tabla
Representá Ecuación cuadrática completa y discriminante con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con deducir y aplicar fórmula. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática; el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y los cortes de la parábola.
Ya podés deducir y aplicar fórmula y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a deducir y aplicar fórmula. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- factorización de cuadráticas.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones lineales. Respuesta. Producto nulo.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-alg-02.
- potencias y radicales.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente sin radical en el denominador. Respuesta: racionalización.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-04-num-03.
La idea
el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y los cortes de la parábola. Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática: el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y los cortes de la parábola. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es deducir y aplicar fórmula. El segundo es anticipar cantidad de soluciones. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Cuadráticas incompletas y factorización con sentido: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder interpretar raíces en contexto con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de x²+4x−5=0. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática: el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y….
Ejemplo resuelto
Identificar a=2,b=−3,c=−2 y calcular Δ=25. Aplicar x=(3±5)/4. Obtener x=2 y x=−1/2: sustituir ambas. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió x²−4=0 al resolver ¿Cuál ecuación tiene exactamente una solución real.
Por qué tienta: Considera sólo la raíz positiva de 4 y omite x=−2.
Cómo repararlo: Factorizá como diferencia de cuadrados y contá las raíces reales distintas.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática: el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y los cortes de la….
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás deducir y aplicar fórmula con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Ecuación cuadrática completa y discriminante.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Ecuación cuadrática completa y discriminante trabaja este objeto matemático. Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática. el discriminante anticipa la cantidad de raíces reales y los cortes de la parábola.
Qué hace falta antes
- factorización de cuadráticas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones lineales. Respuesta. Producto nulo.
- potencias y radicales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué idea es central para elegir una escritura equivalente sin radical en el denominador. Respuesta. racionalización.
Dos representaciones
tabla
Representá Ecuación cuadrática completa y discriminante con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con deducir y aplicar fórmula. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de x²+4x−5=0. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Completar cuadrados y la fórmula general resuelven toda cuadrática. el discriminante anticipa la… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder x²−4=0. Se reconoce porque Elige x²−4=0 como ecuación de una sola solución. Reparación. Factorizá como diferencia de cuadrados y contá las raíces reales distintas.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
discriminante Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «completar cuadrados» y distinguílo de «fórmula general».
Necesito una pista
Resolvé una cuadrática sencilla de dos maneras: transformala en un cuadrado perfecto y luego compará con la sustitución directa en la fórmula general.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En x²+6x+5=0, completar cuadrados da (x+3)²=4; la fórmula general aplica directamente a a=1,b=6,c=5. Son métodos distintos que producen x=−1 y x=−5.
En x²+6x+5=0, completar cuadrados da (x+3)²=4; la fórmula general aplica directamente a a=1,b=6,c=5. Son métodos distintos que producen x=−1 y x=−5.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática?
Necesito una pista
Buscá una expresión construida con a, b y c cuyo signo determine si hay cero, una o dos soluciones reales.
Respuesta y fundamento
Respuesta: discriminante
discriminante. La conclusión se obtiene al aplicar forma cuadrática, discriminante y verificación y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas».
Necesito una pista
Compará ejemplos con discriminante positivo, cero y negativo; vinculá cada signo con la cantidad de raíces reales.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=b²−4ac determina dos, una o ninguna raíz real según sea positivo, cero o negativo.
Δ=b²−4ac determina dos, una o ninguna raíz real según sea positivo, cero o negativo. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Dos raíces» y «Raíz doble». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Sin raíces reales», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: El signo positivo del discriminante anticipa dos soluciones.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son Δ=25 → dos cortes reales; Δ=0 → vértice sobre el eje x; Δ=−8 → ningún corte. Se conservan estas relaciones: El signo positivo del discriminante anticipa dos soluciones. La raíz tiene multiplicidad dos y la gráfica toca. La fórmula conduce a raíz de un negativo fuera de R.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. La raíz tiene multiplicidad dos y la gráfica toca.
Ejercicio 5
Consigna
Resolvé x²+4x−5=0.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá forma cuadrática, discriminante y verificación; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=36; x=(−4±6)/2, por lo que x=1 o x=−5.
