tabla
Representá Funciones polinómicas y racionales elementales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con coordinar registros. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas; el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación.
Ya podés coordinar registros y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a coordinar registros. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- funciones cuadráticas.
Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-alg-01.
- factorización.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática. Respuesta: discriminante.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-alg-02.
La idea
el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación. La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas: el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es coordinar registros. El segundo es factorizar para leer ceros. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Funciones lineales y cuadráticas como modelos: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder modelizar con un caso que no copie el ejemplo. Volvé a modelizar. Decí qué dato lo habilita, qué propiedad usás y qué control podría contradecir tu conclusión.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Ceros de (x+4)(x−1)². Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas: el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación.
Ejemplo resuelto
Leer ceros x=2 y x=−1. Reconocer multiplicidad 2 en x=2: el signo no cambia allí. Anticipar comportamiento local y verificar que el gráfico toca en 2 y cruza en −1. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió Ambos extremos descienden al resolver ¿Qué gráfico global corresponde a un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo.
Por qué tienta: Reconoce la simetría del comportamiento de grado par: pero invierte el efecto del signo positivo del término principal.
Cómo repararlo: Compará con y=x². cuando |x| crece, el término principal positivo domina y los dos extremos suben.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas: el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás coordinar registros con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones polinómicas y racionales elementales.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones polinómicas y racionales elementales trabaja este objeto matemático. La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas. el gráfico organiza esa información sin sustituir su justificación.
Qué hace falta antes
- funciones cuadráticas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
- factorización. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática. Respuesta. discriminante.
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones polinómicas y racionales elementales con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con coordinar registros. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Ceros de (x+4)(x−1)². Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan La forma algebraica revela ceros, multiplicidad, dominio y asíntotas. el gráfico… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder Ambos extremos descienden. Se reconoce porque Elige ambos extremos descendentes para coeficiente principal positivo. Reparación. Compará con y=x². cuando |x| crece, el término principal positivo domina y los dos extremos suben.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para detectar dónde una función se anula o deja de estar definida. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
ceros y factores Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «ceros y factores» y distinguílo de «multiplicidad».
Necesito una pista
Partí de una forma factorizada, como (x−2)²(x+1): identificá qué valores anulan cada factor y qué informa cada exponente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En p(x)=(x−2)²(x+1), los ceros 2 y −1 provienen de los factores; la multiplicidad es el exponente del factor, por lo que 2 tiene multiplicidad 2.
En p(x)=(x−2)²(x+1), los ceros 2 y −1 provienen de los factores; la multiplicidad es el exponente del factor, por lo que 2 tiene multiplicidad 2.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para detectar dónde una función se anula o deja de estar definida?
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factorización, dominio y comportamiento global que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: ceros y factores
ceros y factores. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Todo valor que anula el denominador es un cero de la función».
Necesito una pista
Factorizá numerador y denominador por separado; para ser cero, la función debe tener numerador nulo y denominador no nulo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los ceros anulan el numerador dentro del dominio; anular el denominador excluye el valor y puede producir una asíntota o un hueco.
Los ceros anulan el numerador dentro del dominio; anular el denominador excluye el valor y puede producir una asíntota o un hueco. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Grado impar, principal positivo» y «Traslación recíproca». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Factor cancelado», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: El término principal decide ambos extremos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son x→−∞: p→−∞; x→∞: p→∞; 2/(x−3)−1: x=3, y=−1; (x−2)(x+1)/(x−2)=x+1, x≠2. Se conservan estas relaciones: El término principal decide ambos extremos. Las asíntotas se trasladan con h y k. Simplificar conserva valores sólo dentro del dominio original.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Las asíntotas se trasladan con h y k.
Ejercicio 5
Consigna
¿Ceros de (x+4)(x−1)²?
Necesito una pista
Representá la situación con factorización, dominio y comportamiento global. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −4 y 1
−4 y 1. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 6
Consigna
Determiná dominio de 1/(x+5).
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factorización, dominio y comportamiento global que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: R\{−5}; allí el denominador se anula y hay asíntota vertical.
R\{−5}; allí el denominador se anula y hay asíntota vertical. La conclusión se obtiene al aplicar factorización, dominio y comportamiento global y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 7
Consigna
Describí el cruce en una raíz de multiplicidad impar de un factor no cancelado y dentro del dominio.
