tabla
Representá Números complejos como respuesta a cuadráticas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer ampliación de R. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que toda cuadrática admite raíces en un sistema numérico más amplio.
Ya podés reconocer ampliación de R y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a reconocer ampliación de R. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- ecuación cuadrática y discriminante.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática. Respuesta: discriminante.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-alg-02.
- operaciones algebraicas.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que toda cuadrática admite raíces en un sistema numérico más amplio. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es reconocer ampliación de R. El segundo es operar en casos sencillos. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Ecuación cuadrática completa y discriminante: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder verificar raíces con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Simplificá i²³. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que: toda cuadrática admite raíces en un sistema numérico….
Ejemplo resuelto
Calcular Δ=16−52=−36. Usar √−36=6i en la fórmula. Obtener x=(−4±6i)/2=−2±3i y verificar suma y producto de raíces. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 2−4i al resolver ¿Cuál es el resultado de (4+i)−(−2+5i).
Por qué tienta: Resta 2 en lugar de cambiar el signo de −2 al quitar el segundo paréntesis.
Cómo repararlo: Distribuí el signo menos a las dos componentes. −(−2+5i)=+2−5i.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que toda cuadrática admite raíces en un sistema: numérico más amplio.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás reconocer ampliación de R con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Números complejos como respuesta a cuadráticas.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Números complejos como respuesta a cuadráticas trabaja este objeto matemático. Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que toda cuadrática admite raíces en un sistema numérico más amplio.
Qué hace falta antes
- ecuación cuadrática y discriminante. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática. Respuesta. discriminante.
- operaciones algebraicas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Números complejos como respuesta a cuadráticas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer ampliación de R. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Simplificá i²³. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Los complejos amplían los reales incorporando i²=−1, de modo que. toda cuadrática… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 2−4i. Se reconoce porque Obtiene parte real 2 y parte imaginaria −4i. Reparación. Distribuí el signo menos a las dos componentes. −(−2+5i)=+2−5i.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para resolver una cuadrática cuyo discriminante es negativo. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
unidad imaginaria Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «unidad imaginaria» y distinguílo de «forma binómica».
Necesito una pista
Usá i²=−1 para construir un ejemplo y separá, en una escritura a+bi, la parte real de la parte imaginaria.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La unidad imaginaria cumple i²=−1. La forma binómica combina una parte real y otra imaginaria, por ejemplo 3+2i.
La unidad imaginaria cumple i²=−1. La forma binómica combina una parte real y otra imaginaria, por ejemplo 3+2i.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para resolver una cuadrática cuyo discriminante es negativo?
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: unidad imaginaria
unidad imaginaria. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «i es igual a √−1 y por eso i²=1».
Necesito una pista
Aplicá la definición i²=−1 y distinguí el símbolo que nombra i de la operación de elevarlo al cuadrado.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Se define i²=−1; las potencias de i ciclan y permiten representar raíces de números negativos.
Se define i²=−1; las potencias de i ciclan y permiten representar raíces de números negativos. La conclusión se obtiene al aplicar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1 y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Suma binómica» y «Producto». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Raíces conjugadas», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: Partes reales e imaginarias se combinan por separado.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son (2+3i)+(−1+i)=1+4i; (1+i)²=2i; x²−2x+5=0 → 1±2i. Se conservan estas relaciones: Partes reales e imaginarias se combinan por separado. La reducción i²=−1 mantiene la forma a+bi. Coeficientes reales producen raíces no reales en pares conjugados.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. La reducción i²=−1 mantiene la forma a+bi.
Ejercicio 5
Consigna
Simplificá i²³.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante partes real e imaginaria y la identidad i²=−1 sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Como 23≡3 mod4, i²³=i³=−i.
Como 23≡3 mod4, i²³=i³=−i. La conclusión se obtiene al aplicar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1 y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 6
Consigna
Calculá (3+2i)+(−5+7i).
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −2+9i, sumando partes reales e imaginarias.
−2+9i, sumando partes reales e imaginarias. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 7
Consigna
Producto (2+i)(2−i)
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá partes real e imaginaria y la identidad i²=−1; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
5. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 8
Consigna
¿Cuál igualdad define la unidad imaginaria?
Necesito una pista
La ampliación se introduce para representar una raíz de −1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: i²=−1
Por definición i es una solución de z²=−1; esto permite resolver cuadráticas con Δ<0.
Ejercicio 9
Consigna
Calculá 3(2−i)+(1+4i) y describí el papel de la distributiva.
Necesito una pista
Distribuí 3 antes de agrupar partes reales e imaginarias.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6−3i+1+4i=7+i; el factor real multiplica ambas componentes del primer complejo.
La distributiva conserva la forma binómica y luego permite combinar componentes semejantes.
Ejercicio 10
Consigna
Multiplicá (2+3i)(1−i) y reducí usando i²=−1.
Necesito una pista
Distribuí los cuatro productos antes de reemplazar i².
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2−2i+3i−3i²=5+i.
El término −3i² se convierte en +3; luego se combinan partes reales e imaginarias.
Ejercicio 11
Consigna
¿Cuál es el conjugado de −4+6i?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál es el conjugado de −4+6i. Para trabajar Usar conjugado y módulo cuadrado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −4−6i
La respuesta correcta es −4−6i. El conjugado a−bi refleja el punto a+bi respecto del eje real.
