tabla
Representá Funciones exponenciales y logarítmicas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa relación para recuperar exponentes, con dominios y escalas propios.
Ya podés distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- potencias y logaritmos.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué operación responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 81?». Respuesta: logaritmo en base 3.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-num-02.
- funciones y sucesiones.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores. Respuesta: término general.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-alg-01.
La idea
La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa relación para recuperar exponentes, con dominios y escalas propios. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo. El segundo es interpretar parámetros. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder modelizar con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Si f(x)=2·3ˣ, calculá f(4). Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa: relación para recuperar exponentes, con dominios y escalas….
Ejemplo resuelto
Interpretar 300 como valor inicial y 1,08 como factor por período. Reconocer aumento de 8% por período, no de 8 unidades. Para recuperar t desde un valor, aislar 1,08ᵗ y aplicar logaritmos. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 1400 al resolver Una población de 800 crece 25% por período. Calculá la cantidad tras 3 períodos.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con sumar tres veces 25% de la población inicial. 800(1+3·0,25).
Cómo repararlo: Cada período actúa sobre el saldo actualizado: multiplicá tres veces por 1,25.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa relación para recuperar exponentes, con dominios y: escalas propios.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones exponenciales y logarítmicas.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones exponenciales y logarítmicas trabaja este objeto matemático. La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa relación para recuperar exponentes, con dominios y escalas propios.
Qué hace falta antes
- potencias y logaritmos. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué operación responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 3 para obtener 81?». Respuesta. logaritmo en base….
- funciones y sucesiones. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores. Respuesta. término general.
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones exponenciales y logarítmicas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con distinguir crecimiento aditivo y multiplicativo. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de Si f(x)=2·3ˣ, calculá f(4). Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La exponencial modeliza cambio multiplicativo y el logaritmo invierte esa.…. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 1400. Se reconoce porque Ingresa 1400 después de tres períodos. Reparación. Cada período actúa sobre el saldo actualizado. multiplicá tres veces por 1,25.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para recuperar el tiempo en un proceso multiplicativo. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
logaritmo Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «crecimiento exponencial» y distinguílo de «función inversa».
Necesito una pista
Proponé una cantidad que se multiplique por el mismo factor en intervalos iguales y explicá qué operación recupera la cantidad de períodos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: N(t)=100·1,2ᵗ crece exponencialmente porque multiplica por 1,2 en cada período. Su inversa logarítmica recupera t a partir de N: t=log₁,₂(N/100).
N(t)=100·1,2ᵗ crece exponencialmente porque multiplica por 1,2 en cada período. Su inversa logarítmica recupera t a partir de N: t=log₁,₂(N/100).
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para recuperar el tiempo en un proceso multiplicativo?
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: logaritmo
logaritmo. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Una exponencial creciente aumenta siempre la misma cantidad».
Necesito una pista
Construí una tabla para 2ᵗ y compará, entre pasos consecutivos, las diferencias y los cocientes.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una exponencial multiplica por un factor constante en intervalos iguales; sus diferencias no son constantes.
Una exponencial multiplica por un factor constante en intervalos iguales; sus diferencias no son constantes. La conclusión se obtiene al aplicar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Crecimiento» y «Decrecimiento». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Escala logarítmica», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: El cociente entre valores consecutivos es 1,3.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son 200·1,3ᵗ; 200·0,7ᵗ; +2 unidades → factor 100 en base 10. Se conservan estas relaciones: El cociente entre valores consecutivos es 1,3. El factor entre períodos es 0,7 y la cantidad permanece positiva. Diferencias en la escala representan cocientes en la magnitud.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. El factor entre períodos es 0,7 y la cantidad permanece positiva.
Ejercicio 5
Consigna
Si f(x)=2·3ˣ, calculá f(4).
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 162
162. La conclusión se obtiene al aplicar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 6
Consigna
Resolvé 5ˣ=125.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3
125=5³, por lo que x=3. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 7
Consigna
Dominio de log₂x
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x>0
x>0. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 8
Consigna
¿Cuál modelo representa una cantidad que disminuye 18% por período desde 600?
Necesito una pista
Convertí ‘conserva 82%’ en factor multiplicativo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 600·0,82ᵗ
Cada período multiplica la cantidad vigente por 0,82; no resta una cantidad fija.
Ejercicio 9
Consigna
Calculá log₂32.
Necesito una pista
Ubicá primero log₂32. Para trabajar Usar logaritmos como inversas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
La respuesta correcta es 5. 2⁵=32. por eso log₂32=5.
Ejercicio 10
Consigna
Pasá 5³=125 a forma logarítmica y explicá qué recupera el logaritmo.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Pasá 5³=125 a forma logarítmica y explicá qué recupera el logaritmo. Para trabajar Usar logaritmos como inversas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: log₅125=3; el logaritmo devuelve el exponente al conocer base y resultado.
La respuesta correcta es log₅125=3. el logaritmo devuelve el exponente al conocer base y resultado.. La relación exponencial y la logarítmica son inversas.
Ejercicio 11
Consigna
¿Cuál es dominio y asíntota vertical de f(x)=log₃(x−2)?
Necesito una pista
El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: dominio x>2; asíntota x=2
x−2>0 fija el dominio; al acercarse por la derecha a 2, el logaritmo desciende sin cota.
Ejercicio 12
Consigna
La escala de pH baja una unidad. Explicá qué cambio multiplicativo representa en concentración de H⁺.
