recta numérica
Representá Números reales, inconmensurabilidad y número áureo con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con clasificar. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables; construcciones geométricas permiten producirlas exactamente.
Ya podés clasificar y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a clasificar. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- racionales e irracionales.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas. Respuesta: error relativo.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-num-01.
- semejanza y Pitágoras.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son semejantes por AA. Respuesta. Dos pares de ángulos correspondientes iguales.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-geo-01.
La idea
construcciones geométricas permiten producirlas exactamente. Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables: construcciones geométricas permiten producirlas exactamente. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es clasificar. El segundo es construir segmentos. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Irracionales, aproximación y error: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder argumentar necesidad de R con un caso que no copie el ejemplo. Volvé a argumentar necesidad de R. Decí qué dato lo habilita, qué propiedad usás y qué control podría contradecir tu conclusión.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Cuál pertenece a R\Q. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables: construcciones geométricas permiten producirlas exactamente.
Ejemplo resuelto
Partir de un segmento unidad y construir √5 mediante un triángulo rectángulo. Formar (1+√5)/2 con suma y división geométricas. Verificar φ²=φ+1, relación característica exacta. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió La diagonal parece mayor que el lado en el dibujo al resolver ¿Cuál afirmación es deductiva y no depende de una: medición.
Por qué tienta: Toma una observación dependiente del dibujo como demostración exacta de la longitud diagonal.
Cómo repararlo: Buscá una relación que se mantenga aunque cambien escala o precisión del dibujo: aplicá Pitágoras al cuadrado unitario.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables: construcciones geométricas permiten producirlas exactamente.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás clasificar con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Números reales, inconmensurabilidad y número áureo.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Números reales, inconmensurabilidad y número áureo trabaja este objeto matemático. Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables. construcciones geométricas permiten producirlas exactamente.
Qué hace falta antes
- racionales e irracionales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas. Respuesta. error relativo.
- semejanza y Pitágoras. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son semejantes por AA. Respuesta. Dos pares de ángulos correspondientes iguales.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Números reales, inconmensurabilidad y número áureo con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con clasificar. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Cuál pertenece a R\Q. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Los reales completan la recta e incluyen longitudes inconmensurables.… Usala. para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder La diagonal parece mayor que el lado en el dibujo. Se reconoce porque Elige una comparación visual expresada como apariencia. Reparación. Buscá una relación que se mantenga aunque cambien escala o precisión del dibujo. aplicá Pitágoras al cuadrado unitario.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para representar una longitud que ninguna fracción mide exactamente. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
inconmensurabilidad Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «inconmensurabilidad» y distinguílo de «recta real».
Necesito una pista
Usá la diagonal de un cuadrado de lado 1: decidí si la razón diagonal/lado es racional y explicá qué conjunto permite ubicar esa longitud.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Dos longitudes son inconmensurables si no comparten una unidad común racional; por ejemplo, lado 1 y diagonal √2. La recta real es el conjunto que ubica tanto racionales como irracionales.
Dos longitudes son inconmensurables si no comparten una unidad común racional; por ejemplo, lado 1 y diagonal √2. La recta real es el conjunto que ubica tanto racionales como irracionales.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para representar una longitud que ninguna fracción mide exactamente?
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante construcción exacta y distinción entre medida y número sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: inconmensurabilidad
inconmensurabilidad. La conclusión se obtiene al aplicar construcción exacta y distinción entre medida y número y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Toda longitud obtenida con regla y compás es racional».
Necesito una pista
Probá la afirmación con la diagonal de un cuadrado unitario; aplicá Pitágoras y clasificá la longitud obtenida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Construcciones como la diagonal unitaria producen √2, una longitud real irracional.
Construcciones como la diagonal unitaria producen √2, una longitud real irracional. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Diagonal unitaria» y «Rectángulo áureo». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Recta completa», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: La deducción es exacta aunque la medida sea aproximada.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son d²=1²+1²=2; d=√2; φ≈1,618 y φ−1=1/φ; Q ∪ (R\Q)=R. Se conservan estas relaciones: La deducción es exacta aunque la medida sea aproximada. Quitar el cuadrado conserva la razón de lados. Racionales e irracionales ocupan puntos sin dejar huecos.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Quitar el cuadrado conserva la razón de lados.
