tabla
Representá Variabilidad: varianza y desviación estándar con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con calcular con tecnología. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
La desviación estándar resume la distancia típica respecto de la media y debe interpretarse junto con centro, forma y unidad.
Ya podés calcular con tecnología y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás decidir si una tabla, una encuesta o una probabilidad sostienen una conclusión. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar datos, variación e incertidumbre. La situación obliga a calcular con tecnología. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- media y mediana.
Comprobación de treinta segundos. Para 3,4,4,5,40, ¿qué medida describe mejor el centro típico. Respuesta. Mediana 4.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-dat-02.
- distribuciones y cuartiles.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué variable es cualitativa nominal. Respuesta. Medio de transporte.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-dat-01.
La idea
La desviación estándar resume la distancia típica respecto de la media y debe interpretarse junto con centro, forma y unidad. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. El primer objetivo es calcular con tecnología. El segundo es interpretar dispersión. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Contrastá el cálculo con el total, la escala y una representación distinta de los mismos datos. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Media, mediana, moda y cuartiles: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder evitar conclusiones por una sola medida con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
dibujo descrito en palabras
Usá ahora dibujo descrito en palabras para la misma relación. Partí de Desviación estándar poblacional de 5,5,5. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La desviación estándar resume la distancia típica respecto de la: media y debe interpretarse junto con centro, forma….
Ejemplo resuelto
Calcular media 4 y desvíos −2,0,2. Promediar cuadrados: varianza poblacional=(4+0+4)/3=8/3. Tomar raíz. σ=√(8/3)≈1,63, en la unidad original. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 4 al resolver Para 1,1,5,5, calculá la desviación estándar poblacional.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con calcular correctamente la varianza poblacional y omitir su raíz cuadrada.
Cómo repararlo: Después de promediar los desvíos cuadrados, extraé la raíz para volver a la unidad original.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué La desviación estándar resume la distancia típica respecto de la media y debe interpretarse junto con centro: forma y unidad.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás calcular con tecnología con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Variabilidad: varianza y desviación estándar.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Variabilidad. varianza y desviación estándar trabaja este objeto matemático. La desviación estándar resume la distancia típica respecto de la media y debe interpretarse junto con centro, forma y unidad.
Qué hace falta antes
- media y mediana. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Para 3,4,4,5,40, ¿qué medida describe mejor el centro típico. Respuesta. Mediana 4.
- distribuciones y cuartiles. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué variable es cualitativa nominal. Respuesta. Medio de transporte.
Dos representaciones
tabla
Representá Variabilidad. varianza y desviación estándar con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con calcular con tecnología. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
dibujo descrito en palabras
Usá ahora dibujo descrito en palabras para la misma relación. Partí de Desviación estándar poblacional de 5,5,5. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La desviación estándar resume la distancia típica respecto… Usala para. reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 4. Se reconoce porque Ingresa 4 como desviación estándar. Reparación. Después de promediar los desvíos cuadrados, extraé la raíz para volver a la unidad original.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para comparar cuán concentrados están datos con la misma media. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
desviación estándar Control. Contrastá el cálculo con el total, la escala y una representación distinta de los mismos datos.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «desvío» y distinguílo de «varianza».
Necesito una pista
Calculá la media de un conjunto pequeño, escribí los desvíos de cada dato y observá qué cambia cuando esos desvíos se elevan al cuadrado y se promedian.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En 2,4,6, la media es 4 y los desvíos son −2,0,2. La varianza promedia sus cuadrados: 8/3; no es un desvío individual y queda en unidades cuadradas.
En 2,4,6, la media es 4 y los desvíos son −2,0,2. La varianza promedia sus cuadrados: 8/3; no es un desvío individual y queda en unidades cuadradas.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para comparar cuán concentrados están datos con la misma media?
Necesito una pista
Representá la situación con centro, desvíos y unidad de la dispersión. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: desviación estándar
desviación estándar. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Una desviación estándar grande siempre indica datos de mala calidad».
Necesito una pista
Compará la misma desviación estándar bajo unidades, objetivos o tolerancias diferentes; la dispersión por sí sola no decide calidad.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La dispersión describe variabilidad, no calidad; su tamaño depende de la unidad, escala y contexto.
