esquema de partes
Representá Modelos financieros: porcentajes encadenados e interés con esquema de partes. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con traducir condiciones. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas, comparar en una misma escala y explicitar costos y supuestos.
Ya podés traducir condiciones y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás organizar una decisión que mezcla datos, representaciones, supuestos y controles. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar problemas, estrategias y criterios de validación. La situación obliga a traducir condiciones. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- porcentajes.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Respuesta. 28.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-alg-02.
- sucesiones y exponenciales.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores. Respuesta: término general.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-alg-01.
La idea
Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas, comparar en una misma escala y explicitar costos y supuestos. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. El primer objetivo es traducir condiciones. El segundo es comparar opciones. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Volvé a la pregunta y verificá la respuesta con una segunda estrategia independiente. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Proporcionalidad directa e inversa: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder argumentar decisiones con un caso que no copie el ejemplo. Volvé a traducir condiciones. Decí qué dato lo habilita, qué propiedad usás y qué control podría contradecir tu conclusión.
Representaciones
tabla
Usá ahora tabla para la misma relación. Partí de Precio $50.000 con descuento 10%. Precio final. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas, comparar: en una misma escala y explicitar costos y….
Ejemplo resuelto
Traducir 3% mensual a factor 1,03. Para $100.000 durante 6 meses usar C=100000·1,03⁶. Calcular ≈$119.405 y comparar contra capital e intereses, aclarando redondeo. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 20 al resolver Después de un descuento de 20%, ¿qué aumento porcentual devuelve al precio original.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con suponer que bajar y subir el mismo porcentaje se cancela: aunque el aumento actúa sobre una base reducida.
Cómo repararlo: Tomá precio inicial 100: después del descuento queda 80 y el aumento debe cubrir 20 sobre esa base.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas, comparar en una misma escala y explicitar costos: y supuestos.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás traducir condiciones con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Modelos financieros: porcentajes encadenados e interés.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Modelos financieros. porcentajes encadenados e interés trabaja este objeto matemático. Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas, comparar en una misma escala y explicitar costos y supuestos.
Qué hace falta antes
- porcentajes. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Si y=4x, calculá y cuando x=7. Respuesta. 28.
- sucesiones y exponenciales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores. Respuesta. término general.
Dos representaciones
esquema de partes
Representá Modelos financieros. porcentajes encadenados e interés con esquema de partes. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con traducir condiciones. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
tabla
Usá ahora tabla para la misma relación. Partí de Precio $50.000 con descuento 10%. Precio final. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las decisiones financieras requieren distinguir variaciones aditivas y multiplicativas,… Usala. para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 20. Se reconoce porque Ingresa 20% como aumento compensatorio. Reparación. Tomá precio inicial 100. después del descuento queda 80 y el aumento debe cubrir 20 sobre esa base.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para comparar aumentos o descuentos aplicados sucesivamente. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
factor porcentual Control. Volvé a la pregunta y verificá la respuesta con una segunda estrategia independiente.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «factor porcentual» y distinguílo de «interés compuesto».
Necesito una pista
Partí de un precio 100 y expresá una variación porcentual como factor; después repetí el factor sobre el saldo actualizado para distinguir capitalización.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un aumento de 5% usa factor 1,05. Interés compuesto significa repetir ese factor sobre el saldo actualizado: Cₙ=C₀·1,05ⁿ.
Un aumento de 5% usa factor 1,05. Interés compuesto significa repetir ese factor sobre el saldo actualizado: Cₙ=C₀·1,05ⁿ.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para comparar aumentos o descuentos aplicados sucesivamente?
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: factor porcentual
factor porcentual. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Subir 20% y bajar 20% devuelve al valor inicial».
Necesito una pista
Partí de 100 y aplicá sucesivamente los factores 1,20 y 0,80; no sumes las tasas con signo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los porcentajes sucesivos actúan sobre bases distintas: 1,2·0,8=0,96, una baja neta de 4%.
Los porcentajes sucesivos actúan sobre bases distintas: 1,2·0,8=0,96, una baja neta de 4%. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Porcentajes encadenados» y «Interés simple». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Interés compuesto», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: El orden no cambia el producto, pero la base sí cambia en cada paso.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son 1,20·0,80=0,96; C(1+in); C(1+i)ⁿ. Se conservan estas relaciones: El orden no cambia el producto, pero la base sí cambia en cada paso. El interés por período se calcula siempre sobre el capital inicial. Cada período capitaliza y conserva un factor constante entre saldos.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. El interés por período se calcula siempre sobre el capital inicial.
