tabla
Representá Funciones seno, coseno y tangente con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Interpretar parámetros de funciones periódicas. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las funciones trigonométricas modelizan variaciones periódicas; sus parámetros controlan amplitud, período y fase.
Ya podés Interpretar parámetros de funciones periódicas y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Interpretar parámetros de funciones periódicas. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Razones trigonométricas.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para extender las razones a cualquier ángulo del giro. Respuesta: ángulo orientado.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-geo-01.
- Funciones y transformaciones.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
- Medida angular.
Comprobación de treinta segundos. En y=5x, calculá y para x=7. Respuesta. 35.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-02.
La idea
sus parámetros controlan amplitud, período y fase. Seno y coseno oscilan entre −1 y 1 y repiten sus valores cada 2π. Multiplicar la salida cambia la amplitud: multiplicar la entrada cambia el período. La tangente también es periódica: pero no está acotada y presenta asíntotas donde el coseno vale cero. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Interpretar parámetros de funciones periódicas. El segundo es Coordinar fórmula, gráfico y contexto. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Circunferencia trigonométrica y razones hasta un giro: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Comparar seno, coseno y tangente con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de El recorrido de y=cos x es…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las funciones trigonométricas modelizan variaciones periódicas: sus parámetros controlan amplitud, período y fase.
Ejemplo resuelto
Para y=3sen(2x), A=3 y B=2. La amplitud es |3|=3. El período es 2π/2=π. Por eso basta construir un ciclo de longitud π y repetirlo. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió π/2 al resolver Período de y=cos(x/2).
Por qué tienta: La elección multiplica el período base por el coeficiente interno 1/2 en vez de dividir por él.
Cómo repararlo: Usá T=2π/|b| e identificá b dentro del argumento.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las funciones trigonométricas modelizan variaciones periódicas: sus parámetros controlan amplitud, período y fase.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Interpretar parámetros de funciones periódicas con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones seno, coseno y tangente.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones seno, coseno y tangente trabaja este objeto matemático. Las funciones trigonométricas modelizan variaciones periódicas. sus parámetros controlan amplitud, período y fase.
Qué hace falta antes
- Razones trigonométricas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para extender las razones a cualquier ángulo del giro. Respuesta. ángulo orientado.
- Funciones y transformaciones. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
- Medida angular. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En y=5x, calculá y para x=7. Respuesta. 35.
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones seno, coseno y tangente con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Interpretar parámetros de funciones periódicas. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de El recorrido de y=cos x es…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las funciones trigonométricas modelizan variaciones periódicas. sus parámetros… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder π/2. Se reconoce porque Para cos(bx), el período es 2π/|b|. con b=1/2 resulta 4π. Reparación. Usá T=2π/|b| e identificá b dentro del argumento.
Comprobación rápida
sen(0) es… Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
0 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
sen(0) es…
Necesito una pista
Para trabajar Reconocer valores y dominio trigonométricos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0
La respuesta correcta es 0. La tarea recupera un prerrequisito necesario. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. 0.
Ejercicio 2
Consigna
El recorrido de y=cos x es…
Necesito una pista
Ubicá primero El recorrido de y=cos x es…. Para trabajar Reconocer valores y dominio trigonométricos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [−1,1]
La respuesta correcta es [−1,1]. La tarea recupera un prerrequisito necesario. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. [−1,1].
Ejercicio 3
Consigna
¿Por qué sen(x+2π)=sen x?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Por qué sen(x+2π)=sen x. Para trabajar Reconocer valores y dominio trigonométricos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Porque 2π representa una vuelta completa y conserva la posición sobre la circunferencia unitaria.
Una respuesta suficiente debe sostener Reconocer valores y dominio trigonométricos con datos y una propiedad explícita. La tarea recupera un prerrequisito necesario. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. Porque 2π representa una vuelta completa y conserva la posición sobre la circunferencia unitaria. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 4
Consigna
Si A aumenta de 1 a 4 en A·sen x, ¿qué cambia?
Necesito una pista
Ubicá primero Si A aumenta de 1 a 4 en A·sen x, ¿qué cambia. Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La amplitud pasa de 1 a 4
La respuesta correcta es La amplitud pasa de 1 a 4. La predicción se contrasta con una representación dinámica. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. La amplitud pasa de 1 a 4.
Ejercicio 5
Consigna
Amplitud de y=−5cos x:
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Amplitud de y=−5cos x. Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
La respuesta correcta es 5. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. 5.
Ejercicio 6
Consigna
Período de y=sen(3x):
Necesito una pista
Representá el dato central de Período de y=sen(3x). Para trabajar Reconocer valores y dominio trigonométricos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2π/3
La respuesta correcta es 2π/3. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. 2π/3.
Ejercicio 7
Consigna
cos(π) es…
Necesito una pista
Marcá qué cambia en cos(π) es…. Para trabajar Reconocer valores y dominio trigonométricos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -1
La respuesta correcta es -1. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. -1.
