recta numérica
Representá Radicales y equivalencia de escrituras con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con simplificar justificando. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas; simplificar es elegir una forma útil sin cambiar el valor.
Ya podés simplificar justificando y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a simplificar justificando. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- potencias y raíces.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué operación responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 81?». Respuesta: logaritmo en base 3.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-num-02.
- números reales.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas. Respuesta: error relativo.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-num-01.
La idea
simplificar es elegir una forma útil sin cambiar el valor. Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas: simplificar es elegir una forma útil sin cambiar el valor. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es simplificar justificando. El segundo es comparar formas equivalentes. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder controlar dominio con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Simplificá √180. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas: simplificar es elegir una forma útil sin cambiar….
Ejemplo resuelto
Descomponer 72=36·2 usando un cuadrado perfecto. Aplicar √(36·2)=√36·√2. Concluir 6√2 y verificar elevando al cuadrado. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 3 al resolver Simplificá ∛432 y escribí el coeficiente de ∛2.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con extraer ∛27=3 de 432=27·16 y omitir que ∛16 todavía contiene otro factor cúbico 8.
Cómo repararlo: Buscá el mayor cubo perfecto que divide 432. 216=6³.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas: simplificar es elegir una forma útil sin cambiar el valor.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás simplificar justificando con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Radicales y equivalencia de escrituras.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Radicales y equivalencia de escrituras trabaja este objeto matemático. Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas. simplificar es elegir una forma útil sin cambiar el valor.
Qué hace falta antes
- potencias y raíces. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué operación responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 81?». Respuesta. logaritmo en base….
- números reales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas. Respuesta. error relativo.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Radicales y equivalencia de escrituras con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con simplificar justificando. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Simplificá √180. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las propiedades de radicales permiten escrituras equivalentes bajo condiciones explícitas. simplificar… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 3. Se reconoce porque Ingresa 3 como coeficiente de ∛2. Reparación. Buscá el mayor cubo perfecto que divide 432. 216=6³.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente sin radical en el denominador. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
racionalización Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «radicales semejantes» y distinguílo de «extracción de factores».
Necesito una pista
Simplificá dos radicales hasta que compartan índice y radicando; compará ese proceso con extraer un cuadrado perfecto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3√2 y 5√2 son radicales semejantes porque comparten índice y radicando, y suman 8√2. Extraer factores transforma, por ejemplo, √8 en 2√2 para obtener esa forma.
3√2 y 5√2 son radicales semejantes porque comparten índice y radicando, y suman 8√2. Extraer factores transforma, por ejemplo, √8 en 2√2 para obtener esa forma.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente sin radical en el denominador?
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con propiedades de radicales con sus restricciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: racionalización
racionalización. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «√(a+b)=√a+√b para reales no negativos».
Necesito una pista
Probá la afirmación con a=1 y b=1; un solo contraejemplo alcanza para decidir si distribuye sobre sumas.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La raíz distribuye sobre productos no negativos, no sobre sumas en general.
La raíz distribuye sobre productos no negativos, no sobre sumas en general. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Extraer factor» y «Racionalizar». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Restricción», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: El valor se conserva al separar un cuadrado perfecto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son √72=6√2; 4/√5=4√5/5; √(x−2): x≥2. Se conservan estas relaciones: El valor se conserva al separar un cuadrado perfecto. Multiplicar por √5/√5 conserva el cociente. La equivalencia sólo se usa dentro del dominio real.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Multiplicar por √5/√5 conserva el cociente.
Ejercicio 5
Consigna
Simplificá √180.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante propiedades de radicales con sus restricciones sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √(36·5)=6√5.
√(36·5)=6√5. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 6
Consigna
Calculá 3√2+5√2−√2.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con propiedades de radicales con sus restricciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7√2, porque son radicales semejantes.
7√2, porque son radicales semejantes. La conclusión se obtiene al aplicar propiedades de radicales con sus restricciones y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 7
Consigna
Racionalizá 4/√5.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá propiedades de radicales con sus restricciones; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4√5/5, multiplicando numerador y denominador por √5.
4√5/5, multiplicando numerador y denominador por √5. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 8
Consigna
Simplificá √288 y escribí sólo el coeficiente de √2.
Necesito una pista
Para trabajar Simplificar radicales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 12
La respuesta correcta es 12. √288=√144·√2=12√2. el coeficiente pedido es 12.
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál suma está simplificada correctamente?
Necesito una pista
Sólo se suman coeficientes cuando la parte radical coincide.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3√2+5√2=8√2
Los radicales semejantes √2 permiten 3+5; las otras opciones mezclan radicandos distintos.
Ejercicio 10
Consigna
Racionalizá 5/√3 y explicá por qué la nueva fracción es equivalente.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Racionalizá 5/√3 y explicá por qué la nueva fracción es equivalente. Para trabajar Racionalizar respetando dominio, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5/√3=5√3/3, porque se multiplica numerador y denominador por √3, es decir por √3/√3=1.
Una respuesta suficiente debe sostener Racionalizar respetando dominio con datos y una propiedad explícita. √3·√3=3 y multiplicar por una forma de 1 conserva el valor.
Ejercicio 11
Consigna
¿Para qué valores reales está definida √(x−4)?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Para qué valores reales está definida √(x−4). Para trabajar Racionalizar respetando dominio, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x≥4
La respuesta correcta es x≥4. x−4≥0 implica x≥4. el extremo x=4 produce raíz cero válida.