Ejercicio 5
Consigna
Precio $50.000 con descuento 10%. Precio final.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 45000
45000. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 6
Consigna
Aplicá dos aumentos de 10% a $20.000.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 24200
20000·1,1²=$24.200; equivale a 21%, no 20%. La conclusión se obtiene al aplicar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 7
Consigna
Factor de una baja de 7%
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,93
0,93. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 8
Consigna
Un precio de $80.000 aumenta 15% y luego baja 10%. Calculá el precio final.
Necesito una pista
Para trabajar Componer variaciones porcentuales, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 82800
La respuesta correcta es 82800. 80.000·1,15·0,90=82.800. los porcentajes actúan sobre bases distintas.
Ejercicio 9
Consigna
¿Qué tasa efectiva resulta de 2% mensual durante 12 meses con capitalización?
Necesito una pista
El capital de cada mes incluye intereses anteriores.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1,02¹²−1
Doce factores 1,02 producen la variación efectiva; restar 1 deja sólo la tasa.
Ejercicio 10
Consigna
Compará interés simple y compuesto sobre $100.000 al 3% mensual durante 6 meses.
Necesito una pista
Escribí ambos modelos antes de usar la calculadora.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Simple: 100.000(1+6·0,03)=118.000. Compuesto: 100.000·1,03⁶≈119.405,23; el compuesto es mayor porque capitaliza intereses.
La diferencia proviene de base fija en el simple y base acumulada en el compuesto.
Ejercicio 11
Consigna
Una tasa semestral efectiva es 10%. Calculá la tasa anual efectiva equivalente.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una tasa semestral efectiva es 10%. Calculá la tasa anual efectiva equivalente. Para trabajar Comparar alternativas financieras, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 21
La respuesta correcta es 21. 1,10²−1=0,21=21%. las tasas efectivas equivalentes conservan el mismo factor acumulado.
Ejercicio 12
Consigna
Plan A: contado $240.000. Plan B: anticipo $60.000 y 6 cuotas de $35.000. Compará costo nominal y explicá una limitación.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Plan A. contado $240.000. Plan B. anticipo $60.000 y 6 cuotas de…. Para trabajar Comparar alternativas financieras, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: B suma $270.000, es decir $30.000 o 12,5% más nominal. La comparación no incorpora fechas, inflación ni costo de oportunidad.
Una respuesta suficiente debe sostener Comparar alternativas financieras con datos y una propiedad explícita. Una decisión financiera completa necesita ubicar cada flujo en el tiempo.
Ejercicio 13
Consigna
Opción A: $120.000 al contado. B: 6 cuotas de $22.000. Compará costo nominal y límite del análisis.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: B cuesta $132.000, 10% más nominal; faltan fechas, inflación y costo de oportunidad para una decisión completa.
B cuesta $132.000, 10% más nominal; faltan fechas, inflación y costo de oportunidad para una decisión completa. La conclusión se obtiene al aplicar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 14
Consigna
Una tasa mensual de 2% se mantiene 12 meses. Calculá tasa efectiva anual.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1,02¹²−1≈0,2682, es decir 26,82%.
1,02¹²−1≈0,2682, es decir 26,82%. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 15
Consigna
Un precio de $100.000 aumenta 20% y luego recibe 10% de descuento. Precio final.
Necesito una pista
Para trabajar Componer variaciones porcentuales, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 108000
La respuesta correcta es 108000. 100000·1,20·0,90=108000. el cambio neto es +8%.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Eva suma 5% mensual durante 12 meses y llama 60% a la tasa compuesta.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Escribí por separado los modelos C(1+12·0,05) y C·1,05¹²; identificá cuál corresponde a interés simple y cuál capitaliza.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La efectiva compuesta es 1,05¹²−1≈79,59%; sumar tasas corresponde al modelo simple.
La efectiva compuesta es 1,05¹²−1≈79,59%; sumar tasas corresponde al modelo simple. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Un precio baja 30% y luego sube 30% sobre el precio ya rebajado; por eso vuelve al original». Localizá y repará el error.