Ejercicio 8
Consigna
Explicá el efecto del signo negativo en y=−sen x.
Necesito una pista
Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Refleja el gráfico respecto del eje x sin cambiar amplitud ni período.
Una respuesta suficiente debe sostener Leer parámetros de una función periódica con datos y una propiedad explícita. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. Refleja el gráfico respecto del eje x sin cambiar amplitud ni período. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál función tiene período π?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál función tiene período π. Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: tan x
La respuesta correcta es tan x. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. tan x.
Ejercicio 10
Consigna
tan(π/4) es…
Necesito una pista
En π/4, los catetos de referencia son iguales; compará seno y coseno para obtener la tangente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: 1.
Ejercicio 11
Consigna
y=2+sen x tiene línea media…
Necesito una pista
Representá el dato central de y=2+sen x tiene línea media…. Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=2
La respuesta correcta es y=2. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. y=2.
Ejercicio 12
Consigna
Compará sen x y cos x mediante un corrimiento.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en sen x y cos x mediante un corrimiento. Para trabajar Leer parámetros de una función periódica, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: cos x=sen(x+π/2); tienen igual amplitud y período con desfase de π/2.
Una respuesta suficiente debe sostener Leer parámetros de una función periódica con datos y una propiedad explícita. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. cos x=sen(x+π/2). tienen igual amplitud y período con desfase de π/2. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 13
Consigna
La altura de una rueda se modela h=5+4sen t. Altura máxima:
Necesito una pista
Representá el dato central de La altura de una rueda se modela h=5+4sen t. Altura máxima. Para trabajar Validar un modelo periódico, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 9
La respuesta correcta es 9. La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período. la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es. 9.
Ejercicio 14
Consigna
Una marea tiene máximo 3 m y mínimo 1 m. Hallá línea media y amplitud.
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La línea media es 2 m y la amplitud es 1 m.
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: La línea media es 2 m y la amplitud es 1 m. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 15
Consigna
Para modelizar una oscilación que repite cada 12 h, B en sen(Bt) debe ser…
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: π/6
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: π/6.
Ejercicio 16
Consigna
Julia dice que y=sen(2x) tiene amplitud 2. Corregí el parámetro confundido.
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Localizá el primer paso inválido antes de repararlo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El 2 multiplica a x y modifica el período a π; la amplitud sigue siendo 1.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: El 2 multiplica a x y modifica el período a π; la amplitud sigue siendo 1. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 17
Consigna
Iván dibuja tan x como una onda entre −1 y 1. Repará el error.
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Localizá el primer paso inválido antes de repararlo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La tangente no está acotada y tiene asíntotas en π/2+kπ; su recorrido son todos los reales.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: La tangente no está acotada y tiene asíntotas en π/2+kπ; su recorrido son todos los reales. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Camila resolvió “sen(0) es…” y escribió “1”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Camila con la condición de Reconocer valores y dominio trigonométricos. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 1 se separa del valor esperado después de una única transformación de Reconocer valores y dominio trigonométricos.. La corrección usa Reconocer valores y dominio trigonométricos: 0.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de Reconocer valores y dominio trigonométricos sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Reconocer valores y dominio trigonométricos en la consigna sen(0) es… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Período de y=cos(x/2):
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4π
El factor B=1/2 estira horizontalmente el ciclo: T=2π/(1/2)=4π. Una resolución posible es: 4π.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál tiene amplitud 3 y línea media −1?
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=−1+3sen x
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: y=−1+3sen x.
Ejercicio 21
Consigna
¿Qué condición debe cumplir un modelo periódico para que tenga sentido extrapolar ciclos?
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Debe ser razonable asumir que el mecanismo y sus parámetros permanecen estables fuera de los datos observados.
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: Debe ser razonable asumir que el mecanismo y sus parámetros permanecen estables fuera de los datos observados. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 22
Consigna
Valor de 2cos(0)−1:
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: 1.
Ejercicio 23
Consigna
Dominio de tan x excluye…
Necesito una pista
Recordá tan x=sen x/cos x: excluí los ángulos en los que el denominador vale cero.
Respuesta y fundamento
Respuesta: π/2+kπ
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: π/2+kπ.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: amplitud de 7sen(0,5x):
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: 7.
Ejercicio 25
Consigna
Si el período se reduce a la mitad, el factor B…
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se duplica
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: Se duplica.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá el modelo sinusoidal con amplitud A, línea media D, período T y fase φ.
Necesito una pista
En la situación: Separá el factor de la salida del factor de x: controlan amplitud y período, respectivamente. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Puede escribirse D+A·sen((2π/T)(x−φ)); formas equivalentes con coseno son válidas.
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. En A·sen(Bx), |A| es amplitud y 2π/|B| es período; la tangente no tiene amplitud y posee asíntotas. Una resolución posible es: Puede escribirse D+A·sen((2π/T)(x−φ)); formas equivalentes con coseno son válidas. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.