tabla
Representá Sistemas lineales equivalentes con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Un sistema expresa condiciones simultáneas; transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta.
Ya podés Seleccionar sustitución, igualación o eliminación y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- ecuaciones lineales.
Comprobación de treinta segundos. Verificá si (2,5) satisface y=2x+1. Respuesta. Sí: porque 5=2·2+1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-03.
- función lineal.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta. Un sistema expresa condiciones simultáneas: transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. El segundo es Conservar el conjunto solución. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Ecuaciones en una y dos variables y sistemas lineales: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Interpretar y clasificar sistemas con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para hallar un par que satisface dos ecuaciones…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un sistema expresa condiciones simultáneas: transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta.
Ejemplo resuelto
Sumar las ecuaciones para eliminar y. 3x=12. Obtener x=4 y sustituir: y=3. Comprobar (4,3) en ambas ecuaciones. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió ninguna al resolver ¿Cuántas soluciones tiene y=2x+1. 4x−2y=−2.
Por qué tienta: La elección es compatible con reducir la segunda ecuación sin reconocer que reproduce la primera.
Cómo repararlo: Despejá y en la segunda ecuación y compará ambas rectas.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Un sistema expresa condiciones simultáneas: transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Seleccionar sustitución, igualación o eliminación con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Sistemas lineales equivalentes.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Sistemas lineales equivalentes trabaja este objeto matemático. Un sistema expresa condiciones simultáneas. transformaciones equivalentes conservan sus soluciones y cada método hace visible una estructura distinta.
Qué hace falta antes
- ecuaciones lineales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Verificá si (2,5) satisface y=2x+1. Respuesta. Sí. porque 5=2·2+1.
- función lineal. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Sistemas lineales equivalentes con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para hallar un par que satisface dos ecuaciones…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un sistema… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y. dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder ninguna. Se reconoce porque Elige que el sistema no tiene soluciones. Reparación. Despejá y en la segunda ecuación y compará ambas rectas.
Comprobación rápida
¿Cuál par satisface simultáneamente x+y=7 y x−y=1. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
(4,3) Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
¿Cuál par satisface simultáneamente x+y=7 y x−y=1?
Necesito una pista
Para trabajar Seleccionar sustitución, igualación o eliminación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (4,3)
La respuesta correcta es (4,3). 4+3=7 y 4−3=1.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea resulta central para hallar un par que satisface dos ecuaciones a la vez?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué idea resulta central para hallar un par que satisface dos ecuaciones…. Para trabajar Conservar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: solución simultánea
La respuesta correcta es solución simultánea. solución simultánea La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Resolver cada ecuación por separado y elegir cualquier resultado resuelve el sistema».
Necesito una pista
Usá Interpretar y clasificar sistemas: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí la cantidad de soluciones desde las pendientes y verificá al mover parámetros. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Necesito una pista
Usá clasificación por soluciones: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una predicción verificable es: con «Secantes» se obtiene «m₁=1,m₂=−1» y se conserva «Pendientes distintas producen una solución.». Debe contrastarse antes de cambiar otro parámetro.
El estado confirma «m₁=1,m₂=−1» y la invariancia matemática es «Pendientes distintas producen una solución.»; la predicción debía anticipar ambas relaciones.
Ejercicio 5
Consigna
Resolvé x+y=9; x−y=3.
Necesito una pista
Usá Seleccionar sustitución, igualación o eliminación: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=6 e y=3
Al sumar, 2x=12: x=6 e y=3. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 6
Consigna
Clasificá 2x+2y=8; x+y=4.
Necesito una pista
Usá transformaciones equivalentes: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son equivalentes y tienen infinitas soluciones sobre la misma recta.
Son equivalentes y tienen infinitas soluciones sobre la misma recta. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 7
Consigna
¿Qué método elimina y directamente en 3x+2y=7; 5x−2y=9?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Qué método elimina y directamente en 3x+2y=7. 5x−2y=9. Para trabajar Seleccionar sustitución, igualación o eliminación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: sumar las ecuaciones
La respuesta correcta es sumar las ecuaciones. sumar las ecuaciones La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 8
Consigna
Al sustituir y=2x−1 en x+y=11, ¿qué solución se obtiene?
