tabla
Representá Inecuaciones lineales en una y dos variables con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Transformar desigualdades cuidando su sentido. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una inecuación describe un conjunto de valores; las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por un número negativo.
Ya podés Transformar desigualdades cuidando su sentido y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Transformar desigualdades cuidando su sentido. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- orden en la recta.
Comprobación de treinta segundos. Decidí si −3 pertenece a Z, a Q o a ambos conjuntos. Respuesta. Pertenece a ambos: es entero y también racional porque −3=−3/1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-num-02.
- ecuaciones lineales.
Comprobación de treinta segundos. Verificá si (2,5) satisface y=2x+1. Respuesta. Sí: porque 5=2·2+1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-03.
La idea
las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por un número negativo. Una inecuación describe un conjunto de valores: las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por un número negativo. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Transformar desigualdades cuidando su sentido. El segundo es Representar soluciones en intervalos y semiplanos. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Orden, equivalencia y densidad en Q. pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Probar valores y leer restricciones con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué tipo de relación simbólica expresa una restricción sobre un conjunto de…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una inecuación describe un conjunto de valores: las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por….
Ejemplo resuelto
Restar 2. −3x≤9. Dividir por −3 e invertir: x≥−3. Representar [−3,∞) y probar x=0. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió (−∞,2) al resolver ¿Qué intervalo representa x>2.
Por qué tienta: La elección es compatible con invertir la dirección asociada al signo >.
Cómo repararlo: Probá un valor del intervalo elegido, como 0, en x>2.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una inecuación describe un conjunto de valores: las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por un número negativo.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Transformar desigualdades cuidando su sentido con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Inecuaciones lineales en una y dos variables.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Inecuaciones lineales en una y dos variables trabaja este objeto matemático. Una inecuación describe un conjunto de valores. las transformaciones conservan el orden salvo al multiplicar o dividir por un número negativo.
Qué hace falta antes
- orden en la recta. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Decidí si −3 pertenece a Z, a Q o a ambos conjuntos. Respuesta. Pertenece a ambos. es entero y también….
- ecuaciones lineales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Verificá si (2,5) satisface y=2x+1. Respuesta. Sí. porque 5=2·2+1.
Dos representaciones
tabla
Representá Inecuaciones lineales en una y dos variables con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Transformar desigualdades cuidando su sentido. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué tipo de relación simbólica expresa una restricción sobre un conjunto de…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una inecuación… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y. dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder (−∞,2). Se reconoce porque Elige el intervalo situado a la izquierda de 2. Reparación. Probá un valor del intervalo elegido, como 0, en x>2.
Comprobación rápida
Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
x>−3 Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta?
Necesito una pista
Para trabajar Transformar desigualdades cuidando su sentido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x>−3
La respuesta correcta es x>−3. Al dividir por −2 se invierte < y resulta x>−3.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué tipo de relación simbólica expresa una restricción sobre un conjunto de valores?
Necesito una pista
Diferenciá la relación simbólica de las representaciones geométricas de su conjunto solución.
Respuesta y fundamento
Respuesta: desigualdad
Una desigualdad expresa la restricción; su conjunto solución puede representarse como intervalo en una variable o como semiplano en dos.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Al dividir una desigualdad por −2 se conserva el mismo signo».
Necesito una pista
Usá Probar valores y leer restricciones: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí qué lado cumplirá la desigualdad, mové la recta y probá puntos. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Necesito una pista
Usá recta frontera: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una predicción verificable es: con «Frontera incluida» se obtiene «y≥x−1» y se conserva «La igualdad pertenece y la recta es continua.». Debe contrastarse antes de cambiar otro parámetro.
El estado confirma «y≥x−1» y la invariancia matemática es «La igualdad pertenece y la recta es continua.»; la predicción debía anticipar ambas relaciones.
Ejercicio 5
Consigna
Resolvé 5−2x>11.
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Probar valores y leer restricciones. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x<−3
x<−3 Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 6
Consigna
Escribí en intervalo −1≤x<4.
Necesito una pista
Usá intervalos: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [−1,4), cerrado en −1 y abierto en 4.
[−1,4), cerrado en −1 y abierto en 4. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 7
Consigna
¿Cumple (2,1) la inecuación y≥x−2?
Necesito una pista
Usá Representar soluciones en intervalos y semiplanos: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí, porque 1≥0 al sustituir x=2 e y=1.
Sí, porque 1≥0 al sustituir x=2 e y=1. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 8
Consigna
¿Qué intervalo representa −2≤x<3?
Necesito una pista
Para trabajar Representar soluciones en intervalos y semiplanos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [−2,3)
La respuesta correcta es [−2,3). Las desigualdades ≤ y < determinan respectivamente extremo cerrado y abierto.
Ejercicio 9
Consigna
¿Qué punto satisface 2x+y≤5?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué punto satisface 2x+y≤5. Para trabajar Transformar desigualdades cuidando su sentido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (1,2)
La respuesta correcta es (1,2). 2·1+2=4≤5. los otros producen 7.
Ejercicio 10
Consigna
Graficá conceptualmente y>−x+2: indicá frontera, trazo y semiplano.
Necesito una pista
Usá sistemas gráficos simples: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La frontera es y=−x+2, discontinua; se sombrea el semiplano superior.
0>2 es falso, por eso el origen queda fuera y se toma el lado superior.
Ejercicio 11
Consigna
¿Cuál punto pertenece al sistema x≥0, y≥0, x+y≤4?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál punto pertenece al sistema x≥0, y≥0, x+y≤4. Para trabajar Probar valores y leer restricciones, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (1,2)
La respuesta correcta es (1,2). 1 y 2 son no negativos y suman 3≤4.
