tabla
Representá Sucesiones aritméticas y geométricas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer estructura. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas cambio multiplicativo constante mediante recurrencias y términos generales.
Ya podés reconocer estructura y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a reconocer estructura. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- funciones lineales.
Comprobación de treinta segundos. La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4. Respuesta. La sucesión es 4, 7, 10, 13: la diferencia constante es 3.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-01.
- potencias.
Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-alg-01.
La idea
Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas cambio multiplicativo constante mediante recurrencias y términos generales. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es reconocer estructura. El segundo es producir y validar fórmula. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Generalización y equivalencia de fórmulas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder modelizar procesos discretos con un caso que no copie el ejemplo. Volvé a producir y validar fórmula. Decí qué dato lo habilita, qué propiedad usás y qué control podría contradecir tu conclusión.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de En 5,8,11,… hallá a20. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas: cambio multiplicativo constante mediante recurrencias y términos generales.
Ejemplo resuelto
Detectar diferencia común d=4. Usar aₙ=a₁+(n−1)d=3+4(n−1). Simplificar aₙ=4n−1 y verificar para n=1 y n=4. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió -10 al resolver Para aₙ=50−4(n−1), calculá a₁₅.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con usar 50−4n y contar quince descensos en vez de los catorce que separan a₁ de a₁₅.
Cómo repararlo: Desde el primer término hasta el término n hay n−1 saltos: sustituí n=15 sin eliminar el −1.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas cambio multiplicativo constante mediante recurrencias y términos: generales.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás reconocer estructura con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Sucesiones aritméticas y geométricas.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Sucesiones aritméticas y geométricas trabaja este objeto matemático. Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas cambio multiplicativo constante mediante recurrencias y términos generales.
Qué hace falta antes
- funciones lineales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. La figura 1 usa 4 fósforos y cada figura agrega 3. Escribí los términos 1 a 4. Respuesta. La sucesión….
- potencias. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
Dos representaciones
tabla
Representá Sucesiones aritméticas y geométricas con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer estructura. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de En 5,8,11,… hallá a20. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Las sucesiones aritméticas modelizan cambio aditivo constante y las geométricas.…. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder -10. Se reconoce porque Ingresa −10 al evaluar el término 15. Reparación. Desde el primer término hasta el término n hay n−1 saltos. sustituí n=15 sin eliminar el −1.
Comprobación rápida
¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
término general Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Explicá con un ejemplo qué significa «término general» y distinguílo de «recurrencia».
Necesito una pista
Usá una sucesión sencilla, como 3,5,7,…: compará una fórmula que dé aₙ directamente con una regla que obtenga cada término desde el anterior.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para 3,5,7,…, aₙ=2n+1 permite hallar cualquier término directamente; a₁=3 y aₙ₊₁=aₙ+2 define la misma sucesión mediante recurrencia.
Para 3,5,7,…, aₙ=2n+1 permite hallar cualquier término directamente; a₁=3 y aₙ₊₁=aₙ+2 define la misma sucesión mediante recurrencia.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores?
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá índice, diferencia o razón y cantidad de términos; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: término general
término general. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí y justificá: «Toda sucesión creciente crece con diferencia constante».
Necesito una pista
Compará las sucesiones n y n² en varios índices: ambas crecen, pero revisá si sus diferencias consecutivas son constantes.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Crecer solo indica orden; una sucesión puede ser aritmética, geométrica o de otra clase.
Crecer solo indica orden; una sucesión puede ser aritmética, geométrica o de otra clase. La conclusión se obtiene al aplicar índice, diferencia o razón y cantidad de términos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 4
Consigna
Antes de mover el recurso, compará los estados «Aritmética» y «Geométrica». Predecí qué cambia y qué conserva el estado «Suma finita», y luego contrastá con las salidas.
Necesito una pista
Escribí una predicción usando una de estas relaciones: Las primeras diferencias permanecen constantes.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las salidas son 4,7,10,13; d=3; 5,10,20,40; r=2; 3+7+11+15=4(3+15)/2=36. Se conservan estas relaciones: Las primeras diferencias permanecen constantes. Los cocientes consecutivos permanecen constantes. Emparejar extremos conserva la suma y revela pares iguales.