Necesito una pista
Para trabajar Seleccionar sustitución, igualación o eliminación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=4, y=7.
La respuesta correcta es x=4, y=7.. x+2x−1=11 da 3x=12. luego y=7.
Ejercicio 9
Consigna
Al igualar 3x−2 y 10−x, ¿qué solución satisface ambas ecuaciones?
Necesito una pista
Ubicá primero Al igualar 3x−2 y 10−x, ¿qué solución satisface ambas ecuaciones. Para trabajar Seleccionar sustitución, igualación o eliminación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=3, y=7.
La respuesta correcta es x=3, y=7.. 3x−2=10−x da 4x=12 y ambas fórmulas producen y=7.
Ejercicio 10
Consigna
¿Qué operación inicia una eliminación eficiente en 2x+3y=13; 5x−3y=8?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué operación inicia una eliminación eficiente en 2x+3y=13. 5x−3y=8. Para trabajar Seleccionar sustitución, igualación o eliminación, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sumar las ecuaciones
La respuesta correcta es Sumar las ecuaciones. 3y y −3y se eliminan al sumar. queda 7x=21.
Ejercicio 11
Consigna
Para el sistema y=mx+2; y=3x−1, ¿qué valor de m produce rectas paralelas distintas?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de parámetros sencillos. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: m=3
Con m=3 ambas pendientes coinciden y 2≠−1, por lo que no se cortan.
Ejercicio 12
Consigna
El sistema ax+y=5; 2x+y=7 tiene solución única salvo un valor de a. Hallalo y clasificá ese caso.
Necesito una pista
Usá clasificación por soluciones: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si a=2, quedan 2x+y=5 y 2x+y=7: son incompatibles y no hay solución.
Solo a=2 elimina x al restar y deja la contradicción 0=−2.
Ejercicio 13
Consigna
Dos entradas adultas y tres infantiles cuestan $12.500; una adulta y dos infantiles, $7.500. Hallá ambos precios.
Necesito una pista
Organizá los datos para Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: A+2I=7500 y 2A+3I=12500; I=2500 y A=2500.
A+2I=7500 y 2A+3I=12500; I=2500 y A=2500. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 14
Consigna
Inventá un segundo sistema con la misma solución (2,−1) pero ecuaciones diferentes.
Necesito una pista
Organizá los datos para clasificación por soluciones. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Por ejemplo x+y=1 y 2x−y=5; ambas se cumplen en (2,−1).
Por ejemplo x+y=1 y 2x−y=5; ambas se cumplen en (2,−1). La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 15
Consigna
En una feria, 3 entradas adultas y 2 juveniles cuestan $19.000; 2 adultas y 3 juveniles cuestan $16.000. Planteá, eliminá una incógnita y controlá ambos precios.
Necesito una pista
Organizá los datos para Interpretar y clasificar sistemas. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3A+2J=19000 y 2A+3J=16000. Al eliminar, A=5000 y J=2000; ambos sistemas verifican: 15000+4000=19000 y 10000+6000=16000.
3A+2J=19000 y 2A+3J=16000. Al eliminar, A=5000 y J=2000; ambos sistemas verifican: 15000+4000=19000 y 10000+6000=16000. Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá esta producción: «Noa suma x+y=5 y x−y=1 y obtiene x=6.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Conservar el conjunto solución falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al sumar queda 2x=6, por lo que x=3; omitió el coeficiente 2.
Al sumar queda 2x=6, por lo que x=3; omitió el coeficiente 2. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá esta producción: «Ian dice que dos rectas con la misma pendiente siempre dan infinitas soluciones.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Interpretar y clasificar sistemas falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si tienen distintas ordenadas son paralelas y no hay solución; coinciden solo si toda la ecuación es equivalente.