Necesito una pista
Probá un caso simple de la situación y contrastalo mediante factorización, dominio y comportamiento global sin mirar todavía la respuesta final.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La función cambia de signo y la gráfica cruza el eje en esa raíz; la conclusión exige que el factor no se cancele y que el punto pertenezca al dominio.
La función cambia de signo y la gráfica cruza el eje en esa raíz; la conclusión exige que el factor no se cancele y que el punto pertenezca al dominio. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 8
Consigna
Para f(x)=−2x⁵+3x²−1, ¿qué comportamiento domina cuando x→+∞?
Necesito una pista
Atendé sólo al término de mayor grado y a su coeficiente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: f(x)→−∞
El término −2x⁵ domina; grado impar y coeficiente negativo llevan el extremo derecho hacia −∞.
Ejercicio 9
Consigna
Analizá ceros y cambios de signo de p(x)=(x+2)²(x−3).
Necesito una pista
Leé multiplicidad en los exponentes de los factores.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los ceros son −2, doble, y 3, simple. En −2 la gráfica toca sin cambiar de signo; en 3 cruza y cambia de signo.
Una multiplicidad par conserva el signo local; una impar lo cambia, si el factor no fue cancelado.
Ejercicio 10
Consigna
¿Cuál es el dominio de g(x)=1/(x²−9)?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál es el dominio de g(x)=1/(x²−9). Para trabajar Determinar dominio, huecos y asíntotas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: R sin {−3,3}
La respuesta correcta es R sin {−3,3}. x²−9=(x−3)(x+3). ambos valores anulan el denominador.
Ejercicio 11
Consigna
Describí las asíntotas de h(x)=2/(x−4)+1 y su relación con la traslación de 1/x.
Necesito una pista
Igualá el denominador a cero y observá el valor al que tiende el término fraccionario.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Tiene asíntota vertical x=4 y horizontal y=1; es la gráfica de 2/x trasladada 4 a la derecha y 1 hacia arriba.
La traslación mueve las asíntotas desde x=0,y=0 hasta x=4,y=1.
Ejercicio 12
Consigna
En r(x)=(x−1)(x+2)/(x−1), ¿qué afirmación es correcta?
Necesito una pista
La simplificación no recupera valores prohibidos por la expresión original.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El dominio excluye x=1 aunque la expresión se simplifique a x+2
Hay un hueco en x=1: el factor se cancela para otros valores, pero 0/0 sigue indefinido allí.
Ejercicio 13
Consigna
Un modelo C(x)=1200/x+35 representa costo por persona. Indicá dominio contextual y comportamiento.
Necesito una pista
Representá la situación con factorización, dominio y comportamiento global. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x es entero positivo; al crecer el grupo, 1200/x disminuye y C se acerca a 35.
x es entero positivo; al crecer el grupo, 1200/x disminuye y C se acerca a 35. La conclusión se obtiene al aplicar factorización, dominio y comportamiento global y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 14
Consigna
Compará 1/x y 1/(x−2)+3 mediante transformaciones.
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factorización, dominio y comportamiento global que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La segunda traslada 1/x dos unidades a la derecha y tres arriba; asíntotas x=2,y=3.
La segunda traslada 1/x dos unidades a la derecha y tres arriba; asíntotas x=2,y=3. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 15
Consigna
¿Qué describe (x−2)(x+3)/(x−2)?
Necesito una pista
Simplificá sin recuperar el valor excluido del dominio original.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La recta y=x+3 con un hueco en (2,5)
La expresión vale x+3 sólo para x≠2; queda un hueco en (2,5).
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Pablo incluye x=4 en el dominio de (x−1)/(x−4).». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Sustituí x=4 en el denominador antes de evaluar la función; un cociente sólo existe si su denominador no es cero.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=4 anula el denominador y debe excluirse.
x=4 anula el denominador y debe excluirse. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Ana afirma que una raíz doble siempre cruza el eje.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Analizá el signo de (x−r)² a ambos lados de r y decidí si una potencia par puede cambiar de signo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Con multiplicidad par el signo no cambia: típicamente toca y vuelve.