El recurso no ilustra solamente: los tres estados verifican relaciones diferentes y permiten contrastar la predicción. Los cocientes consecutivos permanecen constantes.
Ejercicio 5
Consigna
En 5,8,11,… hallá a20.
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 62
62. La conclusión se obtiene al aplicar índice, diferencia o razón y cantidad de términos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 6
Consigna
En 3,6,12,… hallá a8.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá índice, diferencia o razón y cantidad de términos; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 384
384. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 7
Consigna
Escribí recurrencia para aₙ=7−2n.
Necesito una pista
Representá la situación con índice, diferencia o razón y cantidad de términos. Revisá la condición que habilita cada transformación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a₁=5 y aₙ₊₁=aₙ−2.
a₁=5 y aₙ₊₁=aₙ−2. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 8
Consigna
En la sucesión aritmética 7,12,17,…, calculá a₄₀.
Necesito una pista
Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 202
La respuesta correcta es 202. a₄₀=7+39·5=202.
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál recurrencia genera 3,6,12,24,…?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál recurrencia genera 3,6,12,24,…. Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a₁=3; aₙ=2aₙ₋₁
La respuesta correcta es a₁=3. aₙ=2aₙ₋₁. Cada término duplica el anterior. la razón geométrica es 2.
Ejercicio 10
Consigna
Hallá la suma de los primeros 20 múltiplos positivos de 4.
Necesito una pista
Emparejá primer y último término o usá la fórmula de suma aritmética.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 840
Hay 20 términos y cada par simétrico suma 84; diez pares dan 840.
Ejercicio 11
Consigna
Dos planes parten de 100: A suma 30 por mes; B multiplica por 1,2. ¿Qué afirmación es segura a largo plazo?
Necesito una pista
No compares 30 con 1,2: uno es diferencia y otro factor.
Respuesta y fundamento
Respuesta: B termina superando a A por crecimiento multiplicativo
La aritmética crece linealmente; la geométrica con razón mayor que 1 crece exponencialmente y finalmente domina.
Ejercicio 12
Consigna
Una colonia tiene 500 bacterias y se triplica cada 2 horas. Escribí una fórmula para los instantes 0,2,4,… horas.
Necesito una pista
Definí con claridad qué cuenta el índice antes de escribir el exponente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si n cuenta períodos de 2 horas, aₙ=500·3ⁿ; en tiempo t par, N(t)=500·3^(t/2).
Cada período completo aplica una multiplicación por 3; t/2 cuenta esos períodos.
Ejercicio 13
Consigna
Un teatro tiene 18 asientos en la primera fila y agrega 3 por fila. ¿Cuántos hay en la fila 25?
Necesito una pista
Localizá en la situación qué debe permanecer invariante; controlalo con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a25=18+24·3=90 asientos.
a25=18+24·3=90 asientos. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 14
Consigna
Una colonia parte de 40 y aumenta 50% por período. Modelizá el período n.
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá índice, diferencia o razón y cantidad de términos; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: aₙ=40·1,5ⁿ si n=0 es el inicio; es crecimiento geométrico.
aₙ=40·1,5ⁿ si n=0 es el inicio; es crecimiento geométrico. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 15
Consigna
Un teatro tiene 15 asientos en la primera fila y agrega 2 por fila. ¿Cuántos asientos suman las primeras 20 filas?
Necesito una pista
Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 680
La respuesta correcta es 680. a₂₀=15+19·2=53 y S₂₀=20(15+53)/2=680.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá: «Vale usa aₙ=a₁+nd y obtiene un término desplazado.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Contá cuántos saltos hay desde a₁ hasta aₙ; comprobalo primero con el caso n=2.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Debe contar n−1 saltos desde a₁: aₙ=a₁+(n−1)d.
Debe contar n−1 saltos desde a₁: aₙ=a₁+(n−1)d. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá: «Ivo llama geométrica a 2,4,6,8 porque aumenta regularmente.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Calculá diferencias y cocientes consecutivos en 2,4,6,8; sólo uno de esos dos patrones permanece constante.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diferencia es constante 2; la razón cambia, así que es aritmética.