Δ=36; x=(−4±6)/2, por lo que x=1 o x=−5. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 6
Consigna
Calculá Δ de 3x²+2x+5=0.
Necesito una pista
Representá la situación con forma cuadrática, discriminante y verificación. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -56
-56. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 7
Consigna
Si Δ<0, ¿qué ocurre en R?
Necesito una pista
En la situación, separá lo conocido de lo buscado y elegí una relación de forma cuadrática, discriminante y verificación que conecte ambos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: no hay raíces reales
no hay raíces reales. La conclusión se obtiene al aplicar forma cuadrática, discriminante y verificación y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 8
Consigna
Resolvé x²−6x+2=0 completando cuadrados.
Necesito una pista
Sumá el cuadrado de la mitad de −6 a ambos miembros.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x²−6x+9=7, entonces (x−3)²=7 y x=3±√7.
Completar cuadrados conserva la igualdad y muestra las dos raíces mediante ±.
Ejercicio 9
Consigna
Sin resolver, ¿cuántas raíces reales tiene 2x²+3x+5=0?
Necesito una pista
Ubicá primero Sin resolver, ¿cuántas raíces reales tiene 2x²+3x+5=0. Para trabajar Resolver cuadráticas conservando equivalencia, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: ninguna
La respuesta correcta es ninguna. Δ=9−40=−31<0. la parábola no corta el eje x.
Ejercicio 10
Consigna
Para x²+kx+9=0 con raíz doble, escribí el valor positivo de k.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Para x²+kx+9=0 con raíz doble, escribí el valor positivo de k. Para trabajar Interpretar el discriminante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
La respuesta correcta es 6. k²=36 da k=±6. el valor positivo pedido es 6.
Ejercicio 11
Consigna
¿Qué vínculo entre Δ y la parábola es correcto?
Necesito una pista
Relacioná raíces reales con intersecciones y multiplicidad.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=0: la parábola es tangente al eje x
Una única raíz doble corresponde a un solo punto de contacto con el eje x.
Ejercicio 12
Consigna
La altura h(t)=−5t²+20t+1 modela un objeto. Interpretá por qué una raíz negativa debe descartarse al buscar cuándo toca el suelo.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en La altura h(t)=−5t²+20t+1 modela un objeto. Interpretá por qué una raíz negativa…. Para trabajar Interpretar soluciones cuadráticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La ecuación h(t)=0 puede tener dos raíces algebraicas, pero el modelo comienza en t=0; una raíz negativa representa un tiempo anterior al lanzamiento y queda fuera del dominio contextual.
Una respuesta suficiente debe sostener Interpretar soluciones cuadráticas con datos y una propiedad explícita. Interpretar raíces exige comprobar dominio, unidades y sentido físico.
Ejercicio 13
Consigna
El área de un rectángulo de lados x y x+4 es 96. Hallá dimensiones positivas.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá forma cuadrática, discriminante y verificación; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x²+4x−96=0; x=8 o −12; dimensiones 8 y 12.
x²+4x−96=0; x=8 o −12; dimensiones 8 y 12. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 14
Consigna
Construí una cuadrática con vértice sobre el eje x y explicá el discriminante.
Necesito una pista
Representá la situación con forma cuadrática, discriminante y verificación. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo (x−2)²=0; tiene raíz doble x=2 y Δ=0.
Por ejemplo (x−2)²=0; tiene raíz doble x=2 y Δ=0. La conclusión se obtiene al aplicar forma cuadrática, discriminante y verificación y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 15
Consigna
¿Cuál cuadrática tiene vértice sobre el eje x y raíz doble 3?
Necesito una pista
Para trabajar Interpretar el discriminante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x−3)²=0
La respuesta correcta es (x−3)²=0. (x−3)²=0 tiene Δ=0 y vértice (3,0).
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Mia calcula Δ=b²−4ac y escribe (−3)² como −9.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Escribí (−3)² como producto con paréntesis antes de reemplazarlo en el discriminante.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El cuadrado de −3 es 9; los paréntesis son necesarios.