Necesito una pista
Probá con un precio inicial de 100 y conservá la base vigente en cada paso.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los factores son 0,70 y 1,30; su producto es 0,91. El precio termina 9% por debajo porque el aumento usa una base menor.
La composición porcentual es multiplicativa: 0,70·1,30=0,91, no 1.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Walter resolvió “¿Qué idea es central para comparar aumentos o descuentos aplicados sucesivamente?” y escribió “interés compuesto”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Walter con la condición de Componer variaciones porcentuales. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción interés compuesto conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Componer variaciones porcentuales.. La corrección usa Componer variaciones porcentuales: factor porcentual.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Componer variaciones porcentuales. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Componer variaciones porcentuales en la consigna ¿Qué idea es central para comparar aumentos o descuentos… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Después de un descuento de 20%, ¿qué aumento porcentual devuelve al precio original?
Necesito una pista
Partí de 80 y preguntá qué porcentaje de 80 agrega 20.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 25
20/80=0,25; descuento y aumento iguales no se cancelan porque cambió la base.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál capital corresponde a $50.000 al 4% mensual compuesto durante 3 meses?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál capital corresponde a $50.000 al 4% mensual compuesto durante 3 meses. Para trabajar Distinguir interés simple y compuesto, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: $50.000·1,04³
La respuesta correcta es $50.000·1,04³. El factor 1,04 se aplica tres veces al capital acumulado.
Ejercicio 21
Consigna
Una publicidad afirma ‘6 cuotas sin interés de $20.000’ y ofrece contado $108.000. Evaluá la frase.
Necesito una pista
Compará primero totales; después discutí valor temporal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las cuotas suman $120.000, $12.000 más que contado: hay un recargo nominal de 11,11% sobre $108.000, aunque para comparar financieramente faltan fechas y tasa de descuento.
‘Sin interés’ no describe el costo relativo si existe un precio contado menor.
Ejercicio 22
Consigna
Hallá la tasa trimestral efectiva equivalente a 1% mensual compuesto, en porcentaje con dos decimales.
Necesito una pista
Representá el dato central de la tasa trimestral efectiva equivalente a 1% mensual compuesto, en porcentaje con…. Para trabajar Componer variaciones porcentuales, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3.03
La respuesta correcta es 3.03. 1,01³−1=0,030301≈3,03%.
Ejercicio 23
Consigna
Explicá por qué bajar 30% y subir 30% sobre el precio vigente no recupera el original.
Necesito una pista
Multiplicá los factores en vez de sumar porcentajes con signo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los factores son 0,70 y 1,30; su producto es 0,91, de modo que se termina 9% por debajo. El segundo 30% se calcula sobre una base menor.
Los cambios encadenados se componen multiplicativamente y sólo se cancelan si los factores son recíprocos.
Ejercicio 24
Consigna
Eva sumó 5% doce veces y llamó 60% a la tasa compuesta. ¿Qué reparación conserva la capitalización?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La efectiva compuesta es 1,05¹²−1≈79,59%; sumar tasas corresponde al modelo simple.
La efectiva compuesta es 1,05¹²−1≈79,59%; sumar tasas corresponde al modelo simple. La conclusión se obtiene al aplicar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 25
Consigna
Una deuda de $60.000 crece 4% mensual por 3 meses. Hallá saldo.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 60000·1,04³=$67.491,84.
60000·1,04³=$67.491,84. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factores porcentuales y ubicación temporal de los pagos.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá el factor de dos variaciones porcentuales p y q y cuándo el efecto neto es cero.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá el factor de dos variaciones porcentuales p y q y cuándo…. Para trabajar Componer variaciones porcentuales, separá la pregunta, los datos pertinentes, las restricciones y la unidad esperada. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El factor total es (1+p)(1+q)=1+p+q+pq, escribiendo p y q en forma decimal con signo. El cambio neto es cero cuando p+q+pq=0, no simplemente cuando p+q=0.
Una respuesta suficiente debe sostener Componer variaciones porcentuales con datos y una propiedad explícita. El factor total es (1+p)(1+q)=1+p+q+pq, escribiendo p y q en forma decimal con signo. El cambio neto es cero cuando p+q+pq=0, no cuando p+q=0. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.