Necesito una pista
Compará dos exponentes que difieren en 1 en una escala base 10.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Como pH=−log₁₀[H⁺], bajar una unidad significa multiplicar [H⁺] por 10.
Una diferencia aditiva en la escala logarítmica corresponde a un cociente multiplicativo 10.
Ejercicio 13
Consigna
Una sustancia conserva 70% cada hora. Escribí modelo desde 500 g y calculá tras 3 h.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: M(t)=500·0,7ᵗ; M(3)=171,5 g.
M(t)=500·0,7ᵗ; M(3)=171,5 g. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 14
Consigna
Un cultivo pasa de 200 a 1600 duplicándose. Hallá cuántos ciclos.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1600/200=8=2³; hubo 3 ciclos.
1600/200=8=2³; hubo 3 ciclos. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 15
Consigna
Una población de 250 crece 20% por período. ¿Cuál es el valor modelado después de 3 períodos?
Necesito una pista
Para trabajar Modelar cambio multiplicativo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 432
La respuesta correcta es 432. 250·1,2³=250·1,728=432.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Lola interpreta base 1,12 como aumento de 112%.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Separá el factor total de la tasa de aumento: restá 1 a 1,12 y convertí el decimal obtenido en porcentaje.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El factor 1,12 significa conservar 100% y sumar 12%: aumento de 12%.
El factor 1,12 significa conservar 100% y sumar 12%: aumento de 12%. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Nico calcula log(−10) en R.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Traducí log_b(−10)=x a bˣ=−10 y revisá el signo que puede tener bˣ para una base logarítmica válida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una exponencial de base positiva nunca produce negativos; el argumento logarítmico debe ser positivo.
Una exponencial de base positiva nunca produce negativos; el argumento logarítmico debe ser positivo. La conclusión se obtiene al aplicar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Rocío resolvió “¿Qué idea es central para recuperar el tiempo en un proceso multiplicativo?” y escribió “crecimiento exponencial”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Rocío con la condición de Usar logaritmos como inversas. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción crecimiento exponencial conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Usar logaritmos como inversas.. La corrección usa Usar logaritmos como inversas: logaritmo.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Usar logaritmos como inversas. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Usar logaritmos como inversas en la consigna ¿Qué idea es central para recuperar el tiempo en… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Una población de 800 crece 25% por período. Calculá la cantidad tras 3 períodos.
Necesito una pista
Para trabajar Modelar cambio multiplicativo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1562.5
La respuesta correcta es 1562.5. 800·1,25³=1562,5. el exponente cuenta períodos completos.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál igualdad es correcta?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál igualdad es correcta. Para trabajar Modelar cambio multiplicativo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: log₄(1/16)=−2
La respuesta correcta es log₄(1/16)=−2. 4⁻²=1/16, de modo que el exponente recuperado es −2.
Ejercicio 21
Consigna
Hallá t si 200·1,5ᵗ=675 y justificá el uso de logaritmos.
Necesito una pista
Aislá primero la potencia; luego recuperá el exponente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1,5ᵗ=3,375=1,5³, por lo que t=3; en general t=log(675/200)/log(1,5).
El logaritmo es la operación inversa adecuada cuando la incógnita está en el exponente.
Ejercicio 22
Consigna
Dos sonidos difieren 30 dB. En una escala 10log₁₀(I/I₀), ¿qué razón de intensidades corresponde?
Necesito una pista
Representá el dato central de Dos sonidos difieren 30 dB. En una escala 10log₁₀(I/I₀), ¿qué razón de…. Para trabajar Interpretar escalas logarítmicas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1000
La respuesta correcta es 1000. log₁₀(I₂/I₁)=3, por lo que la razón es 10³=1000.
Ejercicio 23
Consigna
Compará A(t)=100+50t y B(t)=100·1,5ᵗ: describí qué cambia de manera constante en cada modelo.
Necesito una pista
Calculá un paso consecutivo de cada fórmula como resta y como cociente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En A es constante la diferencia de 50; en B es constante la razón 1,5. A es lineal y B exponencial.
La estructura aditiva y la multiplicativa distinguen ambos crecimientos, no el valor inicial común.
Ejercicio 24
Consigna
Lola interpretó el factor 1,12 como aumento de 112%. ¿Qué reparación distingue factor y tasa?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El factor 1,12 significa conservar 100% y sumar 12%: aumento de 12%.
El factor 1,12 significa conservar 100% y sumar 12%: aumento de 12%. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 25
Consigna
Resolvé 3·2ˣ=96.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2ˣ=32=2⁵; x=5.
2ˣ=32=2⁵; x=5. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factor multiplicativo y relación exponencial-logarítmica.
Ejercicio 26
Consigna
Mostrá que log_b y bˣ son inversas e indicá las condiciones sobre b.
Necesito una pista
Representá el dato central de Mostrá que log_b y bˣ son inversas e indicá las condiciones sobre…. Para trabajar Usar logaritmos como inversas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para b>0 y b≠1, log_b(bˣ)=x para todo real y b^(log_b y)=y para y>0. Sus gráficos intercambian coordenadas y se reflejan respecto de y=x.
Una respuesta suficiente debe sostener Usar logaritmos como inversas con datos y una propiedad explícita. Para b>0 y b≠1, log_b(bˣ)=x para todo real y b^(log_b y)=y para y>0. Sus gráficos intercambian coordenadas y se reflejan respecto de y=x. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.