tabla
Representá Cuadráticas incompletas y factorización con sentido con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Elegir una factorización pertinente. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Factorizar revela la estructura multiplicativa de una cuadrática y permite vincular producto nulo, raíces y cortes del gráfico.
Ya podés Elegir una factorización pertinente y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Elegir una factorización pertinente. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- propiedad distributiva.
Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-alg-01.
- ecuaciones lineales.
Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-alg-01.
La idea
Factorizar revela la estructura multiplicativa de una cuadrática y permite vincular producto nulo, raíces y cortes del gráfico. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Elegir una factorización pertinente. El segundo es Resolver mediante producto nulo. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Funciones lineales y cuadráticas como modelos: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Vincular raíces algebraicas y cortes de la parábola con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para resolver una ecuación escrita como producto igual…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Factorizar revela la estructura multiplicativa de una cuadrática y permite: vincular producto nulo, raíces y cortes del gráfico.
Ejemplo resuelto
Buscar dos números cuyo producto sea 6 y suma −5. Factorizar. (x−2)(x−3)=0. Aplicar producto nulo: x=2 o x=3, y comprobar. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió −2 y 6 al resolver ¿Cuáles son las raíces de x²−x−12.
Por qué tienta: La elección es compatible con priorizar el producto −12 sin controlar que la suma debe ser −1.
Cómo repararlo: Buscá dos números con producto −12 y suma −1.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Factorizar revela la estructura multiplicativa de una cuadrática y permite vincular producto nulo, raíces y cortes del: gráfico.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Elegir una factorización pertinente con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Cuadráticas incompletas y factorización con sentido.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Cuadráticas incompletas y factorización con sentido trabaja este objeto matemático. Factorizar revela la estructura multiplicativa de una cuadrática y permite vincular producto nulo, raíces y cortes del gráfico.
Qué hace falta antes
- propiedad distributiva. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Respuesta. La variación de y por cada unidad de x.
- ecuaciones lineales. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Regla de 2, 5, 8, 11… Respuesta. 3n−1.
Dos representaciones
tabla
Representá Cuadráticas incompletas y factorización con sentido con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Elegir una factorización pertinente. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para resolver una ecuación escrita como producto igual…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Factorizar revela… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y. dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder −2 y 6. Se reconoce porque Elige −2 y 6 como raíces. Reparación. Buscá dos números con producto −12 y suma −1.
Comprobación rápida
¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones lineales. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
Producto nulo Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
27 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones lineales?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Elegir una factorización pertinente. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Producto nulo
Un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea resulta central para resolver una ecuación escrita como producto igual a cero?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué idea resulta central para resolver una ecuación escrita como producto igual…. Para trabajar Resolver mediante producto nulo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: producto nulo
La respuesta correcta es producto nulo. Si u·v=0, al menos uno de los factores debe ser cero.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Si ab=0 entonces a=0 y b=0 simultáneamente».
Necesito una pista
Usá Vincular raíces algebraicas y cortes de la parábola: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí los cortes a partir de los factores y verificá moviendo las raíces. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Necesito una pista
Usá factor común: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una predicción verificable es: con «Dos raíces» se obtiene «(x−2)(x+1)» y se conserva «Cada factor muestra un cero y el gráfico cruza.». Debe contrastarse antes de cambiar otro parámetro.
El estado confirma «(x−2)(x+1)» y la invariancia matemática es «Cada factor muestra un cero y el gráfico cruza.»; la predicción debía anticipar ambas relaciones.
Ejercicio 5
Consigna
Factorizá y resolvé x²−9=0.
Necesito una pista
Reconocé 9=3² y aplicá a²−b²=(a−b)(a+b).
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x−3)(x+3)=0; x=−3 o x=3.
(x−3)(x+3)=0; x=−3 o x=3. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 6
Consigna
Resolvé 4x²−12x=0.
Necesito una pista
Usá Resolver mediante producto nulo: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4x(x−3)=0; x=0 o x=3.
4x(x−3)=0; x=0 o x=3. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 7
Consigna
¿Qué factorización corresponde a x²+7x+12?
Necesito una pista
Buscá dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x+3)(x+4)
(x+3)(x+4) Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 8
Consigna
¿Cuál factorización usa diferencia de cuadrados?
Necesito una pista
Para trabajar Elegir una factorización pertinente, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x²−25=(x−5)(x+5)
La respuesta correcta es x²−25=(x−5)(x+5). x²−5²=(x−5)(x+5).
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál factorización y conjunto solución corresponden a 6x²−15x=0?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál factorización y conjunto solución corresponden a 6x²−15x=0. Para trabajar Elegir una factorización pertinente, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3x(2x−5)=0; x=0 o x=5/2.
La respuesta correcta es 3x(2x−5)=0. x=0 o x=5/2.. El factor común 3x deja 2x−5. cada factor puede anularse.
Ejercicio 10
Consigna
¿Qué expresión es un cuadrado perfecto?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Qué expresión es un cuadrado perfecto. Para trabajar Resolver mediante producto nulo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x²+6x+9
La respuesta correcta es x²+6x+9. x²+6x+9=(x+3)².
Ejercicio 11
Consigna
La parábola y=(x−1)(x+4) corta el eje x en dos puntos. Indicá cortes y signo entre ellos.
Necesito una pista
Usá Vincular raíces algebraicas y cortes de la parábola: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Corta en x=−4 y x=1; entre las raíces el producto es negativo.
En x=0 resulta −4<0; fuera de las raíces ambos factores tienen igual signo.
