AMPLIACIÓN DE INGRESO: componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente; invertir requiere correspondencia uno a uno.
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AMPLIACIÓN DE INGRESO: componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente; invertir requiere correspondencia uno a uno.
Ya podés Componer funciones controlando dominio y comprobar el resultado
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Componer funciones controlando dominio. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para recuperar el tiempo en un proceso multiplicativo. Respuesta: logaritmo.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-alg-04.
Comprobación de treinta segundos. Si f(x)=2x para x<0 y x+1 para x≥0, calculá f(−3). Respuesta. -6.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-05-alg-01.
Comprobación de treinta segundos: sen(0) es… Respuesta. 0.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-05-alg-02.
componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente: invertir requiere correspondencia uno a uno. Esta ampliación prepara alfabetización funcional para estudios superiores. Componer significa usar la salida de una función como entrada de otra, respetando ambos dominios. Una inversa deshace el proceso: si la función no es uno a uno, debe restringirse el dominio antes de invertir. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Componer funciones controlando dominio. El segundo es Decidir y construir inversas. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Funciones exponenciales y logarítmicas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Coordinar fórmula, tabla y gráfico con un caso que no copie el ejemplo.
Representá Ampliación para ingreso superior · Composición, inversa y lectura de dominio con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Componer funciones controlando dominio. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de (g∘f)(x) significa…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan AMPLIACIÓN DE INGRESO. componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente: invertir requiere….
Sea g(x)=x−1 y f(u)=√u. Entonces (f∘g)(x)=√(x−1). Para que g(x) entre al dominio de f, x−1≥0. El dominio de la composición es x≥1. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error: Se escribió f(x), para todo x del dominio de f al resolver Si f es invertible, f⁻¹(f(x)) vale….
Por qué tienta: La elección trata la inversa como una repetición de la función en vez de una operación que deshace su efecto.
Cómo repararlo: Seguí una entrada concreta por f y luego por f⁻¹.
¿Podrías explicarle a alguien por qué AMPLIACIÓN DE INGRESO. componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente: invertir requiere correspondencia uno a uno.
Sí, si vinculás Componer funciones controlando dominio con una propiedad y una representación que permita controlarla.
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Ampliación para ingreso superior · Composición, inversa y lectura de dominio.
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Ampliación para ingreso superior · Composición, inversa y lectura de dominio trabaja este objeto matemático. AMPLIACIÓN DE INGRESO. componer encadena procesos y exige que cada salida entre en el dominio siguiente. invertir requiere correspondencia uno a uno.
Representá Ampliación para ingreso superior · Composición, inversa y lectura de dominio con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Componer funciones controlando dominio. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de (g∘f)(x) significa…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan AMPLIACIÓN DE INGRESO. componer encadena procesos y exige que cada salida entre… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico. responder f(x), para todo x del dominio de f. Se reconoce porque Aplicar f⁻¹ a la salida f(x) recupera la entrada x, no vuelve a producir f(x). Reparación. Seguí una entrada concreta por f y luego por f⁻¹.
Si f(x)=2x+1 y g(x)=x², (f∘g)(3) es… Resolvelo y nombrá el control usado.
19 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Si f(x)=2x+1 y g(x)=x², (f∘g)(3) es…
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior.
Respuesta: 19
La tarea recupera un prerrequisito necesario. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 19.
(g∘f)(x) significa…
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior.
Respuesta: g(f(x))
La tarea recupera un prerrequisito necesario. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: g(f(x)).
¿Por qué el orden de composición importa?
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior.
Respuesta: Porque la salida intermedia y la regla siguiente cambian; en general f(g(x))≠g(f(x)).
La tarea recupera un prerrequisito necesario. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: Porque la salida intermedia y la regla siguiente cambian; en general f(g(x))≠g(f(x)). Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Si una salida de g queda fuera del dominio de f, entonces…
Seguí la salida de g: para poder aplicar f, ese valor intermedio debe pertenecer al dominio de f.
Respuesta: La composición no está definida para esa entrada
La predicción se contrasta con una representación dinámica. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: La composición no está definida para esa entrada.
f(x)=x+4, g(x)=3x. (f∘g)(2)=
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior.
Respuesta: 10
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 10.
Inversa de f(x)=x−5:
Escribí y=x−5, intercambiá entrada y salida y despejá la nueva salida.
Respuesta: f⁻¹(x)=x+5
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: f⁻¹(x)=x+5.
Si f(7)=2 y f es invertible, f⁻¹(2)=
Leé la relación en sentido inverso: buscá qué entrada de f produce la salida 2.
Respuesta: 7
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 7.
Explicá la prueba de la recta horizontal.
En la situación: Apoyá la explicación en salida intermedia, dominio de llegada e inyectividad y añadí una comprobación o contraejemplo.
Respuesta: Una función es uno a uno si toda horizontal corta su gráfico a lo sumo una vez; así ninguna salida proviene de dos entradas.
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: Una función es uno a uno si toda horizontal corta su gráfico a lo sumo una vez; así ninguna salida proviene de dos entradas. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Dominio de √(x+2):
Para una raíz cuadrada real, imponé que el radicando x+2 sea mayor o igual que cero.