El cuadrado de −3 es 9; los paréntesis son necesarios. La conclusión se obtiene al aplicar forma cuadrática, discriminante y verificación y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Juan conserva la raíz negativa de una longitud sin interpretarla.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Separá las raíces algebraicas del dominio físico: una longitud debe satisfacer además la restricción de positividad y conservar su unidad.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La raíz algebraica puede ser válida en la ecuación, pero una longitud debe cumplir la restricción positiva.
La raíz algebraica puede ser válida en la ecuación, pero una longitud debe cumplir la restricción positiva. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Olivia resolvió “¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales tiene una cuadrática?” y escribió “completar cuadrados”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Olivia con la condición de Interpretar el discriminante. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción completar cuadrados conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Interpretar el discriminante.. La corrección usa Interpretar el discriminante: discriminante.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Interpretar el discriminante. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Interpretar el discriminante en la consigna ¿Qué idea es central para anticipar cuántas soluciones reales… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Resolvé 3x²−2x−1=0 con fórmula general y verificá una raíz.
Necesito una pista
Para trabajar Resolver cuadráticas conservando equivalencia, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Δ=16; x=(2±4)/6, de modo que x=1 o x=−1/3. Por ejemplo, 3−2−1=0.
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver cuadráticas conservando equivalencia con datos y una propiedad explícita. La sustitución confirma que la transformación algebraica no introdujo errores.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál ecuación tiene exactamente una solución real?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál ecuación tiene exactamente una solución real. Para trabajar Resolver cuadráticas conservando equivalencia, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4x²+4x+1=0
La respuesta correcta es 4x²+4x+1=0. 4x²+4x+1=(2x+1)² y su única raíz es −1/2.
Ejercicio 21
Consigna
En x²−8x+c=0, hallá c para que la raíz doble sea 4.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte En x²−8x+c=0, hallá c para que la raíz doble sea 4. Para trabajar Interpretar el discriminante, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 16
La respuesta correcta es 16. (x−4)²=x²−8x+16. por eso c=16.
Ejercicio 22
Consigna
Una parcela rectangular tiene perímetro 34 m y área 60 m². Hallá sus lados.
Necesito una pista
Representá el dato central de Una parcela rectangular tiene perímetro 34 m y área 60 m². Hallá…. Para trabajar Interpretar soluciones cuadráticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si los lados son x y 17−x, x(17−x)=60; x²−17x+60=0=(x−5)(x−12), así que mide 5 m por 12 m.
Una respuesta suficiente debe sostener Interpretar soluciones cuadráticas con datos y una propiedad explícita. Ambas raíces son positivas y representan los mismos dos lados intercambiados.
Ejercicio 23
Consigna
Si una cuadrática tiene a<0 y Δ<0, ¿qué puede afirmarse?
Necesito una pista
Sin raíces no hay cortes; el signo de a indica apertura.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Su gráfica queda completamente debajo del eje x
Abre hacia abajo y nunca vale cero; por continuidad, todos sus valores son negativos.
Ejercicio 24
Consigna
Mia tomó (−3)²=−9 al calcular Δ. ¿Qué reparación conserva el cuadrado?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El cuadrado de −3 es 9; los paréntesis son necesarios.
El cuadrado de −3 es 9; los paréntesis son necesarios. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con forma cuadrática, discriminante y verificación.
Ejercicio 25
Consigna
Resolvé x²+6x+1=0 completando cuadrados.
Necesito una pista
Representá la situación con forma cuadrática, discriminante y verificación. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x+3)²=8; x=−3±2√2.
(x+3)²=8; x=−3±2√2. La conclusión se obtiene al aplicar forma cuadrática, discriminante y verificación y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 26
Consigna
Justificá la fórmula general completando cuadrados en ax²+bx+c=0, con a≠0.
Necesito una pista
Representá el dato central de Justificá la fórmula general completando cuadrados en ax²+bx+c=0, con a≠0. Para trabajar Resolver cuadráticas conservando equivalencia, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Dividir por a, trasladar c/a y completar (x+b/2a)² produce (b²−4ac)/(4a²). Al extraer raíces se obtiene x=(−b±√(b²−4ac))/(2a).
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver cuadráticas conservando equivalencia con datos y una propiedad explícita. Dividir por a, trasladar c/a y completar (x+b/2a)² produce (b²−4ac)/(4a²). Al extraer raíces se obtiene x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.