recta numérica
Representá Irracionales, aproximación y error con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con aproximar con criterio. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede separarse el valor informado del exacto.
Ya podés aproximar con criterio y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a aproximar con criterio. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- irracionales y recta real.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura representa un irracional. Respuesta. 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-num-03.
- potencias y raíces.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-01.
La idea
Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede separarse el valor informado del exacto. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es aproximar con criterio. El segundo es acotar error. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Irracionales y necesidad de ampliar Q. pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder usar tecnología sin perder control con un caso que no copie el ejemplo. Volvé a aproximar con criterio. Decí qué dato lo habilita, qué propiedad usás y qué control podría contradecir tu conclusión.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Redondeá 7,3864 a centésimos. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede separarse: el valor informado del exacto.
Ejemplo resuelto
Acotar. 6,08²=36,9664 y 6,09²=37,0881. Redondear √37≈6,08 porque el valor es 6,0827…. Informar error absoluto menor que 0,005 por redondeo a centésimos. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 3.69 al resolver Redondeá ∛50=3,684031… a centésimos.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con aumentar la centésima por observar cifras posteriores sin usar como decisiva la milésima 4.
Cómo repararlo: Conservá 3,68 y mirá solamente la primera cifra descartada. 4 no aumenta la centésima.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede separarse el valor informado del exacto.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás aproximar con criterio con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Irracionales, aproximación y error.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Irracionales, aproximación y error trabaja este objeto matemático. Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede separarse el valor informado del exacto.
Qué hace falta antes
- irracionales y recta real. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura representa un irracional. Respuesta. 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente.
- potencias y raíces. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Irracionales, aproximación y error con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con aproximar con criterio. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Redondeá 7,3864 a centésimos. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Aproximar es decidir una precisión y controlar cuánto puede… Usala. para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 3.69. Se reconoce porque Ingresa 3,69 al redondear 3,684031… a centésimos. Reparación. Conservá 3,68 y mirá solamente la primera cifra descartada. 4 no aumenta la centésima.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
error relativo Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «error absoluto» y distinguílo de «error relativo».
Necesito una pista
Elegí un valor real y una aproximación; calculá primero la distancia entre ambos y después dividila por el valor de referencia para comparar escalas.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ejemplo: si el valor real es 100 y se informa 98, el error absoluto es 2 y el relativo es 2/100=2%; el primero mide distancia y el segundo la compara con la escala.
Ejemplo: si el valor real es 100 y se informa 98, el error absoluto es 2 y el relativo es 2/100=2%; el primero mide distancia y el segundo la compara con la escala.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas?
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de encuadre, precisión y escala del error que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: error relativo
error relativo. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Un error absoluto de 1 siempre es pequeño».
Necesito una pista
Compará un error absoluto de 1 frente a un valor de 10 y frente a uno de 10.000; la distancia coincide, pero no su proporción.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El error absoluto mide distancia; el relativo la compara con el tamaño del valor y permite juzgar escalas distintas.
El error absoluto mide distancia; el relativo la compara con el tamaño del valor y permite juzgar escalas distintas. La conclusión se obtiene al aplicar encuadre, precisión y escala del error y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Redondeo a décimos» y «Raíz cúbica». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Misma distancia, otra escala», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: La imagen 2,3 admite error absoluto menor o igual que 0,05.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son 2,34 → 2,3; intervalo [2,25;2,35); 2³<20<3³; 1/20=5%; 1/2000=0,05%. Se conservan estas relaciones: La imagen 2,3 admite error absoluto menor o igual que 0,05. Elevar los extremos al cubo conserva el orden. El error absoluto coincide y el relativo cambia con la referencia.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Elevar los extremos al cubo conserva el orden.
Ejercicio 5
Consigna
Redondeá 7,3864 a centésimos.
