tabla
Representá Funciones por partes, parte entera y valor absoluto con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Leer y construir definiciones por tramos. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una función por partes usa reglas distintas en regiones explícitas del dominio y exige controlar qué regla corresponde en cada punto.
Ya podés Leer y construir definiciones por tramos y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Leer y construir definiciones por tramos. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Funciones lineales y cuadráticas.
Comprobación de treinta segundos. Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta. Respuesta: x>−3.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-alg-04.
- Intervalos.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué distancia hay entre −2 y 5. Respuesta. 7.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-05-num-02.
- Plano cartesiano.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
Una función por partes no ofrece reglas para elegir libremente: cada condición determina cuál se aplica. En el gráfico, un extremo cerrado incluye el punto y uno abierto lo excluye. El valor absoluto y la parte entera son ejemplos de reglas que pueden expresarse o analizarse por tramos. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Leer y construir definiciones por tramos. El segundo es Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Inecuaciones lineales en una y dos variables: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Modelizar reglas escalonadas y analizar extremos con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de En la función anterior, ¿qué regla se usa para x=0. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función por partes usa reglas distintas en regiones explícitas: del dominio y exige controlar qué regla corresponde….
Ejemplo resuelto
Sea f(x)=x+2 si x<1 y f(x)=x² si x≥1. Para x=−3 se usa el primer tramo porque −3<1: f(−3)=−1. Para x=1 se usa el segundo tramo porque incluye la igualdad: f(1)=1. El control es verificar que cada entrada se evaluó en una única regla. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió No, ambas reglas dan 1 al resolver ¿Hay salto en x=1 para la función anterior.
Por qué tienta: La elección evalúa ambas ramas como si la condición x≤1 también controlara el comportamiento a la derecha.
Cómo repararlo: Separá valor en el punto, límite izquierdo y límite derecho.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una función por partes usa reglas distintas en regiones explícitas del dominio y exige controlar qué regla: corresponde en cada punto.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Leer y construir definiciones por tramos con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones por partes, parte entera y valor absoluto.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones por partes, parte entera y valor absoluto trabaja este objeto matemático. Una función por partes usa reglas distintas en regiones explícitas del dominio y exige controlar qué regla corresponde en cada punto.
Qué hace falta antes
- Funciones lineales y cuadráticas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta. Respuesta. x>−3.
- Intervalos. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué distancia hay entre −2 y 5. Respuesta. 7.
- Plano cartesiano. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones por partes, parte entera y valor absoluto con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Leer y construir definiciones por tramos. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de En la función anterior, ¿qué regla se usa para x=0. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función por partes… Usala para reconocer qué cambia, qué. permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder No, ambas reglas dan 1. Se reconoce porque La regla derecha 2x+1 se acerca a 3 cuando x se aproxima a 1 por valores mayores. aunque no se use para h(1). Reparación. Separá valor en el punto, límite izquierdo y límite derecho.
Comprobación rápida
Si f(x)=2x para x<0 y x+1 para x≥0, calculá f(−3). Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
-6 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Si f(x)=2x para x<0 y x+1 para x≥0, calculá f(−3).
Necesito una pista
Para trabajar Seleccionar el tramo válido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -6
La respuesta correcta es -6. La tarea recupera un prerrequisito necesario. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. -6.
Ejercicio 2
Consigna
En la función anterior, ¿qué regla se usa para x=0?
Necesito una pista
Ubicá primero En la función anterior, ¿qué regla se usa para x=0. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x+1
La respuesta correcta es x+1. La tarea recupera un prerrequisito necesario. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. x+1.
Ejercicio 3
Consigna
¿Puede una función asignar dos valores distintos a la misma entrada?
Necesito una pista
En la situación: Apoyá la explicación en condición del tramo y tratamiento de la frontera y añadí una comprobación o contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No; para ser función cada entrada del dominio debe tener una única imagen.
La tarea recupera un prerrequisito necesario. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: No; para ser función cada entrada del dominio debe tener una única imagen. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 4
Consigna
Si se cambia el punto de corte de 0 a 2, ¿qué debe predecirse primero?