Respuesta: x≥−2
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: x≥−2.
Si f(x)=2x, f⁻¹(10)=
Planteá y=2x, intercambiá las variables y despejá antes de evaluar la inversa.
Respuesta: 5
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 5.
Gráficos de f y f⁻¹ son reflejos respecto de…
Intercambiar entrada y salida cambia cada punto (a,b) por (b,a); identificá la recta que actúa como espejo.
Respuesta: y=x
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: y=x.
Compará f∘g y g∘f para f=x+1, g=2x.
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior.
Respuesta: f∘g=2x+1 y g∘f=2x+2; el orden produce funciones distintas.
(f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: f∘g=2x+1 y g∘f=2x+2; el orden produce funciones distintas. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Temperatura C pasa a F=1,8C+32. Inversa para F=68 da C=
Despejá C en F=1,8C+32 y recién después sustituí F=68; controlá la unidad de temperatura.
Respuesta: 20
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 20.
Una tarifa aplica 10% de descuento y luego suma $500. Compará con sumar primero y descontar.
En la situación: Apoyá la explicación en salida intermedia, dominio de llegada e inyectividad y añadí una comprobación o contraejemplo.
Respuesta: No son equivalentes: 0,9x+500 frente a 0,9(x+500)=0,9x+450.
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: No son equivalentes: 0,9x+500 frente a 0,9(x+500)=0,9x+450. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Proponé una restricción para invertir f(x)=(x−2)².
Restringí el dominio a un lado del vértice para que cada salida provenga de una sola entrada.
Respuesta: Por ejemplo x≥2, con inversa f⁻¹(y)=2+√y; también x≤2 da otra rama.
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: Por ejemplo x≥2, con inversa f⁻¹(y)=2+√y; también x≤2 da otra rama. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ailén escribe (f∘g)(x)=f(x)·g(x). Corregí.
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior. Localizá el primer paso inválido antes de repararlo.
Respuesta: La composición es f(g(x)); el producto es otra operación distinta entre funciones.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: La composición es f(g(x)); el producto es otra operación distinta entre funciones. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Damián invierte 2x+3 como 1/(2x+3). Reparalo.
La inversa funcional deshace la regla: intercambiá x e y y despejá, en vez de tomar el recíproco de la expresión.
Respuesta: La inversa funcional se obtiene intercambiando y despejando: f⁻¹(x)=(x−3)/2.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: La inversa funcional se obtiene intercambiando y despejando: f⁻¹(x)=(x−3)/2. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Analizá esta producción: «Lautaro resolvió “Si f(x)=2x+1 y g(x)=x², (f∘g)(3) es…” y escribió “20”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Compará la producción de Lautaro con la condición de Componer funciones en el orden correcto. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 20 se separa del valor esperado después de una única transformación de Componer funciones en el orden correcto.. La corrección usa Componer funciones en el orden correcto: 19.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de Componer funciones en el orden correcto sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Componer funciones en el orden correcto en la consigna Si f(x)=2x+1 y g(x)=x², (f∘g)(3) es… y escribí qué condición conservás.
f(x)=x² restringida a x≥0. f⁻¹(49)=
Usá la rama x≥0: buscá la entrada no negativa cuyo cuadrado produce 49.
Respuesta: 7
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 7.
Si f es invertible, f⁻¹(f(x)) vale…
Seguí una entrada por f y luego por la operación que deshace f; observá qué valor debe recuperarse.
Respuesta: x, para todo x del dominio de f
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: x en el dominio de f.
¿Qué dominio tiene (f∘g) si f(u)=1/u y g(x)=x−3?
En la situación: Anotá primero qué valores anulan denominadores o vuelven inválida la expresión. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta: Todos los reales excepto x=3, porque g(x) no puede valer cero.
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: Todos los reales excepto x=3, porque g(x) no puede valer cero. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
f(x)=3x−6. f⁻¹(0)=
Para hallar f⁻¹(0), buscá directamente qué entrada hace que f(x)=0.
Respuesta: 2
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 2.
Una tabla representa función invertible si…
Revisá si dos entradas distintas de la tabla comparten una misma salida; eso impediría invertir la relación como función.
Respuesta: No repite valores de salida
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: No repite valores de salida.
Reconstrucción: (f∘g)(1) para f=x−2 y g=4x:
En la situación: Calculá primero la función interior y verificá que su salida entre en el dominio exterior. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta: 2
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 2.
La inversa de f(x)=x/5+1 es…
Escribí y=x/5+1, intercambiá x e y y despejá la nueva salida.
Respuesta: 5(x−1)
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: 5(x−1).
Generalizá el dominio de f∘g.
Partí del dominio de g y conservá sólo las entradas cuyas salidas también pertenecen al dominio de f.
Respuesta: Son las entradas x del dominio de g para las cuales g(x) pertenece al dominio de f.
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. (f∘g)(x)=f(g(x)); existe inversa funcional sobre un dominio cuando entradas distintas no comparten salida. Una resolución posible es: Son las entradas x del dominio de g para las cuales g(x) pertenece al dominio de f. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.