En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k, mientras las áreas escalan con k².
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En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k, mientras las áreas escalan con k².
Ya podés Construir y reconocer figuras semejantes y comprobar el resultado
Una noche necesitás leer un plano, construir una figura o justificar una medida que no puede adivinarse. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar figuras, medidas y propiedades geométricas. La situación obliga a Construir y reconocer figuras semejantes. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Comprobación de treinta segundos. Dos triángulos tienen lados 3,4,5 y 6,8,10. Decidí semejanza. Respuesta. Son semejantes por LLL con razón 2.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-geo-03.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico. Calculá el área de un rectángulo de 8 cm por 8 cm. Respuesta. 64.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-geo-06.
mientras las áreas escalan con k². En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k: mientras las áreas escalan con k². Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. El primer objetivo es Construir y reconocer figuras semejantes. El segundo es Relacionar razones lineales, perímetros y áreas. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Triángulos semejantes y teorema de Tales: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Resolver escalas justificando el exponente con un caso que no copie el ejemplo.
Representá Semejanza, perímetros y áreas con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Construir y reconocer figuras semejantes. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para cambiar el tamaño sin cambiar la forma. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k: mientras las áreas escalan con k².
Calcular la razón lineal k=3/2. Multiplicar cada longitud y el perímetro por 3/2. Multiplicar el área por (3/2)²=9/4. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error: Se escribió 370 al resolver Una maqueta a escala 1:50 tiene una pared de 7,4 cm. ¿Medida real en metros.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con calcular 7,4·50=370 y conservar ese número al cambiar de centímetros a metros.
Cómo repararlo: Separá escala y conversión: primero obtené centímetros reales y luego dividí por 100.
¿Podrías explicarle a alguien por qué En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k: mientras las áreas escalan con k².
Sí, si vinculás Construir y reconocer figuras semejantes con una propiedad y una representación que permita controlarla.
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Semejanza, perímetros y áreas.
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Semejanza, perímetros y áreas trabaja este objeto matemático. En figuras semejantes, las longitudes y perímetros escalan con k. mientras las áreas escalan con k².
Representá Semejanza, perímetros y áreas con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Construir y reconocer figuras semejantes. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para cambiar el tamaño sin cambiar la forma. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde. controlar la respuesta.
Error típico. responder 370. Se reconoce porque Ingresa 370 m como medida real. Reparación. Separá escala y conversión. primero obtené centímetros reales y luego dividí por 100.
¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son semejantes por AA. Resolvelo y nombrá el control usado.
Dos pares de ángulos correspondientes iguales Control. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite.
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son semejantes por AA?
Para trabajar Construir y reconocer figuras semejantes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Recién después elegí una operación.
Respuesta: Dos pares de ángulos correspondientes iguales
La respuesta correcta es Dos pares de ángulos correspondientes iguales. Dos ángulos correspondientes iguales garantizan la misma forma.
¿Qué idea resulta central para cambiar el tamaño sin cambiar la forma?
Probá una opción por vez con el criterio de Relacionar razones lineales, perímetros y áreas. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta: semejanza
semejanza El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Si una figura duplica sus lados, duplica su área».
Usá Resolver escalas justificando el exponente: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta: El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k². El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Predecí perímetro y área antes de mover el factor de escala. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Elegí un valor concreto de k; anticipá por separado el factor del perímetro y el del área antes de mover el control.
Respuesta: Una predicción verificable es: si el factor pasa a k=2, las longitudes y el perímetro se duplican y el área se multiplica por 4. Los ángulos se conservan.
En una homotecia de razón k, cada longitud y el perímetro se multiplican por k, mientras el área se multiplica por k². Para k=2, los factores son 2 y 4.
Un triángulo de perímetro 18 se amplía con k=2,5. ¿Nuevo perímetro?
Representá la relación de razón de perímetros. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta: 45
El perímetro escala linealmente: 18·2,5=45; no se usa k².
Un área de 12 cm² se reduce con k=1/2. ¿Nueva área?
Representá el dato central de Un área de 12 cm² se reduce con k=1/2. ¿Nueva área. Para trabajar Construir y reconocer figuras semejantes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: 3
La respuesta correcta es 3. El área escala con k². 12·(1/2)²=12/4=3 cm².
Si dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes 6 y 9, ¿razón de áreas grande:chica?
Marcá qué cambia en Si dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes 6 y 9, ¿razón de…. Para trabajar Resolver escalas justificando el exponente, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: 9/4
La respuesta correcta es 9/4. 9/4 El área combina dos dimensiones. por eso una escala lineal k produce un factor k².
Triángulos con lados 3,4,5 y 6,8,10: ¿qué criterio verifica semejanza?
Para trabajar Resolver escalas justificando el exponente, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta: LLL con razón 2
La respuesta correcta es LLL con razón 2. 6/3=8/4=10/5=2.
Construí un triángulo semejante al de lados 5,7,8 con factor 3/2 y listá sus lados.
Usá criterios de semejanza: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta: Trazando rayos homotéticos desde un centro con razón 3/2 se obtienen lados 7,5; 10,5 y 12.
La homotecia conserva ángulos y escala todos los lados por 3/2.
Si la razón lineal chica:grande es 2:5, ¿cuál es la razón de perímetros?
Probá una opción por vez con el criterio de razón lineal. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta: 2:5
Cada lado se multiplica por el mismo factor, por lo que también la suma.
Dos polígonos semejantes tienen áreas 45 y 125. ¿Razón lineal grande:chico?