Ejercicio 12
Consigna
¿Cuál ecuación tiene raíz doble 2?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Cuál ecuación tiene raíz doble 2. Para trabajar Elegir una factorización pertinente, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x−2)²=0
La respuesta correcta es (x−2)²=0. (x−2)² se anula solo en 2 con multiplicidad dos.
Ejercicio 13
Consigna
Un rectángulo tiene lados x y x+3 y área 40. Planteá, resolvé e interpretá longitudes válidas.
Necesito una pista
Organizá los datos para Elegir una factorización pertinente. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x(x+3)=40; (x−5)(x+8)=0; se acepta x=5, por lo que los lados miden 5 y 8.
x(x+3)=40; (x−5)(x+8)=0; se acepta x=5, por lo que los lados miden 5 y 8. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 14
Consigna
Construí una cuadrática mónica con raíces −2 y 5 y verificá sus cortes.
Necesito una pista
Organizá los datos para raíces y gráfica. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x+2)(x−5)=x²−3x−10; se anula en −2 y 5.
(x+2)(x−5)=x²−3x−10; se anula en −2 y 5. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 15
Consigna
Un rectángulo tiene lados x y x+2 y área 48 m². Formulá una cuadrática, factorizá, resolvé y descartá la raíz sin sentido geométrico.
Necesito una pista
Organizá los datos para Vincular raíces algebraicas y cortes de la parábola. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: x(x+2)=48, luego x²+2x−48=(x−6)(x+8)=0. Se acepta x=6 y se descarta −8; los lados miden 6 m y 8 m.
x(x+2)=48, luego x²+2x−48=(x−6)(x+8)=0. Se acepta x=6 y se descarta −8; los lados miden 6 m y 8 m. Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá esta producción: «Leo pasa de x(x−4)=0 a x=4 solamente.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de producto nulo falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Olvida el factor x: las soluciones son x=0 o x=4.
Olvida el factor x: las soluciones son x=0 o x=4. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá esta producción: «Ana factoriza x²−16 como (x−4)².». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de producto nulo falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diferencia de cuadrados es (x−4)(x+4), con raíces −4 y 4.
La diferencia de cuadrados es (x−4)(x+4), con raíces −4 y 4. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Abril resolvió “¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones lineales?” y escribió “Distributiva inversa”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Abril con la condición de Elegir una factorización pertinente. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción Distributiva inversa conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Elegir una factorización pertinente.. La corrección usa Elegir una factorización pertinente: Producto nulo.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Elegir una factorización pertinente. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Elegir una factorización pertinente en la consigna ¿Qué propiedad permite pasar de (x−4)(x+2)=0 a dos ecuaciones… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Resolvé 3x²+12x=0.
Necesito una pista
Para trabajar Resolver mediante producto nulo, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3x(x+4)=0; x=0 o x=−4. Verificación: 3·0²+12·0=0 y 3·(−4)²+12·(−4)=48−48=0.
Una respuesta suficiente debe sostener Resolver mediante producto nulo con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 20
Consigna
¿Cuáles son las raíces de x²−x−12?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de raíces y gráfica. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −3 y 4
−3 y 4 Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 21
Consigna
Factorizá y resolvé 2x²+x−6=0.
Necesito una pista
Aplicá factor común sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (2x−3)(x+2)=0; x=3/2 o x=−2.
2x²+4x−3x−6 permite agrupar y obtener los factores.
Ejercicio 22
Consigna
¿Qué gráfico corresponde a y=(x+3)²?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Qué gráfico corresponde a y=(x+3)². Para trabajar Vincular raíces algebraicas y cortes de la parábola, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Toca el eje x en −3
La respuesta correcta es Toca el eje x en −3. La raíz −3 es doble. el signo no cambia.
Ejercicio 23
Consigna
Construí una cuadrática mónica con raíces −1 y 6 y desarrollala.
Necesito una pista
Aplicá raíces y gráfica sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x+1)(x−6)=x²−5x−6.
Los factores x−r producen exactamente las raíces pedidas.
Ejercicio 24
Consigna
La parábola y=2x²−18 corta el eje x en dos puntos. ¿Cuál es la distancia entre sus abscisas?
Necesito una pista
Igualá 2x²−18 a cero, escribí las dos raíces y calculá su distancia sobre la recta numérica.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
2x²−18=0 equivale a x²=9, de modo que las raíces son −3 y 3; la distancia es 3−(−3)=6.
Ejercicio 25
Consigna
Reconstrucción nueva: repará la factorización x²−25=(x−5)² y obtené todas las raíces.
Necesito una pista
Escribí 25=5² y aplicá (x−5)(x+5).
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es diferencia de cuadrados: x²−25=(x−5)(x+5); las raíces son 5 y −5.
Es diferencia de cuadrados: x²−25=(x−5)(x+5); las raíces son 5 y −5. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Ejercicio 26
Consigna
Factorizá x²−10x+25 e interpretá la raíz.
Necesito una pista
Compará con x²−2ax+a² y determiná a.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (x−5)²; x=5 es raíz doble y la parábola toca el eje.
(x−5)²; x=5 es raíz doble y la parábola toca el eje. Un producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero; no es necesario que ambos lo sean.
Ejercicio 27
Consigna
Dadas raíces r y s, deducí una expresión cuadrática mónica y relacioná su forma desarrollada con r+s y rs.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante raíces y gráfica: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La cuadrática mónica es (x−r)(x−s)=x²−(r+s)x+rs; la suma de raíces cambia de signo en el coeficiente lineal y el producto es el término independiente.
La cuadrática mónica es (x−r)(x−s)=x²−(r+s)x+rs; la suma de raíces cambia de signo en el coeficiente lineal y el producto es el término independiente. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.