recta numérica
Representá Irracionales y necesidad de ampliar Q con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Algunas longitudes y razones no pueden expresarse como fracción; sus desarrollos desarrollos desarrollos decimales infinitos no periódicos amplían los racionales a los reales.
Ya podés Reconocer cuándo Q resulta insuficiente y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- números racionales y densidad.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. ¿Cuál número es irracional. Respuesta. √2.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-num-05.
- teorema de Pitágoras.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál número queda exactamente entre 2/3 y 3/4 en la recta. Respuesta. 17/24.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-num-01.
La idea
sus desarrollos desarrollos desarrollos decimales infinitos no periódicos amplían los racionales a los reales. Algunas longitudes y razones no pueden expresarse como fracción: sus decimales infinitos no periódicos amplían los racionales a los reales. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. El segundo es Distinguir valor exacto de aproximación. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Primer encuentro con irracionales y números reales: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Ubicar irracionales mediante acotaciones con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para nombrar exactamente la diagonal de un cuadrado…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Algunas longitudes y razones no pueden expresarse como fracción: sus desarrollos desarrollos desarrollos decimales infinitos no periódicos amplían….
Ejemplo resuelto
Comparar cuadrados. 1²<2<2². Probar décimos. 1,4²=1,96 y 1,5²=2,25. Concluir 1,4<√2<1,5 sin confundir el intervalo con el valor exacto. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió Todo decimal infinito es irracional al resolver ¿Cuál afirmación es verdadera.
Por qué tienta: La elección es compatible con omitir que los decimales infinitos periódicos representan racionales.
Cómo repararlo: Separá «infinito» de «no periódico» y buscá un contraejemplo periódico.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Algunas longitudes y razones no pueden expresarse como fracción: sus desarrollos desarrollos desarrollos decimales infinitos no periódicos amplían los racionales a los….
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Reconocer cuándo Q resulta insuficiente con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Irracionales y necesidad de ampliar Q.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Irracionales y necesidad de ampliar Q trabaja este objeto matemático. Algunas longitudes y razones no pueden expresarse como fracción. sus desarrollos desarrollos desarrollos decimales infinitos no periódicos amplían los racionales a los reales.
Qué hace falta antes
- números racionales y densidad. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. ¿Cuál número es irracional. Respuesta. √2.
- teorema de Pitágoras. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál número queda exactamente entre 2/3 y 3/4 en la recta. Respuesta. 17/24.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Irracionales y necesidad de ampliar Q con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para nombrar exactamente la diagonal de un cuadrado…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Algunas… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde. controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder Todo decimal infinito es irracional. Se reconoce porque Elige que todo decimal infinito es irracional. Reparación. Separá «infinito» de «no periódico» y buscá un contraejemplo periódico.
Comprobación rápida
¿Cuál escritura representa un irracional. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
¿Cuál escritura representa un irracional?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Ubicar irracionales mediante acotaciones. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente
La regla de bloques crecientes impide periodicidad; los otros decimales son racionales.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea resulta central para nombrar exactamente la diagonal de un cuadrado unitario?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: número irracional
número irracional Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Todo decimal infinito es irracional».
Necesito una pista
Usá Ubicar irracionales mediante acotaciones: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí la diagonal al variar el lado y trasladá su longitud a la recta. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Necesito una pista
Usá Distinguir valor exacto de aproximación: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una predicción verificable es: con «Diagonal unitaria» se obtiene «√2» y se conserva «La longitud exacta no depende de una aproximación decimal.». Debe contrastarse antes de cambiar otro parámetro.
El estado confirma «√2» y la invariancia matemática es «La longitud exacta no depende de una aproximación decimal.»; la predicción debía anticipar ambas relaciones.
Ejercicio 5
Consigna
¿Cuál es irracional?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál es irracional. Para trabajar Ubicar irracionales mediante acotaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √3
La respuesta correcta es √3. √3 Un decimal infinito periódico es racional. la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 6
Consigna
Ubicá √10 entre dos enteros consecutivos.
Necesito una pista
Usá Ubicar irracionales mediante acotaciones: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3<√10<4 porque 9<10<16.
3<√10<4 porque 9<10<16. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 7
Consigna
¿Qué escritura es exacta para la diagonal del cuadrado de lado 5?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Distinguir valor exacto de aproximación. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5√2
5√2 Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 8
Consigna
¿Cuál caracterización es completa?
Necesito una pista
Para trabajar Ubicar irracionales mediante acotaciones, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un irracional tiene desarrollo decimal infinito no periódico
La respuesta correcta es Un irracional tiene desarrollo decimal infinito no periódico. Los finitos y los infinitos periódicos son racionales.
Ejercicio 9
Consigna
Construí √5 en la recta usando un triángulo rectángulo y describí el traslado.
Necesito una pista
Usá Reconocer cuándo Q resulta insuficiente: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Construyo catetos 1 y 2; la hipotenusa mide √5 por Pitágoras y con compás traslado esa longitud desde 0 sobre la recta.
1²+2²=5 produce exactamente la longitud √5.
Ejercicio 10
Consigna
¿Cuál afirmación distingue exactitud de aproximación?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de aproximación. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √7 es exacto y 2,646 es aproximado
√7≈2,646; un decimal finito es racional y no puede ser igual al irracional.
Ejercicio 11
Consigna
Ubicá π entre dos fracciones decimales de milésimos.
Necesito una pista
Usá decimal no periódico: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,141<π<3,142.
π≈3,141592…, por lo que queda estrictamente entre esos milésimos.
Ejercicio 12
Consigna
¿Cuál número muestra que una raíz no siempre es irracional?