Representá la relación de cuadrado de la razón en áreas. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta: 5/3
La razón lineal es √(125/45)=√(25/9)=5/3; el decimal 1,666… es solo una aproximación.
Explicá por qué dos rectángulos 4×6 y 6×8 no son semejantes aunque ambos crezcan.
Usá criterios de semejanza: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta: Sus razones de lados son 4/6=2/3 y 6/8=3/4, que no coinciden.
La semejanza exige proporcionalidad de lados correspondientes, no solo dimensiones mayores.
Un plano 1:250 muestra un patio rectangular de 3,2 cm por 2 cm. Hallá medidas reales y área.
Organizá los datos para Construir y reconocer figuras semejantes. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta: Mide 8 m por 5 m y su área real es 40 m².
Mide 8 m por 5 m y su área real es 40 m². El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Una foto se amplía de 10×15 cm a 16×24 cm. Justificá si conserva la forma y compará áreas.
Organizá los datos para Relacionar razones lineales, perímetros y áreas. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta: Ambas razones son 1,6; es semejante y el área se multiplica por 1,6²=2,56.
Ambas razones son 1,6; es semejante y el área se multiplica por 1,6²=2,56. El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Un plano a escala 1:200 muestra una sala de 4,5 cm por 3 cm. Hallá dimensiones y área reales y explicá por qué el área no se multiplica solo por 200.
Organizá los datos para Resolver escalas justificando el exponente. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta: Las dimensiones son 9 m y 6 m; el área es 54 m². Cada longitud se multiplica por 200 y el área por 200², luego se convierten cm² a m².
Las dimensiones son 9 m y 6 m; el área es 54 m². Cada longitud se multiplica por 200 y el área por 200², luego se convierten cm² a m². Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Analizá esta producción: «Luz aplica k=3 al área y pasa de 8 a 24 cm².». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de cuadrado de la razón en áreas falla antes de corregir.
Respuesta: Debe aplicar k²=9: el área nueva es 72 cm².
Debe aplicar k²=9: el área nueva es 72 cm². El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Analizá esta producción: «Ben compara lados no correspondientes y concluye que los triángulos no son semejantes.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Emparejá primero los lados opuestos a ángulos correspondientes y recién después compará cocientes.
Respuesta: Las razones deben formarse con lados homólogos según los ángulos correspondientes.
Las razones deben formarse con lados homólogos según los ángulos correspondientes. El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Analizá esta producción: «Dante resolvió “¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son semejantes por AA?” y escribió “El mismo perímetro”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Compará la producción de Dante con la condición de Construir y reconocer figuras semejantes. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción El mismo perímetro conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Construir y reconocer figuras semejantes.. La corrección usa Construir y reconocer figuras semejantes: Dos pares de ángulos correspondientes iguales.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Construir y reconocer figuras semejantes. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Construir y reconocer figuras semejantes en la consigna ¿Qué dato basta para afirmar que dos triángulos son… y escribí qué condición conservás.
Una maqueta a escala 1:50 tiene una pared de 7,4 cm. ¿Medida real en metros?
Representá la relación de Resolver escalas justificando el exponente. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta: 3.7
7,4·50=370 cm=3,7 m.
Dos cuadrados tienen áreas 25 y 81. Hallá la razón de sus lados.
Aplicá cuadrado de la razón en áreas sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta: La razón lineal es √(81/25)=9/5.
La razón lineal es √(81/25)=9/5. El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
¿Son semejantes triángulos con ángulos 40°,60°,80° y 40°,60°,80°?
Leé de nuevo la parte ¿Son semejantes triángulos con ángulos 40°,60°,80° y 40°,60°,80°. Para trabajar Construir y reconocer figuras semejantes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta: Sí, por AA
La respuesta correcta es Sí, por AA. La igualdad de ángulos determina semejanza sin exigir igualdad de tamaño.
Una figura se amplía con k=1,8. Si el área original es 30 cm², ¿área nueva?
Representá el dato central de Una figura se amplía con k=1,8. Si el área original es 30…. Para trabajar Construir y reconocer figuras semejantes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta: 97.2
La respuesta correcta es 97.2. 30·1,8²=30·3,24=97,2 cm².
Una maqueta tiene razón 1:75. Una puerta mide 2,8 cm. Hallá la altura real y justificá la unidad.
Aplicá razón lineal sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta: 2,8·75=210 cm=2,10 m.
La razón 1:75 multiplica la longitud lineal por 75.
Reconstrucción nueva: una homotecia k=2 lleva un área de 15 a 30. Localizá el error y corregí perímetro y área.
Reconstruí la situación mediante homotecia: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta: Las longitudes y el perímetro se duplican, pero el área se multiplica por 2²=4: pasa de 15 a 60.
Las longitudes y el perímetro se duplican, pero el área se multiplica por 2²=4: pasa de 15 a 60. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Una figura semejante tiene k=3/4 y área original 64. Calculá el área nueva.
Reconstruí la situación mediante cuadrado de la razón en áreas: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta: 64·(3/4)²=64·9/16=36.
64·(3/4)²=64·9/16=36. El área combina dos dimensiones; por eso una escala lineal k produce un factor k².
Deducí cómo cambia una magnitud de dimensión n bajo una escala lineal k y conectalo con perímetro, área y volumen.
Reconstruí la situación mediante Resolver escalas justificando el exponente: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta: Una escala lineal k multiplica longitudes y perímetros por k, áreas por k² y volúmenes por k³; cada dimensión independiente aporta un factor k.
Una escala lineal k multiplica longitudes y perímetros por k, áreas por k² y volúmenes por k³; cada dimensión independiente aporta un factor k. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.