correcta es A entrada 3 corresponde salida 18. Las coordenadas se interpretan según ejes.
Ejercicio 4
Consigna
Si xy=36 y x=4, hallá y.
Necesito una pista
Ubicá primero Si xy=36 y x=4, hallá y. Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 9
La respuesta correcta es 9. 36÷4=9.
Ejercicio 5
Consigna
¿Cuál relación es directa?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál relación es directa. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=4x
La respuesta correcta es y=4x. Conserva y/x=4 y pasa por origen.
Ejercicio 6
Consigna
Una tabla directa tiene y=21 cuando x=3. Hallá k.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una tabla directa tiene y=21 cuando x=3. Hallá k. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7
La respuesta correcta es 7. k=y/x=7.
Ejercicio 7
Consigna
Si y=24/x, al duplicar x…
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Si y=24/x, al duplicar x…. Para trabajar identificar variables, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y se reduce a la mitad
La respuesta correcta es y se reduce a la mitad. El producto xy permanece 24.
Ejercicio 8
Consigna
En C=800+120x, calculá C(5).
Necesito una pista
Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1400
La respuesta correcta es 1400. 800+600=1400.
Ejercicio 9
Consigna
¿Por qué C=800+120x no es proporcional?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Por qué C=800+120x no es proporcional. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: C(0)=800
La respuesta correcta es C(0)=800. No pasa por el origen y C/x cambia.
Ejercicio 10
Consigna
Una pileta tiene 80 L y pierde 5 L/min. ¿En cuántos minutos se vacía?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Una pileta tiene 80 L y pierde 5 L/min. ¿En cuántos minutos…. Para trabajar interpretar tasas, dominios y variación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 16
La respuesta correcta es 16. 80−5t=0 da t=16.
Ejercicio 11
Consigna
Explicá cómo reconocer una función en una tabla.
Necesito una pista
Recorré las entradas una por una y verificá que ninguna tenga dos salidas distintas; distintas entradas sí pueden compartir salida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cada valor de entrada debe asociarse con una única salida, aunque distintas entradas puedan compartirla.
Cada valor de entrada debe asociarse con una única salida, aunque distintas entradas puedan compartirla.
Ejercicio 12
Consigna
Compará y=3x y y=3x+4.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en y=3x y y=3x+4. Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambas tienen tasa 3, pero solo y=3x es proporcional directa porque pasa por origen.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 13
Consigna
Dominio contextual de n si cuenta personas.
Necesito una pista
Representá el dato central de Dominio contextual de n si cuenta personas. Para trabajar interpretar tasas, dominios y variación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Enteros no negativos
La respuesta correcta es Enteros no negativos. No existen fracciones ni cantidades negativas de personas.
Ejercicio 14
Consigna
Predecí la tabla de y=−2x+5 al aumentar x de 1 en 1.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en la tabla de y=−2x+5 al aumentar x de 1 en 1. Para trabajar identificar variables, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas disminuyen 2 cada paso; por ejemplo 5,3,1,−1 desde x=0.
Una respuesta suficiente debe sostener identificar variables con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 15
Consigna
Modelizá el costo de un taxi con bajada $900 y $180 por km.
Necesito una pista
Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: C(k)=900+180k, con k≥0; 900 es fijo y 180 tasa.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 16
Consigna
Mara une puntos de una tabla de personas y acepta x=2,5. Auditá.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Mara une puntos de una tabla de personas y acepta x=2,5. Auditá. Para trabajar identificar variables, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El dominio es discreto; la recta puede orientar, pero 2,5 personas no es una entrada válida.
Una respuesta suficiente debe sostener identificar variables con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Leo dice que y=x² es lineal porque su gráfico une puntos. Repará.
Necesito una pista
Una relación lineal tiene tasa de cambio constante; compará diferencias sucesivas o la forma del gráfico de y=x².
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sus diferencias no son constantes y el gráfico es curvo; la tasa cambia con x.
Sus diferencias no son constantes y el gráfico es curvo; la tasa cambia con x.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Rocío resolvió “¿Cuál relación es directa?” y escribió “y=4x+2”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Rocío con la condición de reconocer directa e inversa. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción y=4x+2 conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de reconocer directa e inversa.. La corrección usa reconocer directa e inversa: y=4x.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de reconocer directa e inversa. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de reconocer directa e inversa en la consigna ¿Cuál relación es directa y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
En y=2x+3, calculá y cuando x=4.
Necesito una pista
Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 11
La respuesta correcta es 11. 8+3=11.
Ejercicio 20
Consigna
¿Qué gráfico corresponde a proporcional directa?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué gráfico corresponde a proporcional directa. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Recta que pasa por origen
La respuesta correcta es Recta que pasa por origen. La fórmula y=kx cumple (0,0).
Ejercicio 21
Consigna
Si 6 personas tardan 8 h, producto persona-hora.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Si 6 personas tardan 8 h, producto persona-hora. Para trabajar interpretar tasas, dominios y variación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 48
La respuesta correcta es 48. 6·8=48.
Ejercicio 22
Consigna
Justificá que una proporcionalidad inversa no pasa por x=0.
Necesito una pista
Representá el dato central de Justificá que una proporcionalidad inversa no pasa por x=0. Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=k/x exige dividir por x; en x=0 la expresión no está definida.
Una respuesta suficiente debe sostener reconocer directa e inversa con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 23
Consigna
Interpretá la pendiente informal de una tabla directa.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Interpretá la pendiente informal de una tabla directa. Para trabajar interpretar tasas, dominios y variación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es cuánto cambia la salida por cada unidad de entrada y coincide con el cociente constante y/x.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar tasas, dominios y variación con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstruí una fórmula directa desde (2,14) y(5,35).
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstruí una fórmula directa desde (2,14) y(5,35). Para trabajar reconocer directa e inversa, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambos cocientes son 7; la relación es y=7x.
Una respuesta suficiente debe sostener reconocer directa e inversa con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 25
Consigna
Proponé una relación creciente no proporcional y explicá.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Proponé una relación creciente no proporcional y explicá. Para trabajar interpretar tasas, dominios y variación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=2x+10 crece con tasa 2, pero tiene salida inicial 10 y no conserva y/x.
Una respuesta suficiente debe sostener interpretar tasas, dominios y variación con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá cómo convertir entre representaciones.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá cómo convertir entre representaciones. Para trabajar convertir representaciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Identificar variables y unidades, obtener pares, buscar invariantes, escribir fórmula y comprobar que tabla y gráfico coincidan.
Una respuesta suficiente debe sostener convertir representaciones con datos y una propiedad explícita.