Necesito una pista
Representá la situación con encuadre, precisión y escala del error. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7.39
7.39. La conclusión se obtiene al aplicar encuadre, precisión y escala del error y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 6
Consigna
Calculá el error absoluto al aproximar 12,48 por 12,5.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de encuadre, precisión y escala del error que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0.02
0.02. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 7
Consigna
Truncá π a tres decimales e indicá un intervalo para el error.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante encuadre, precisión y escala del error sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,141; el error es menor que 0,001 y positivo.
3,141; el error es menor que 0,001 y positivo. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 8
Consigna
Para aproximar 6,274, se suprimen todas las cifras posteriores a los centésimos sin mirar la siguiente. ¿Qué procedimiento produce 6,27?
Necesito una pista
Atendé a la regla aplicada, no sólo a que dos métodos pueden coincidir en este dato.
Respuesta y fundamento
Respuesta: truncamiento a centésimos
Truncar corta después de los centésimos sin usar la cifra siguiente; la descripción determina el procedimiento sin ambigüedad.
Ejercicio 9
Consigna
El valor de referencia es 250 y se informa 247,5. Calculá el error relativo porcentual respecto de 250.
Necesito una pista
Ubicá primero El valor de referencia es 250 y se informa 247,5. Calculá el…. Para trabajar Calcular e interpretar error, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1
La respuesta correcta es 1. El error absoluto es 2,5 y 2,5/250=0,01=1%.
Ejercicio 10
Consigna
¿Cuál encuadre certifica √70 con una cifra decimal?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál encuadre certifica √70 con una cifra decimal. Para trabajar Acotar raíces mediante potencias, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 8,3 < √70 < 8,4
La respuesta correcta es 8,3 < √70 < 8,4. 8,3²=68,89 y 8,4²=70,56. por monotonía en positivos, √70 queda entre ambos.
Ejercicio 11
Consigna
Una app muestra ∛20≈2,714. Justificá sin repetir la pantalla que el valor es razonable.
Necesito una pista
Usá cubos de décimos consecutivos alrededor de 20.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Como 2,7³=19,683 y 2,8³=21,952, ∛20 está entre 2,7 y 2,8; 2,714 respeta ese encuadre.
El encuadre mediante potencias controla la tecnología con una relación matemática independiente.
Ejercicio 12
Consigna
Compará los errores de 3,14 para π y de 1,41 para √2 mediante error absoluto y decidí cuál aproxima mejor.
Necesito una pista
Restá cada aproximación del valor de referencia con más cifras y compará distancias positivas.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los errores son aproximadamente 0,00159 y 0,00421; 3,14 aproxima mejor a π en error absoluto.
El criterio debe declararse: con error absoluto, 0,00159<0,00421.
Ejercicio 13
Consigna
Una balanza marca 2,4 kg con resolución 0,1 kg. Informá un intervalo razonable de redondeo.
Necesito una pista
Representá la situación con encuadre, precisión y escala del error. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El valor real compatible está entre 2,35 kg y 2,45 kg, con extremos según la convención.
El valor real compatible está entre 2,35 kg y 2,45 kg, con extremos según la convención. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 14
Consigna
Dos mediciones erran 2 m: una distancia de 20 m y otra de 2 km. Compará errores relativos.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de encuadre, precisión y escala del error que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son 10% y 0,1%; el mismo error absoluto es mucho más relevante en 20 m.
Son 10% y 0,1%; el mismo error absoluto es mucho más relevante en 20 m. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 15
Consigna
Un sensor toma 8,376 como referencia y muestra 8,38. ¿Cuál es el error absoluto?
Necesito una pista
Restá los valores y tomá valor absoluto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0.004
|8,376−8,38|=0,004; el signo de la resta no cambia la magnitud del error.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Lara redondea 4,995 a centésimos como 4,99.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Mirá la milésima y aplicá la convención de redondeo a la centésima; controlá el acarreo cuando un 9 aumenta.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La tercera cifra decimal es 5; con redondeo usual resulta 5,00.