Con multiplicidad par el signo no cambia: típicamente toca y vuelve. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Pedro resolvió “¿Qué idea es central para detectar dónde una función se anula o deja de estar definida?” y escribió “multiplicidad”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Pedro con la condición de Determinar dominio, huecos y asíntotas. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción multiplicidad conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Determinar dominio, huecos y asíntotas.. La corrección usa Determinar dominio, huecos y asíntotas: ceros y factores.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Determinar dominio, huecos y asíntotas. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Determinar dominio, huecos y asíntotas en la consigna ¿Qué idea es central para detectar dónde una función… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Qué gráfico global corresponde a un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo?
Necesito una pista
Usá el signo de xⁿ para n par cuando |x| es grande.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ambos extremos ascienden
xⁿ es positivo en ambos extremos y el coeficiente principal positivo conserva ese signo.
Ejercicio 20
Consigna
Para p(x)=−(x−2)³(x+1)², indicá ceros, multiplicidades y comportamiento al cruzarlos.
Necesito una pista
Ubicá primero Para p(x)=−(x−2)³(x+1)², indicá ceros, multiplicidades y comportamiento al cruzarlos. Para trabajar Analizar ceros y multiplicidad, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=2 tiene multiplicidad 3 y la gráfica cruza; x=−1 tiene multiplicidad 2 y la gráfica toca. El signo global también incluye el factor −1.
Una respuesta suficiente debe sostener Analizar ceros y multiplicidad con datos y una propiedad explícita. Las multiplicidades impar y par determinan cruce y contacto respectivamente.
Ejercicio 21
Consigna
¿Cuál función tiene asíntota vertical x=−2 y horizontal y=3?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál función tiene asíntota vertical x=−2 y horizontal y=3. Para trabajar Determinar dominio, huecos y asíntotas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: f(x)=5/(x+2)+3
La respuesta correcta es f(x)=5/(x+2)+3. x+2=x−(−2) fija h=−2 y el desplazamiento exterior fija k=3.
Ejercicio 22
Consigna
Un costo medio es C(q)=900/q+12 para q>0. Interpretá el límite cuando q crece y explicá qué no significa.
Necesito una pista
Separá tendencia asintótica de igualdad efectiva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Cuando q crece, 900/q→0 y C(q) se acerca a 12 por encima. No significa que el costo medio alcance exactamente 12 para una producción finita.
La asíntota horizontal describe un límite; el término 900/q sigue siendo positivo para todo q finito.
Ejercicio 23
Consigna
¿En qué punto tiene un hueco (x²−4)/(x−2)?
Necesito una pista
Simplificá a x+2 manteniendo la restricción x≠2.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (2,4)
La gráfica coincide con y=x+2 salvo en x=2; allí el valor que falta sería 4.
Ejercicio 24
Consigna
Pablo incluyó x=4 en el dominio de (x−1)/(x−4). ¿Qué reparación corresponde?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=4 anula el denominador y debe excluirse.
x=4 anula el denominador y debe excluirse. La conclusión se obtiene al aplicar factorización, dominio y comportamiento global y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 25
Consigna
Determiná dominio y huecos de (x²−9)/(x−3).
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de factorización, dominio y comportamiento global que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Dominio R\{3}; simplifica a x+3 para x≠3 y tiene hueco en (3,6).
Dominio R\{3}; simplifica a x+3 para x≠3 y tiene hueco en (3,6). El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar factorización, dominio y comportamiento global.
Ejercicio 26
Consigna
Distinguí cero, hueco y asíntota vertical desde la factorización de una racional.
Necesito una pista
Representá el dato central de Distinguí cero, hueco y asíntota vertical desde la factorización de una racional. Para trabajar Determinar dominio, huecos y asíntotas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un cero anula el numerador sin anular el denominador. Un factor común cancelado deja un valor excluido y un hueco. Un factor del denominador que permanece tras simplificar produce una asíntota vertical, salvo casos degenerados que deben verificarse.
Una respuesta suficiente debe sostener Determinar dominio, huecos y asíntotas con datos y una propiedad explícita. Un cero anula el numerador sin anular el denominador. Un factor común cancelado deja un valor excluido y un hueco. Un factor del denominador que permanece tras simplificar produce una asíntota vertical, salvo casos degenerados que deben verificarse. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.