La dispersión describe variabilidad, no calidad; su tamaño depende de la unidad, escala y contexto. La conclusión se obtiene al aplicar centro, desvíos y unidad de la dispersión y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Sin dispersión» y «Traslación». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Escala», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: Todos los desvíos son cero.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son 4,4,4 → media 4, σ=0; 2,4,6 → 12,14,16; 2,4,6 → 6,12,18. Se conservan estas relaciones: Todos los desvíos son cero. Sumar una constante cambia la media pero conserva σ. Multiplicar por 3 multiplica σ por 3 y la varianza por 9.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Sumar una constante cambia la media pero conserva σ.
Ejercicio 5
Consigna
Desviación estándar poblacional de {5; 5; 5}.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá centro, desvíos y unidad de la dispersión; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0
0. La conclusión se obtiene al aplicar centro, desvíos y unidad de la dispersión y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 6
Consigna
Compará {8; 9; 10} y {1; 9; 17} sin calcular todo.
Necesito una pista
Representá la situación con centro, desvíos y unidad de la dispersión. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambos tienen media 9, pero el segundo presenta mucha mayor dispersión.
Ambos tienen media 9, pero el segundo presenta mucha mayor dispersión. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 7
Consigna
Si todos los datos se multiplican por 3, ¿qué pasa con σ?
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de centro, desvíos y unidad de la dispersión que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: se multiplica por 3
se multiplica por 3. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 8
Consigna
Para los datos {2; 4; 6}, calculá la varianza poblacional.
Necesito una pista
Para trabajar Calcular varianza y desviación estándar, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 8/3
La respuesta correcta es 8/3. σ²=(4+0+4)/3=8/3≈2,667.
Ejercicio 9
Consigna
Dos cursos tienen media 70: A tiene σ=3 y B σ=11. ¿Qué se concluye?
Necesito una pista
La media ya coincide; compará el tamaño típico de los desvíos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: A está más concentrado alrededor de 70
Menor desviación estándar indica menor dispersión en la misma unidad y escala.
Ejercicio 10
Consigna
Explicá por qué la desviación estándar y no la varianza se comunica en la unidad original.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte por qué la desviación estándar y no la varianza se comunica en…. Para trabajar Calcular varianza y desviación estándar, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La varianza promedia desvíos cuadrados y queda en unidades al cuadrado; al extraer su raíz, la desviación estándar vuelve a la unidad de los datos.
La respuesta correcta es La varianza promedia desvíos cuadrados y queda en unidades al cuadrado. al extraer su raíz, la desviación estándar…. El análisis dimensional da interpretabilidad directa a σ.
Ejercicio 11
Consigna
Si a cada dato se suma 20, ¿qué pasa con la media y con σ?
Necesito una pista
Representá el dato central de Si a cada dato se suma 20, ¿qué pasa con la media…. Para trabajar Transformar datos y dispersión, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La media aumenta 20 y σ no cambia
La respuesta correcta es La media aumenta 20 y σ no cambia. La traslación cancela en cada desvío. sólo desplaza el centro.
Ejercicio 12
Consigna
Compará A={8,9,10,11,12} y B={0,5,10,15,20} sin calcular σ exactamente.
Necesito una pista
Alineá ambos conjuntos por la media común y compará distancias.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambas tienen media 10, pero B es más dispersa porque sus distancias a 10 son 10,5,0,5,10 frente a 2,1,0,1,2.
La comparación de desvíos ya establece mayor variabilidad de B; el cálculo de σ la cuantificaría.
Ejercicio 13
Consigna
Dos máquinas producen media 50; σ=0,4 y σ=2,1. ¿Cuál es más consistente?
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá centro, desvíos y unidad de la dispersión; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La primera, porque sus valores se apartan típicamente menos de 50, si la unidad y condiciones coinciden.
La primera, porque sus valores se apartan típicamente menos de 50, si la unidad y condiciones coinciden. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 14
Consigna
Un informe compara σ=5 cm con σ=0,08 m y afirma que 5 es mayor. Corregí.
Necesito una pista
Representá la situación con centro, desvíos y unidad de la dispersión. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Hay que unificar unidades: 0,08 m=8 cm, por lo que la segunda dispersión es mayor.
Hay que unificar unidades: 0,08 m=8 cm, por lo que la segunda dispersión es mayor. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 15
Consigna
Para {2; 2; 6; 6}, calculá la desviación estándar poblacional.
Necesito una pista
Para trabajar Calcular varianza y desviación estándar, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2
La respuesta correcta es 2. Los desvíos son −2,−2,2,2. la varianza es 4 y σ=2.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Luca promedia los desvíos con signo para medir dispersión y obtiene cero.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Calculá los desvíos respecto de la media y observá por qué su suma con signo se cancela; después buscá una forma de medir sus magnitudes.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los desvíos respecto de la media suman cero; se cuadran antes de promediar.