Ejercicio 12
Consigna
Resolvé x²+4x+13=0 en C.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en x²+4x+13=0 en C. Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=16−52=−36; x=(−4±6i)/2=−2±3i.
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver cuadráticas en C con datos y una propiedad explícita. Las raíces conjugadas verifican la cuadrática de coeficientes reales.
Ejercicio 13
Consigna
Resolvé x²−6x+13=0.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante partes real e imaginaria y la identidad i²=−1 sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=−16; x=(6±4i)/2=3±2i.
Δ=−16; x=(6±4i)/2=3±2i. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 14
Consigna
Interpretá geométricamente multiplicar 2−i por i.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: i(2−i)=1+2i; rota 90° antihorario alrededor del origen.
i(2−i)=1+2i; rota 90° antihorario alrededor del origen. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 15
Consigna
¿Cuánto vale (2+i)(2−i)?
Necesito una pista
Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
La respuesta correcta es 5. (2+i)(2−i)=4−i²=5.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Lia reemplaza i² por 1.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Escribí i²=−1 antes de expandir el producto y reemplazalo sólo al final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por definición i²=−1; cambiarlo elimina la ampliación y altera todos los productos.
Por definición i²=−1; cambiarlo elimina la ampliación y altera todos los productos. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Bruno suma 2+3i como 5i.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Agrupá por separado los términos reales y los coeficientes de i; sólo componentes semejantes pueden sumarse.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Parte real e imaginaria no son términos semejantes; queda 2+3i.
Parte real e imaginaria no son términos semejantes; queda 2+3i. La conclusión se obtiene al aplicar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1 y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Ximena resolvió “¿Qué idea es central para resolver una cuadrática cuyo discriminante es negativo?” y escribió “forma binómica”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Ximena con la condición de Usar conjugado y módulo cuadrado. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción forma binómica conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Usar conjugado y módulo cuadrado.. La corrección usa Usar conjugado y módulo cuadrado: unidad imaginaria.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Usar conjugado y módulo cuadrado. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Usar conjugado y módulo cuadrado en la consigna ¿Qué idea es central para resolver una cuadrática cuyo… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Cuál es el resultado de (4+i)−(−2+5i)?
Necesito una pista
Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6−4i
La respuesta correcta es 6−4i. 4+i+2−5i=6−4i. el signo cambia tanto la parte real como la imaginaria.
Ejercicio 20
Consigna
Calculá la parte real de (1+2i)(1−2i).
Necesito una pista
Ubicá primero la parte real de (1+2i)(1−2i). Para trabajar Operar números complejos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
La respuesta correcta es 5. (1+2i)(1−2i)=1−(2i)²=1+4=5. la parte imaginaria se cancela.
Ejercicio 21
Consigna
¿Qué par son raíces de x²−2x+10=0?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué par son raíces de x²−2x+10=0. Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1±3i
La respuesta correcta es 1±3i. x=(2±√−36)/2=(2±6i)/2=1±3i.
Ejercicio 22
Consigna
Verificá que 2+i es raíz de x²−4x+5=0.
Necesito una pista
Representá el dato central de Verificá que 2+i es raíz de x²−4x+5=0. Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (2+i)²−4(2+i)+5=(3+4i)−8−4i+5=0.
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver cuadráticas en C con datos y una propiedad explícita. La sustitución anula simultáneamente partes real e imaginaria.
Ejercicio 23
Consigna
Si z=3−4i, ¿cuánto vale z·conjugado(z)?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Si z=3−4i, ¿cuánto vale z·conjugado(z). Para trabajar Usar conjugado y módulo cuadrado, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 25
La respuesta correcta es 25. (3−4i)(3+4i)=3²+4²=25, un real no negativo.
Ejercicio 24
Consigna
Lia reemplazó i² por 1 al multiplicar complejos. ¿Qué reparación usa la definición correcta?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por definición i²=−1; cambiarlo elimina la ampliación y altera todos los productos.
Por definición i²=−1; cambiarlo elimina la ampliación y altera todos los productos. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 25
Consigna
Resolvé 2x²+2x+5=0.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=−36; x=(−2±6i)/4=(−1±3i)/2.
Δ=−36; x=(−2±6i)/4=(−1±3i)/2. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con partes real e imaginaria y la identidad i²=−1.
Ejercicio 26
Consigna
Mostrá por qué una cuadrática real que tiene raíz a+bi también tiene a−bi.
Necesito una pista
Representá el dato central de Mostrá por qué una cuadrática real que tiene raíz a+bi también tiene…. Para trabajar Resolver cuadráticas en C, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con coeficientes reales, conjugar preserva sumas y productos: si P(a+bi)=0, entonces P(a−bi)=conjugado(P(a+bi))=0. Por eso las raíces no reales aparecen en pares conjugados.
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver cuadráticas en C con datos y una propiedad explícita. Con coeficientes reales, conjugar preserva sumas y productos. si P(a+bi)=0. entonces P(a−bi)=conjugado(P(a+bi))=0. Por eso las raíces no reales aparecen en pares conjugados. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.