Ejercicio 12
Consigna
Compará 2√12 y 4√3 sin aproximar.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en 2√12 y 4√3 sin aproximar. Para trabajar Operar radicales semejantes, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son iguales, porque √12=√(4·3)=2√3 y entonces 2√12=4√3.
Una respuesta suficiente debe sostener Operar radicales semejantes con datos y una propiedad explícita. La simplificación exhibe la misma forma exacta 4√3.
Ejercicio 13
Consigna
Un cuadrado tiene área 98 cm². Expresá el lado exacto y aproximado.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante propiedades de radicales con sus restricciones sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Lado √98=7√2 cm≈9,90 cm.
Lado √98=7√2 cm≈9,90 cm. La conclusión se obtiene al aplicar propiedades de radicales con sus restricciones y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 14
Consigna
Compará 3√5 y 2√11 sin aproximar ambos en calculadora.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con propiedades de radicales con sus restricciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son positivos; al cuadrar, 45>44, por eso 3√5>2√11.
Son positivos; al cuadrar, 45>44, por eso 3√5>2√11. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 15
Consigna
Calculá (√45+√20)/√5.
Necesito una pista
Simplificá ambos radicales como múltiplos de √5.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
√45=3√5 y √20=2√5; el numerador es 5√5 y el cociente vale 5.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Paz suma √3+√12 como √15.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Simplificá √12 extrayendo su mayor factor cuadrado; después combiná únicamente partes radicales iguales.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √12=2√3; la suma es 3√3, no puede sumarse dentro de una raíz.
√12=2√3; la suma es 3√3, no puede sumarse dentro de una raíz. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Leo simplifica √(x²) como x para todo real.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Probá la afirmación con un valor positivo y otro negativo de x; recordá que la raíz cuadrada principal nunca es negativa.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En R, √(x²)=|x|; si x es negativo la raíz principal es −x.
En R, √(x²)=|x|; si x es negativo la raíz principal es −x. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Malena resolvió “¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente sin radical en el denominador?” y escribió “radicales semejantes”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Malena con la condición de Racionalizar respetando dominio. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción radicales semejantes conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Racionalizar respetando dominio.. La corrección usa Racionalizar respetando dominio: racionalización.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Racionalizar respetando dominio. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Racionalizar respetando dominio en la consigna ¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Simplificá ∛432 y escribí el coeficiente de ∛2.
Necesito una pista
Para trabajar Simplificar radicales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
La respuesta correcta es 6. ∛432=∛216·∛2=6∛2.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál cociente obliga a declarar b>0 antes de usar √a/√b=√(a/b) en R?
Necesito una pista
La propiedad de cociente divide por √b.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √18/√b
El denominador √b debe existir y no ser cero; ambas condiciones se integran como b>0.
Ejercicio 21
Consigna
¿Cuál desarrollo simplifica correctamente (√5+√20)/√5?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál desarrollo simplifica correctamente (√5+√20)/√5. Para trabajar Simplificar radicales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √20=2√5; el numerador es 3√5 y el cociente vale 3
La respuesta correcta es √20=2√5. el numerador es 3√5 y el cociente vale 3. √20=2√5, por lo que (√5+2√5)/√5=3, con √5 distinto de cero.
Ejercicio 22
Consigna
¿Cuál es una forma equivalente de 3/(2√7)?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál es una forma equivalente de 3/(2√7). Para trabajar Racionalizar respetando dominio, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3√7/14
La respuesta correcta es 3√7/14. El denominador queda 2·7=14. el numerador, 3√7.
Ejercicio 23
Consigna
Decidí si √(x²)=x para todo real y repará la afirmación.
Necesito una pista
Probá un valor negativo y recordá que la raíz cuadrada principal no es negativa.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No; √(x²)=|x|. Por ejemplo, si x=−3, la raíz principal es 3 y no −3. Por tanto, √(x²)=x exactamente cuando x≥0.
No; √(x²)=|x|. Por ejemplo, si x=−3, la raíz principal es 3 y no −3. Por tanto, √(x²)=x exactamente cuando x≥0.
Ejercicio 24
Consigna
Paz escribió √3+√12=√15. ¿Qué reconstrucción conserva la equivalencia?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √12=2√3; la suma es 3√3, no puede sumarse dentro de una raíz.
√12=2√3; la suma es 3√3, no puede sumarse dentro de una raíz. La conclusión se obtiene al aplicar propiedades de radicales con sus restricciones y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 25
Consigna
Simplificá √48+√75.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con propiedades de radicales con sus restricciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4√3+5√3=9√3.
4√3+5√3=9√3. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar propiedades de radicales con sus restricciones.
Ejercicio 26
Consigna
Formulá las condiciones de √(ab)=√a·√b en R y mostrales un límite.
Necesito una pista
Representá el dato central de Formulá las condiciones de √(ab)=√a·√b en R y mostrales un límite. Para trabajar Racionalizar respetando dominio, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La identidad vale para a≥0 y b≥0. Si ambos son negativos, √(ab) puede existir pero √a y √b no están definidas en R; por ejemplo a=b=−1.
Una respuesta suficiente debe sostener Racionalizar respetando dominio con datos y una propiedad explícita. La identidad vale para a≥0 y b≥0. Si ambos son negativos, √(ab) puede existir pero √a y √b no están definidas en R. por ejemplo a=b=−1. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.