La tercera cifra decimal es 5; con redondeo usual resulta 5,00. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Santi escribe que 3,14 es el valor exacto de π.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Diferenciá el símbolo que nombra el valor exacto de una escritura decimal con precisión finita; elegí = o ≈ de acuerdo con esa diferencia.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,14 es una aproximación; debe usar π para el exacto o π≈3,14.
3,14 es una aproximación; debe usar π para el exacto o π≈3,14. La conclusión se obtiene al aplicar encuadre, precisión y escala del error y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Kiara resolvió “¿Qué idea es central para comparar la calidad de aproximaciones en escalas distintas?” y escribió “error absoluto”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Kiara con la condición de Aproximar con precisión declarada. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción error absoluto conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Aproximar con precisión declarada.. La corrección usa Aproximar con precisión declarada: error relativo.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Aproximar con precisión declarada. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Aproximar con precisión declarada en la consigna ¿Qué idea es central para comparar la calidad de… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Redondeá ∛50=3,684031… a centésimos.
Necesito una pista
La milésima es 4: no incrementa la centésima.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3.68
El redondeo a centésimos conserva 3,68 porque la cifra siguiente es menor que 5.
Ejercicio 20
Consigna
Una longitud de 0,008 m tiene error absoluto 0,001 m. ¿Qué lectura es correcta?
Necesito una pista
Ubicá primero Una longitud de 0,008 m tiene error absoluto 0,001 m. ¿Qué lectura…. Para trabajar Calcular e interpretar error, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El error relativo es 12,5% y no es pequeño
La respuesta correcta es El error relativo es 12,5% y no es pequeño. 0,001/0,008=0,125=12,5%. la escala del dato vuelve relevante ese error.
Ejercicio 21
Consigna
Encuadrá ⁴√30 entre décimos consecutivos y justificá con potencias.
Necesito una pista
Probá cuartas potencias cercanas a 30.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2,3<⁴√30<2,4, porque 2,3⁴=27,9841 y 2,4⁴=33,1776.
La función x↦x⁴ es creciente para positivos, por eso el encuadre de potencias se traslada a la raíz.
Ejercicio 22
Consigna
Al redondear a milésimos, ¿cuál es la cota máxima usual del error absoluto?
Necesito una pista
Tomá la mitad de una unidad del último lugar conservado.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,0005
Cada milésimo representa 0,001; el redondeo se aparta como máximo la mitad: 0,0005.
Ejercicio 23
Consigna
Una calculadora devuelve √0,02=0,141421…. Explicá un control de orden de magnitud.
Necesito una pista
Elegí décimos cuyos cuadrados encierren 0,02.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Como 0,1²=0,01 y 0,2²=0,04, la raíz debe quedar entre 0,1 y 0,2; 0,141421… es compatible.
El control detectaría, por ejemplo, un error de coma que arrojara 1,41421.
Ejercicio 24
Consigna
Lara redondeó 4,995 a centésimos como 4,99. ¿Qué reconstrucción corrige la decisión?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La tercera cifra decimal es 5; con redondeo usual resulta 5,00.
La tercera cifra decimal es 5; con redondeo usual resulta 5,00. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 25
Consigna
Truncá 19,8765 a centésimos.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de encuadre, precisión y escala del error que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 19.87
19.87. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con encuadre, precisión y escala del error.
Ejercicio 26
Consigna
Generalizá la cota máxima del error al redondear a n cifras decimales.
Necesito una pista
Representá el dato central de Generalizá la cota máxima del error al redondear a n cifras decimales. Para trabajar Aproximar con precisión declarada, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al redondear a n cifras decimales, la unidad de la última cifra es 10^−n; la cota usual del error absoluto es la mitad: 0,5·10^−n, salvo una convención explícita distinta.
Una respuesta suficiente debe sostener Aproximar con precisión declarada con datos y una propiedad explícita. Al redondear a n cifras decimales, la unidad de la última cifra es 10^−n. la cota usual del error absoluto es la mitad. 0,5·10^−n, salvo una convención explícita distinta. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.