Si tienen distintas ordenadas son paralelas y no hay solución; coinciden solo si toda la ecuación es equivalente. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Bruno resolvió “¿Cuál par satisface simultáneamente x+y=7 y x−y=1?” y escribió “(3,4)”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Bruno con la condición de Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción (3,4) conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Seleccionar sustitución, igualación o eliminación.. La corrección usa Seleccionar sustitución, igualación o eliminación: (4,3).
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Seleccionar sustitución, igualación o eliminación. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Seleccionar sustitución, igualación o eliminación en la consigna ¿Cuál par satisface simultáneamente x+y=7 y x−y=1 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Resolvé 3x+y=11; x+y=7.
Necesito una pista
Aplicá Seleccionar sustitución, igualación o eliminación sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al restar la segunda ecuación de la primera, se elimina y y queda 2x=4: x=2 e y=5. Verificación: 3·2+5=11 y 2+5=7.
Al restar la segunda ecuación de la primera, se elimina y y queda 2x=4: x=2 e y=5. Verificación: 3·2+5=11 y 2+5=7.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuántas soluciones tiene y=2x+1; 4x−2y=−2?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuántas soluciones tiene y=2x+1. 4x−2y=−2. Para trabajar Conservar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: infinitas
La respuesta correcta es infinitas. infinitas La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 21
Consigna
Resolvé por el método que elijas: 4x−y=9; 2x+3y=1.
Necesito una pista
Aplicá Conservar el conjunto solución sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x=2, y=−1.
De y=4x−9, 2x+3(4x−9)=1 da 14x=28.
Ejercicio 22
Consigna
¿Cuántas soluciones tiene 3x−6y=9; x−2y=3?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuántas soluciones tiene 3x−6y=9. x−2y=3. Para trabajar Conservar el conjunto solución, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Infinitas
La respuesta correcta es Infinitas. La primera es tres veces la segunda. describen la misma recta.
Ejercicio 23
Consigna
Dos números suman 26 y uno supera al otro en 8. Planteá y resolvé.
Necesito una pista
Aplicá Seleccionar sustitución, igualación o eliminación sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x+y=26, x−y=8; los números son 17 y 9.
Al sumar las ecuaciones, 2x=34; luego y=9.
Ejercicio 24
Consigna
¿Cuántas soluciones tiene el sistema y=−2x+5; 4x+2y=12?
Necesito una pista
Sustituí la primera ecuación en la segunda o escribí ambas rectas con la misma forma para comparar pendiente e intercepto.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Ninguna solución
Sustituir y=−2x+5 en 4x+2y=12 produce 4x−4x+10=12, es decir 10=12. Las rectas son paralelas distintas y el sistema no tiene solución.
Ejercicio 25
Consigna
Reconstrucción nueva: al sumar x+y=9 y x−y=5 alguien obtiene x=14. Repará la eliminación y verificá el par.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Seleccionar sustitución, igualación o eliminación: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Al sumar queda 2x=14, luego x=7 e y=2. Verifica 7+2=9 y 7−2=5.
Al sumar queda 2x=14, luego x=7 e y=2. Verifica 7+2=9 y 7−2=5. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Ejercicio 26
Consigna
Clasificá y resolvé si corresponde: 2x+y=6; 4x+2y=12.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante clasificación por soluciones: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Son la misma condición: infinitas soluciones, todos los puntos de 2x+y=6.
Son la misma condición: infinitas soluciones, todos los puntos de 2x+y=6. La solución debe satisfacer simultáneamente todas las ecuaciones.
Ejercicio 27
Consigna
Explicá cómo las pendientes y ordenadas permiten anticipar cero, una o infinitas soluciones antes de calcular.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Interpretar y clasificar sistemas: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Pendientes distintas implican una intersección; pendientes iguales y ordenadas distintas, ninguna; pendiente y ordenada iguales, la misma recta e infinitas soluciones.
Pendientes distintas implican una intersección; pendientes iguales y ordenadas distintas, ninguna; pendiente y ordenada iguales, la misma recta e infinitas soluciones. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.