Los desvíos respecto de la media suman cero; se cuadran antes de promediar. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Mara interpreta la varianza en centímetros aunque los datos están en cm.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Seguí las unidades en cada paso: restar datos, elevar desvíos al cuadrado, promediar y finalmente extraer la raíz.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La varianza queda en cm²; la desviación estándar vuelve a cm.
La varianza queda en cm²; la desviación estándar vuelve a cm. La conclusión se obtiene al aplicar centro, desvíos y unidad de la dispersión y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Ulises resolvió “¿Qué idea es central para comparar cuán concentrados están datos con la misma media?” y escribió “media”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Ulises con la condición de Comparar dispersión en contexto. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción media conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Comparar dispersión en contexto.. La corrección usa Comparar dispersión en contexto: desviación estándar.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Comparar dispersión en contexto. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Comparar dispersión en contexto en la consigna ¿Qué idea es central para comparar cuán concentrados están… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Para {1; 1; 5; 5}, calculá la desviación estándar poblacional.
Necesito una pista
Hallá la media, calculá los cuatro desvíos, promediá sus cuadrados y extraé la raíz; no anticipes el resultado.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2
La varianza es (4+4+4+4)/4=4 y σ=√4=2.
Ejercicio 20
Consigna
Una variable en metros se convierte a centímetros multiplicando por 100. ¿Qué ocurre con σ?
Necesito una pista
σ escala como los datos; la varianza escala con el cuadrado.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se multiplica por 100
Cada desvío en centímetros es 100 veces el desvío en metros, por lo que también σ.
Ejercicio 21
Consigna
Dos máquinas tienen media 50 mm. X: σ=0,2 mm; Y: σ=0,3 mm, pero Y fue medida con instrumento más preciso. Explicá qué falta para decidir calidad.
Necesito una pista
No conviertas una sola medida de variabilidad en un juicio completo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La dispersión favorece a X, pero para decidir calidad también se necesita el valor objetivo, sesgo, tolerancia del proceso, tamaño muestral y comparabilidad de mediciones.
Centro, variabilidad y condiciones de producción responden preguntas diferentes y deben integrarse.
Ejercicio 22
Consigna
¿Qué conjunto tiene desviación estándar cero?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Qué conjunto tiene desviación estándar cero. Para trabajar Calcular varianza y desviación estándar, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: {7,7,7,7}
La respuesta correcta es {7,7,7,7}. Todos los valores 7 coinciden con su media. no hay dispersión.
Ejercicio 23
Consigna
Mostrá con los datos {3; 5; 7} que los desvíos respecto de la media suman cero y explicá por qué se cuadran.
Necesito una pista
Calculá primero desvíos con signo; observá qué ocultaría su suma.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La media es 5 y los desvíos son −2; 0; 2, que suman 0. Se cuadran para evitar cancelación y medir magnitud de apartamiento.
Los cuadrados vuelven no negativos los aportes y hacen sensible la medida a distancias mayores.
Ejercicio 24
Consigna
Luca promedió desvíos con signo y obtuvo cero como dispersión. ¿Qué reparación corresponde?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los desvíos respecto de la media suman cero; se cuadran antes de promediar.
Los desvíos respecto de la media suman cero; se cuadran antes de promediar. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 25
Consigna
Compará {4; 4; 6; 6} y {1; 5; 5; 9}: centro y dispersión.
Necesito una pista
Representá la situación con centro, desvíos y unidad de la dispersión. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambos tienen media 5; el primero tiene σ=1 y el segundo σ=√8≈2,83.
Ambos tienen media 5; el primero tiene σ=1 y el segundo σ=√8≈2,83. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con centro, desvíos y unidad de la dispersión.
Ejercicio 26
Consigna
Demostrá qué ocurre con media y desviación estándar bajo y=a+bx.
Necesito una pista
Representá el dato central de Demostrá qué ocurre con media y desviación estándar bajo y=a+bx. Para trabajar Calcular varianza y desviación estándar, separá unidad de análisis, variable, total, escala y fuente antes de resumir. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La media se transforma en a+b·media(x). Los desvíos se multiplican por b, la varianza por b² y la desviación estándar por |b|; sumar a no cambia la dispersión.
Una respuesta suficiente debe sostener Calcular varianza y desviación estándar con datos y una propiedad explícita. La media se transforma en a+b·media(x). Los desvíos se multiplican por b, la varianza por b² y la desviación estándar por |b|. sumar a no cambia la dispersión. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.