Necesito una pista
Ubicá primero Si se cambia el punto de corte de 0 a 2, ¿qué…. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Qué entradas cambian de regla
La respuesta correcta es Qué entradas cambian de regla. La predicción se contrasta con una representación dinámica. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. Qué entradas cambian de regla.
Ejercicio 5
Consigna
Para f(x)=|x−2|, calculá f(−1).
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Para f(x)=|x−2|, calculá f(−1). Para trabajar Seleccionar el tramo válido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3
La respuesta correcta es 3. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. 3.
Ejercicio 6
Consigna
|x| por partes es…
Necesito una pista
Representá el dato central de |x| por partes es…. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −x si x<0; x si x≥0
La respuesta correcta es −x si x<0. x si x≥0. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. −x si x<0. x si x≥0.
Ejercicio 7
Consigna
Si g(x)=3 para 0≤x<5 y 7 para x≥5, g(5) es…
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Si g(x)=3 para 0≤x<5 y 7 para x≥5, g(5) es…. Para trabajar Seleccionar el tramo válido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7
La respuesta correcta es 7. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. 7.
Ejercicio 8
Consigna
Explicá cómo se representa un extremo incluido en un gráfico.
Necesito una pista
En un gráfico por tramos, distinguí círculo cerrado para extremo incluido y círculo abierto para extremo excluido.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con un punto cerrado en la coordenada correspondiente.
Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Con un punto cerrado en la coordenada correspondiente. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 9
Consigna
La parte entera ⌊2,8⌋ vale…
Necesito una pista
Ubicá primero La parte entera ⌊2,8⌋ vale…. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2
La respuesta correcta es 2. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. 2.
Ejercicio 10
Consigna
⌊−1,2⌋ es…
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ⌊−1,2⌋ es…. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -2
La respuesta correcta es -2. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. -2.
Ejercicio 11
Consigna
¿Qué función modela un costo fijo de 100 más 20 por unidad?
Necesito una pista
Traducí costo fijo y costo por unidad a b y m en una expresión de la forma C(x)=mx+b.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 100+20x
Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 100+20x.
Ejercicio 12
Consigna
Compará |x| y ⌊x⌋: ¿qué rasgo gráfico distingue a la segunda?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en |x| y ⌊x⌋. ¿qué rasgo gráfico distingue a la segunda. Para trabajar Representar valor absoluto y parte entera, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: ⌊x⌋ es escalonada y presenta saltos en los enteros; |x| es continua y forma una V.
Una respuesta suficiente debe sostener Representar valor absoluto y parte entera con datos y una propiedad explícita. Cada entrada usa una sola regla según su condición. extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es. ⌊x⌋ es escalonada y presenta saltos en los enteros. |x| es continua y forma una V. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 13
Consigna
Un estacionamiento cobra $500 hasta 1 h y $300 por cada hora adicional iniciada. Para 2,2 h, el costo es…
Necesito una pista
Determiná primero en qué tramo cae 2,2 h y aplicá la regla de cobro indicada para toda hora adicional iniciada.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1100
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 1100.
Ejercicio 14
Consigna
Construí una regla por partes para envío gratis desde $30000 y costo $2500 por debajo.
Necesito una pista
Escribí una regla para compras menores que 30.000 y otra desde 30.000; cuidá qué tramo incluye la frontera.
Respuesta y fundamento
Respuesta: C(x)=2500 si x<30000 y C(x)=0 si x≥30000.
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: C(x)=2500 si x<30000 y C(x)=0 si x≥30000. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 15
Consigna
Dos planes coinciden en $8000 a los 100 minutos. Explicá qué más debe compararse para elegir.
Necesito una pista
En la situación: Apoyá la explicación en condición del tramo y tratamiento de la frontera y añadí una comprobación o contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las pendientes, cargos fijos, intervalos y uso esperado; coincidir en un punto no hace equivalentes los planes.
La solución integra formulación, procedimiento, unidades e interpretación. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Las pendientes, cargos fijos, intervalos y uso esperado; coincidir en un punto no hace equivalentes los planes. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 16
Consigna
Ana evalúa f(2) con el tramo x<2. Localizá el error.