Ejercicio 12
Consigna
Una zona está dada por y≤2x+1 e y≥−x+4. Hallá el corte de fronteras e indicá dónde pueden coexistir.
Necesito una pista
Usá Transformar desigualdades cuidando su sentido: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las fronteras se cortan en (1,3); coexistir exige −x+4≤2x+1, es decir x≥1.
La desigualdad entre ambas rectas determina la proyección x≥1 de la región.
Ejercicio 13
Consigna
Un ascensor admite hasta 480 kg. Ya hay 165 kg y cada caja pesa 35 kg. Modelizá cuántas cajas enteras pueden subirse.
Necesito una pista
Organizá los datos para Transformar desigualdades cuidando su sentido. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 165+35c≤480; c≤9, por lo que pueden subir como máximo 9 cajas.
165+35c≤480; c≤9, por lo que pueden subir como máximo 9 cajas. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 14
Consigna
Diseñá una región de presupuesto con x≥0, y≥0 y 3x+2y≤12 e interpretá sus vértices.
Necesito una pista
Organizá los datos para Transformar desigualdades cuidando su sentido. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La región es el triángulo con vértices (0,0),(4,0),(0,6); representa combinaciones no negativas dentro del presupuesto.
La región es el triángulo con vértices (0,0),(4,0),(0,6); representa combinaciones no negativas dentro del presupuesto. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 15
Consigna
Un taller puede fabricar x mesas e y estantes con x≥0, y≥0 y 3x+2y≤18. Describí la región factible, sus vértices y una combinación interior.
Necesito una pista
Organizá los datos para Transformar desigualdades cuidando su sentido. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La frontera corta en (6,0) y (0,9); con (0,0) forma la región triangular no negativa. Por ejemplo (2,3) es interior porque 3·2+2·3=12≤18.
La frontera corta en (6,0) y (0,9); con (0,0) forma la región triangular no negativa. Por ejemplo (2,3) es interior porque 3·2+2·3=12≤18. Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá esta producción: «Paz resuelve −4x<8 como x<−2.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Representar soluciones en intervalos y semiplanos falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al dividir por −4 debe invertir: x>−2.
Al dividir por −4 debe invertir: x>−2. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá esta producción: «Teo dibuja línea continua para y<3x+1.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Probar valores y leer restricciones falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La igualdad no pertenece a la solución; la frontera debe ser discontinua.
La igualdad no pertenece a la solución; la frontera debe ser discontinua. Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Camila resolvió “Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta?” y escribió “x<−3”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Camila con la condición de Transformar desigualdades cuidando su sentido. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción x<−3 conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Transformar desigualdades cuidando su sentido.. La corrección usa Transformar desigualdades cuidando su sentido: x>−3.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Transformar desigualdades cuidando su sentido. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Transformar desigualdades cuidando su sentido en la consigna Al resolver −2x<6, ¿qué transformación es correcta y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Resolvé 7−3x≥16.
Necesito una pista
Aplicá Probar valores y leer restricciones sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al restar 7 en ambos miembros, −3x≥9; al dividir por −3, se invierte el signo y queda x≤−3. Control: x=−4 cumple 19≥16; x=−2 queda excluido porque 13<16.
Al restar 7 en ambos miembros, −3x≥9; al dividir por −3, se invierte el signo y queda x≤−3. Control: x=−4 cumple 19≥16; x=−2 queda excluido porque 13<16.
Ejercicio 20
Consigna
¿Qué intervalo representa x>2?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de intervalos. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (2,∞)
(2,∞) Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 21
Consigna
¿Qué intervalo resuelve 4−3x≤−8?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué intervalo resuelve 4−3x≤−8. Para trabajar Representar soluciones en intervalos y semiplanos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: [4,∞)
La respuesta correcta es [4,∞). −3x≤−12 implica x≥4. el 4 se incluye.
Ejercicio 22
Consigna
Determiná si (−1,4) pertenece a y<−2x+3 y justificá.
Necesito una pista
Aplicá Probar valores y leer restricciones sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí: 4<−2(−1)+3=5.
El valor de y queda estrictamente por debajo de la frontera.
Ejercicio 23
Consigna
En el sistema y≥x e y≤2−x, ¿qué punto es solución?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en En el sistema y≥x e y≤2−x, ¿qué punto es solución. Para trabajar Transformar desigualdades cuidando su sentido, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (0,1)
La respuesta correcta es (0,1). 1≥0 y 1≤2. las otras opciones fallan al menos una condición.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción nueva: repará 6−2x≤10 resuelta como x≤−2 y controlá un valor de la solución.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Transformar desigualdades cuidando su sentido: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −2x≤4; al dividir por −2 se invierte el signo: x≥−2. Por ejemplo x=0 cumple 6≤10.
−2x≤4; al dividir por −2 se invierte el signo: x≥−2. Por ejemplo x=0 cumple 6≤10. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Ejercicio 25
Consigna
Resolvé y representá −2(x−1)>6.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante intervalos: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −2x+2>6; −2x>4; x<−2, intervalo (−∞,−2).
−2x+2>6; −2x>4; x<−2, intervalo (−∞,−2). Multiplicar o dividir por un negativo invierte el orden porque refleja la recta respecto de cero.
Ejercicio 26
Consigna
Justificá geométricamente por qué multiplicar por un negativo invierte el orden en la recta.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Probar valores y leer restricciones: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Multiplicar por un negativo refleja cada punto respecto de cero: si a<b, entonces −a>−b. La reflexión intercambia izquierda y derecha en la recta.
Multiplicar por un negativo refleja cada punto respecto de cero: si a<b, entonces −a>−b. La reflexión intercambia izquierda y derecha en la recta. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.