Ejercicio 5
Consigna
¿Cuál pertenece a R\Q?
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de construcción exacta y distinción entre medida y número que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (1+√5)/2
(1+√5)/2. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 6
Consigna
Construí conceptualmente √13 con un triángulo rectángulo.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante construcción exacta y distinción entre medida y número sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Usar catetos 2 y 3: la hipotenusa mide √(2²+3²)=√13.
Usar catetos 2 y 3: la hipotenusa mide √(2²+3²)=√13. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 7
Consigna
Aproximá φ=(1+√5)/2 a centésimos.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con construcción exacta y distinción entre medida y número.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1.62
1.62. La conclusión se obtiene al aplicar construcción exacta y distinción entre medida y número y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 8
Consigna
¿Cuál número ocupa un punto de la recta real pero no puede escribirse como fracción de enteros?
Necesito una pista
Descartá decimales periódicos y cocientes explícitos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √7
√7 es irracional porque 7 no es cuadrado perfecto; los otros dos son racionales.
Ejercicio 9
Consigna
Describí una construcción exacta de √10 en la recta real.
Necesito una pista
Buscá dos cuadrados enteros que sumen 10.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Construyo un triángulo rectángulo de catetos 1 y 3; su hipotenusa mide √10 y la traslado desde 0 con compás.
Pitágoras da 1²+3²=10; la construcción produce una longitud exacta, no una medición decimal.
Ejercicio 10
Consigna
Si φ=(1+√5)/2, ¿qué igualdad permite quitar un cuadrado de un rectángulo áureo y conservar la forma?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Si φ=(1+√5)/2, ¿qué igualdad permite quitar un cuadrado de un rectángulo áureo…. Para trabajar Relacionar φ con su autosimilitud, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: φ−1=1/φ
La respuesta correcta es φ−1=1/φ. De φ²=φ+1 resulta φ=1+1/φ. por eso φ−1=1/φ.
Ejercicio 11
Consigna
Explicá por qué medir una diagonal como 1,41 no demuestra que sea racional.
Necesito una pista
Separá el objeto geométrico de la lectura del instrumento.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1,41 es una aproximación racional de la diagonal √2; toda medición tiene precisión finita y no cambia la naturaleza exacta de √2.
La medición empírica produce un intervalo; la deducción pitagórica identifica exactamente √2.
Ejercicio 12
Consigna
¿Qué conjunto completa la recta cuando Q deja huecos como √2?
Necesito una pista
Preguntá qué conjunto contiene a Q y también a sus límites irracionales.
Respuesta y fundamento
Respuesta: R, formado por racionales e irracionales
Los reales reúnen Q y los irracionales; así cada punto de la recta tiene coordenada real.
Ejercicio 13
Consigna
Un rectángulo tiene lados 8 y 8φ. Al quitar un cuadrado 8×8, justificá la semejanza del resto.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de construcción exacta y distinción entre medida y número que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El resto tiene lados 8 y 8(φ−1)=8/φ; la razón vuelve a ser φ.
El resto tiene lados 8 y 8(φ−1)=8/φ; la razón vuelve a ser φ. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 14
Consigna
Explicá por qué los decimales de una medición física no deciden si la longitud matemática es racional.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante construcción exacta y distinción entre medida y número sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Toda medición tiene precisión finita; racionalidad se refiere al valor ideal exacto, no a sus lecturas.
Toda medición tiene precisión finita; racionalidad se refiere al valor ideal exacto, no a sus lecturas. La conclusión se obtiene al aplicar construcción exacta y distinción entre medida y número y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 15
Consigna
¿Qué construcción produce exactamente √17 para trasladarlo a la recta?
Necesito una pista
Para trabajar Construir irracionales exactamente, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un triángulo rectángulo de catetos 1 y 4
La respuesta correcta es Un triángulo rectángulo de catetos 1 y 4. 1²+4²=17. por Pitágoras, la hipotenusa mide exactamente √17.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Nico dice que √2 no está en la recta porque no puede escribirlo como fracción.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Separá Q de R y describí cómo una construcción pitagórica permite transportar una longitud irracional a la recta.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La recta real incluye racionales e irracionales; √2 se construye y ubica exactamente.