Necesito una pista
Comprobá si el radicando es un cuadrado perfecto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √64
√64=8 es entero; el símbolo radical no determina por sí solo irracionalidad.
Ejercicio 13
Consigna
Un plano exige informar exactamente la diagonal de un cuadrado de lado 12 m y luego aproximarla a centésimos.
Necesito una pista
Organizá los datos para Reconocer cuándo Q resulta insuficiente. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La medida exacta es 12√2 m y su aproximación es 16,97 m.
La medida exacta es 12√2 m y su aproximación es 16,97 m. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 14
Consigna
Explicá por qué medir muchas veces una circunferencia no demuestra que π sea racional.
Necesito una pista
Organizá los datos para Distinguir valor exacto de aproximación. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las mediciones son aproximadas y finitas; no producen una fracción exacta para π.
Las mediciones son aproximadas y finitas; no producen una fracción exacta para π. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 15
Consigna
Una plaza cuadrada tiene lado 18 m. Informá la diagonal en forma exacta y aproximada a centésimos, indicando qué escritura usarías para construir y cuál para comunicar una medida.
Necesito una pista
Organizá los datos para Ubicar irracionales mediante acotaciones. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por Pitágoras d=18√2 m, forma exacta; d≈25,46 m. La forma exacta conserva el valor y la decimal comunica la precisión pedida.
Por Pitágoras d=18√2 m, forma exacta; d≈25,46 m. La forma exacta conserva el valor y la decimal comunica la precisión pedida. Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Ejercicio 16
Consigna
Lara afirma que 0,101001000100001… —con bloques de ceros de longitud creciente— es racional porque solo usa 0 y 1. Localizá el error.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Distinguir valor exacto de aproximación falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los dígitos usados no deciden racionalidad; la regla de bloques crecientes impide un período fijo, por lo que el decimal es irracional.
La ausencia de período, no la variedad de cifras, determina que el decimal infinito sea irracional.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá esta producción: «Ema reemplaza √5 por 2,24 y usa el signo igual.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Ubicar irracionales mediante acotaciones falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2,24 es aproximación; debe conservar √5 como exacto o escribir √5≈2,24.
2,24 es aproximación; debe conservar √5 como exacto o escribir √5≈2,24. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Yamila resolvió “¿Cuál escritura representa un irracional?” y escribió “0,272727…”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Yamila con la condición de Ubicar irracionales mediante acotaciones. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción 0,272727… conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Ubicar irracionales mediante acotaciones.. La corrección usa Ubicar irracionales mediante acotaciones: 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Ubicar irracionales mediante acotaciones. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Ubicar irracionales mediante acotaciones en la consigna ¿Cuál escritura representa un irracional y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Acotá √27 entre dos décimos consecutivos.
Necesito una pista
Aplicá decimal no periódico sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5,1<√27<5,2 porque 26,01<27<27,04.
5,1<√27<5,2 porque 26,01<27<27,04. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuál afirmación es verdadera?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál afirmación es verdadera. Para trabajar Reconocer cuándo Q resulta insuficiente, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Todo racional tiene decimal finito o periódico
La respuesta correcta es Todo racional tiene decimal finito o periódico. Todo racional tiene decimal finito o periódico Un decimal infinito periódico es racional. la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 21
Consigna
¿Cuál decimal es racional?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Cuál decimal es racional. Para trabajar Distinguir valor exacto de aproximación, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 0,123123123…
La respuesta correcta es 0,123123123…. El período 123 se repite. por eso es racional.
Ejercicio 22
Consigna
Justificá 2,23<√5<2,24 sin usar la tecla raíz.
Necesito una pista
Cuadrá 2,23 y 2,24; en positivos, el orden de los cuadrados conserva el encuadre.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2,23²=4,9729<5 y 2,24²=5,0176>5; como ambos son positivos, el orden de cuadrados encuadra √5.
La monotonía del cuadrado en positivos valida el encuadre.
Ejercicio 23
Consigna
¿Qué escritura es exacta para la diagonal de un cuadrado de lado 7?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Qué escritura es exacta para la diagonal de un cuadrado de lado…. Para trabajar Distinguir valor exacto de aproximación, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7√2
La respuesta correcta es 7√2. d²=7²+7²=98, de modo que d=√98=7√2.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción nueva: decidí si 0,110100100010… —con bloques crecientes de ceros— es racional y justificá sin apoyarte en los dígitos usados.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Reconocer cuándo Q resulta insuficiente: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es irracional porque no aparece un bloque periódico fijo: la cantidad de ceros crece y el desarrollo decimal es infinito no periódico.
Es irracional porque no aparece un bloque periódico fijo: la cantidad de ceros crece y el desarrollo decimal es infinito no periódico. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Ejercicio 25
Consigna
Decidí si √49 y √50 son racionales.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Distinguir valor exacto de aproximación: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √49=7 es racional; √50=5√2 es irracional.
√49=7 es racional; √50=5√2 es irracional. Un decimal infinito periódico es racional; la ausencia de período caracteriza a los irracionales.
Ejercicio 26
Consigna
Describí cómo ubicar √n en la recta con la precisión decimal que se pida sin calcularla de una vez.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Ubicar irracionales mediante acotaciones: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Buscar enteros m con m²≤n<(m+1)² y luego refinar décimos, centésimos y demás, cuadrando extremos positivos hasta alcanzar la precisión.
Buscar enteros m con m²≤n<(m+1)² y luego refinar décimos, centésimos y demás, cuadrando extremos positivos hasta alcanzar la precisión. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.