Necesito una pista
En la situación: Marcá a qué intervalo pertenece la entrada y si la frontera está incluida. Localizá el primer paso inválido antes de repararlo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La condición estricta excluye 2; debe usarse el tramo que incluya x=2.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: La condición estricta excluye 2; debe usarse el tramo que incluya x=2. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 17
Consigna
Pedro afirma que ⌊−0,3⌋=0 porque elimina decimales. Reparalo.
Necesito una pista
En la situación: Marcá a qué intervalo pertenece la entrada y si la frontera está incluida. Localizá el primer paso inválido antes de repararlo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La parte entera es el mayor entero menor o igual: ⌊−0,3⌋=−1.
La reparación localiza el error y restablece la condición matemática. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: La parte entera es el mayor entero menor o igual: ⌊−0,3⌋=−1. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Bruno resolvió “Si f(x)=2x para x<0 y x+1 para x≥0, calculá f(−3).” y escribió “6”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Bruno con la condición de Seleccionar el tramo válido. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 6 se separa del valor esperado después de una única transformación de Seleccionar el tramo válido.. La corrección usa Seleccionar el tramo válido: -6.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de Seleccionar el tramo válido sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Seleccionar el tramo válido en la consigna Si f(x)=2x para x<0 y x+1 para x≥0, calculá… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Si h(x)=x² para x≤1 y 2x+1 para x>1, h(1) es…
Necesito una pista
En la situación: Escribí la relación entre condición del tramo y tratamiento de la frontera antes de sustituir los datos. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 1.
Ejercicio 20
Consigna
¿Hay salto en x=1 para la función anterior?
Necesito una pista
En la situación: Contrastá cada opción con condición del tramo y tratamiento de la frontera y descartá la primera condición que falle. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí, porque el valor izquierdo es 1 y el derecho se acerca a 3
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Sí, porque el valor izquierdo es 1 y el derecho se acerca a 3.
Ejercicio 21
Consigna
Escribí |x−3| por partes.
Necesito una pista
En la situación: Apoyá la explicación en condición del tramo y tratamiento de la frontera y añadí una comprobación o contraejemplo. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3−x si x<3 y x−3 si x≥3.
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 3−x si x<3 y x−3 si x≥3. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.
Ejercicio 22
Consigna
⌊4,999⌋ es…
Necesito una pista
En la situación: Marcá a qué intervalo pertenece la entrada y si la frontera está incluida. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 4.
Ejercicio 23
Consigna
Un punto abierto en (2,5) indica…
Necesito una pista
En la situación: Marcá a qué intervalo pertenece la entrada y si la frontera está incluida. Comprobá por otra vía: usa datos nuevos respecto de la práctica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Que ese tramo no incluye x=2 con valor 5
La respuesta aporta evidencia independiente de dominio. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Que ese tramo no incluye x=2 con valor 5.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: si f(x)=−x para x<0 y x² para x≥0, f(−4) es…
Necesito una pista
En la situación: Escribí la relación entre condición del tramo y tratamiento de la frontera antes de sustituir los datos. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: 4.
Ejercicio 25
Consigna
Para evitar ambigüedad en la frontera, las condiciones deben…
Necesito una pista
En la situación: Marcá a qué intervalo pertenece la entrada y si la frontera está incluida. Explicá qué estructura conserva este caso nuevo y qué dato cambió.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cubrir el dominio sin superponer valores contradictorios
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Cubrir el dominio sin superponer valores contradictorios.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá cómo verificar si una definición por tramos representa una función.
Necesito una pista
Verificá que cada entrada del dominio pertenezca a un único tramo y produzca una sola salida; revisá especialmente las fronteras.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Comprobar que cada entrada del dominio pertenece a una regla y recibe una sola salida; las fronteras deben estar asignadas sin contradicción.
La reconstrucción prepara un reintento y la última tarea amplía la estructura. Cada entrada usa una sola regla según su condición; extremos abiertos y cerrados deciden el valor en las fronteras. Una resolución posible es: Comprobar que cada entrada del dominio pertenece a una regla y recibe una sola salida; las fronteras deben estar asignadas sin contradicción. Se aceptan estrategias o formulaciones equivalentes bien justificadas.