La recta real incluye racionales e irracionales; √2 se construye y ubica exactamente. La conclusión se obtiene al aplicar construcción exacta y distinción entre medida y número y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Uma aproxima φ a 1,6 y verifica 1,6²=1,6+1 como igualdad.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Calculá ambos miembros con 1,6 y comparalos; después decidí si corresponde escribir igualdad o aproximación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La aproximación no satisface exactamente la identidad; debe conservar φ o usar ≈.
La aproximación no satisface exactamente la identidad; debe conservar φ o usar ≈. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Lautaro resolvió “¿Qué idea es central para representar una longitud que ninguna fracción mide exactamente?” y escribió “recta real”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Lautaro con la condición de Distinguir racionales e irracionales. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción recta real conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Distinguir racionales e irracionales.. La corrección usa Distinguir racionales e irracionales: inconmensurabilidad.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Distinguir racionales e irracionales. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Distinguir racionales e irracionales en la consigna ¿Qué idea es central para representar una longitud que… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Cuál afirmación es deductiva y no depende de una medición?
Necesito una pista
Buscá una conclusión que siga de propiedades y datos exactos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diagonal de un cuadrado unitario mide √2 por Pitágoras
Pitágoras parte de lados 1 y obtiene d²=2; las otras afirmaciones dependen de observaciones.
Ejercicio 20
Consigna
Ubicá φ entre dos décimos consecutivos usando √5≈2,236.
Necesito una pista
Sustituí la aproximación en (1+√5)/2 y conservá el encuadre.
Respuesta y fundamento
Respuesta: φ=(1+√5)/2≈1,618, de modo que 1,6<φ<1,7.
La operación creciente transforma el encuadre de √5 en uno para φ.
Ejercicio 21
Consigna
¿Cuál escritura es racional?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál escritura es racional. Para trabajar Distinguir racionales e irracionales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,120120120…
La respuesta correcta es 0,120120120…. El bloque 120 se repite. π−3 y √11 siguen siendo irracionales.
Ejercicio 22
Consigna
Justificá brevemente por contradicción que √2 no es racional.
Necesito una pista
Representá el dato central de Justificá brevemente por contradicción que √2 no es racional. Para trabajar Distinguir racionales e irracionales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si √2=p/q en forma irreducible, p²=2q² hace p par; entonces q también resulta par, contradiciendo que p/q era irreducible.
Una respuesta suficiente debe sostener Distinguir racionales e irracionales con datos y una propiedad explícita. La contradicción muestra que no existe cociente de enteros para √2.
Ejercicio 23
Consigna
En una construcción geométrica exacta de √5, ¿qué dato debe preservarse al trasladar al eje?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en En una construcción geométrica exacta de √5, ¿qué dato debe preservarse al…. Para trabajar Construir irracionales exactamente, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La longitud de la hipotenusa
La respuesta correcta es La longitud de la hipotenusa. Trasladar la abertura del compás conserva √5 aunque cambie la orientación.
Ejercicio 24
Consigna
Nico afirma que √2 no pertenece a la recta porque no es fracción. ¿Qué intervención reconstruye la clasificación?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La recta real incluye racionales e irracionales; √2 se construye y ubica exactamente.
La recta real incluye racionales e irracionales; √2 se construye y ubica exactamente. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con construcción exacta y distinción entre medida y número.
Ejercicio 25
Consigna
Ubicá √13 entre dos décimos consecutivos.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante construcción exacta y distinción entre medida y número sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,6<√13<3,7 porque 12,96<13<13,69.
3,6<√13<3,7 porque 12,96<13<13,69. La conclusión se obtiene al aplicar construcción exacta y distinción entre medida y número y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 26
Consigna
Explicá qué aporta una construcción exacta y qué aporta una aproximación decimal del mismo irracional.
Necesito una pista
Representá el dato central de qué aporta una construcción exacta y qué aporta una aproximación decimal del…. Para trabajar Distinguir racionales e irracionales, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La construcción determina exactamente la longitud mediante relaciones geométricas; el decimal permite medir o calcular con precisión declarada. La aproximación no cambia la naturaleza irracional del valor.
Una respuesta suficiente debe sostener Distinguir racionales e irracionales con datos y una propiedad explícita. La construcción determina exactamente la longitud mediante relaciones geométricas. el decimal permite medir o calcular con precisión declarada. La aproximación no cambia la naturaleza irracional del valor. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.