La diferencia es constante 2; la razón cambia, así que es aritmética. La conclusión se obtiene al aplicar índice, diferencia o razón y cantidad de términos y conservar las condiciones del enunciado.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Nicolás resolvió “¿Qué idea es central para predecir un término lejano sin listar todos los anteriores?” y escribió “recurrencia”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Nicolás con la condición de Modelar sucesiones geométricas. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción recurrencia conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Modelar sucesiones geométricas.. La corrección usa Modelar sucesiones geométricas: término general.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Modelar sucesiones geométricas. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Modelar sucesiones geométricas en la consigna ¿Qué idea es central para predecir un término lejano… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Para aₙ=50−4(n−1), calculá a₁₅.
Necesito una pista
Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: -6
La respuesta correcta es -6. a₁₅=50−4·14=−6.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál fórmula suma 5+10+20+40+80?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál fórmula suma 5+10+20+40+80. Para trabajar Calcular sumas finitas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5(2⁵−1)/(2−1)
La respuesta correcta es 5(2⁵−1)/(2−1). S₅=a₁(r⁵−1)/(r−1)=5(32−1)=155.
Ejercicio 21
Consigna
Una fila tiene 14 baldosas y cada fila siguiente agrega 2. ¿Cuántas baldosas hay en las primeras 30 filas?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Una fila tiene 14 baldosas y cada fila siguiente agrega 2. ¿Cuántas…. Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a₃₀=14+29·2=72 y S₃₀=30(14+72)/2=1290 baldosas.
Una respuesta suficiente debe sostener Modelar sucesiones aritméticas con datos y una propiedad explícita. La suma finita cuenta todas las filas, no sólo la trigésima.
Ejercicio 22
Consigna
¿Qué dato distingue una sucesión geométrica de una aritmética?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Qué dato distingue una sucesión geométrica de una aritmética. Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El cociente constante entre términos consecutivos
La respuesta correcta es El cociente constante entre términos consecutivos. La diferencia constante caracteriza la aritmética. el cociente constante, la geométrica.
Ejercicio 23
Consigna
Compará 2ⁿ y 10n para n=5 y n=10 y explicá por qué dos casos no prueban qué ocurre siempre.
Necesito una pista
Calculá ambos pares y separá evidencia numérica de demostración general.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para n=5: 32<50; para n=10: 1024>100. Los casos muestran un cruce, pero una afirmación general requiere analizar las tasas o demostrarla.
El crecimiento multiplicativo aumenta su propia diferencia; una tabla finita orienta una conjetura, no la prueba por sí sola.
Ejercicio 24
Consigna
Vale usó aₙ=a₁+nd y desplazó todos los términos. ¿Qué reparación controla el índice?
Necesito una pista
Identificá la propiedad que se quebró y elegí la intervención que permite comprobarla con un caso mínimo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Debe contar n−1 saltos desde a₁: aₙ=a₁+(n−1)d.
Debe contar n−1 saltos desde a₁: aₙ=a₁+(n−1)d. El control decisivo es volver a los datos de esta actividad; una respuesta equivalente debe respetar índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 25
Consigna
Hallá término general de 12,9,6,3,…
Necesito una pista
Para la situación, anotá primero los datos y usá índice, diferencia o razón y cantidad de términos; anticipá el signo o tamaño antes de cerrar.
Respuesta y fundamento
Respuesta: aₙ=12−3(n−1)=15−3n.
aₙ=12−3(n−1)=15−3n. La relación usada coordina los registros de esta tarea y se verifica con índice, diferencia o razón y cantidad de términos.
Ejercicio 26
Consigna
Compará aₙ₊₁/aₙ en una sucesión aritmética y una geométrica.
Necesito una pista
Representá el dato central de aₙ₊₁/aₙ en una sucesión aritmética y una geométrica. Para trabajar Modelar sucesiones aritméticas, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En una geométrica no nula, aₙ₊₁/aₙ=r es constante. En una aritmética, aₙ₊₁/aₙ=(aₙ+d)/aₙ=1+d/aₙ y en general varía; la diferencia, no el cociente, es constante.
Una respuesta suficiente debe sostener Modelar sucesiones aritméticas con datos y una propiedad explícita. En una geométrica no nula, aₙ₊₁/aₙ=r es constante. En una aritmética, aₙ₊₁/aₙ=(aₙ+d)/aₙ=1+d/aₙ y en general varía. la diferencia, no el cociente, es constante. Se aceptan formulaciones equivalentes con las mismas condiciones y un control válido.