tabla
Representá Funciones lineales y cuadráticas como modelos con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Una función coordina fórmula, tabla y gráfico; los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos del modelo.
Ya podés Coordinar fórmula, tabla y gráfico y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás describir cómo cambia una cantidad cuando otra toma valores distintos. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar variables, igualdades y relaciones de cambio. La situación obliga a Coordinar fórmula, tabla y gráfico. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- plano cartesiano.
Comprobación de treinta segundos. En f(x)=3x−2, calculá f(4). Respuesta. 10.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-02-alg-02.
- expresiones algebraicas.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura representa un irracional. Respuesta. 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-03-num-03.
La idea
los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos del modelo. Una función coordina fórmula, tabla y gráfico: los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos del modelo. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. El primer objetivo es Coordinar fórmula, tabla y gráfico. El segundo es Interpretar pendiente, raíces y vértice. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Funciones lineales y primeras funciones no lineales: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para describir una tasa de cambio constante. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función coordina fórmula, tabla y gráfico: los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos….
Ejemplo resuelto
Reconocer la forma de vértice a(x−h)²+k. Leer vértice (3,8) y apertura hacia abajo porque a<0. Interpretar 8 como máximo y buscar raíces solo si el contexto las necesita. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió y=x²+1 al resolver ¿Qué modelo tiene cambio constante.
Por qué tienta: La elección es compatible con confundir una fórmula regular con incrementos iguales de salida.
Cómo repararlo: Calculá diferencias de y para x=0,1,2.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Una función coordina fórmula, tabla y gráfico: los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos del modelo.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás Coordinar fórmula, tabla y gráfico con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Funciones lineales y cuadráticas como modelos.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Funciones lineales y cuadráticas como modelos trabaja este objeto matemático. Una función coordina fórmula, tabla y gráfico. los parámetros lineales y cuadráticos expresan cambios, cortes, simetría y extremos del modelo.
Qué hace falta antes
- plano cartesiano. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. En f(x)=3x−2, calculá f(4). Respuesta. 10.
- expresiones algebraicas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál escritura representa un irracional. Respuesta. 0,101001000100001… con bloques de ceros de longitud creciente.
Dos representaciones
tabla
Representá Funciones lineales y cuadráticas como modelos con tabla. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
esquema de partes
Usá ahora esquema de partes para la misma relación. Partí de ¿Qué idea resulta central para describir una tasa de cambio constante. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Una función coordina… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece. y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder y=x²+1. Se reconoce porque Elige y=x²+1 como modelo de cambio constante. Reparación. Calculá diferencias de y para x=0,1,2.
Comprobación rápida
En y=−3x+5, ¿qué representa −3. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
La variación de y por cada unidad de x Control. Sustituí el resultado en la relación original y contrastalo con una tabla de valores.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
En y=−3x+5, ¿qué representa −3?
Necesito una pista
Para trabajar Coordinar fórmula, tabla y gráfico, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La variación de y por cada unidad de x
La respuesta correcta es La variación de y por cada unidad de x. La pendiente −3 indica que y disminuye 3 cuando x aumenta 1.
Ejercicio 2
Consigna
¿Qué idea resulta central para describir una tasa de cambio constante?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Qué idea resulta central para describir una tasa de cambio constante. Para trabajar Interpretar pendiente, raíces y vértice, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: pendiente
La respuesta correcta es pendiente. La pendiente mide Δy/Δx. en una recta ese cociente permanece constante.
Ejercicio 3
Consigna
Decidí si es verdadera esta afirmación y justificá: «Si dos funciones pasan por el mismo punto, son la misma función».
Necesito una pista
Usá Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 4
Consigna
Predecí qué cambiará al mover un parámetro y contrastá fórmula, tabla y gráfico. Antes de mover el control, escribí una predicción verificable.
Necesito una pista
Usá variables y parámetros: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Una predicción verificable es: con «Recta m=2» se obtiene «Δy/Δx=2» y se conserva «La pendiente permanece constante en toda la recta.». Debe contrastarse antes de cambiar otro parámetro.
El estado confirma «Δy/Δx=2» y la invariancia matemática es «La pendiente permanece constante en toda la recta.»; la predicción debía anticipar ambas relaciones.
Ejercicio 5
Consigna
¿Cuál es la pendiente de la recta por (1,3) y (5,11)?
Necesito una pista
Representá la relación de pendiente. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2
m=(11−3)/(5−1)=8/4=2.
Ejercicio 6
Consigna
¿Cuál es el vértice de y=(x+2)²−5?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de vértice. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: (−2,−5)
(−2,−5) Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 7
Consigna
Completá una tabla para y=3x−1 en x=−1,0,2.
Necesito una pista
Usá variables y parámetros: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los valores son −4, −1 y 5; cada aumento unitario de x suma 3.
Los valores son −4, −1 y 5; cada aumento unitario de x suma 3. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 8
Consigna
Para f:{0,1,2}→{1,3,5,7}, f(x)=2x+1, ¿cuál es su imagen?
Necesito una pista
Para trabajar Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: {1,3,5}
La respuesta correcta es {1,3,5}. f(0)=1,f(1)=3,f(2)=5. 7 pertenece al codominio pero no a la imagen.
Ejercicio 9
Consigna
En y=a(x−2)²+1, ¿cuál símbolo es parámetro de la familia?
Necesito una pista
Ubicá primero En y=a(x−2)²+1, ¿cuál símbolo es parámetro de la familia. Para trabajar Coordinar fórmula, tabla y gráfico, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: a
La respuesta correcta es a. Al elegir a queda determinada la apertura de una parábola. x sigue siendo variable independiente.
Ejercicio 10
Consigna
La tabla x:0,1,2,3; y:4,7,10,13. Producí la fórmula y explicá el 4 y el 3.
Necesito una pista
Usá Coordinar fórmula, tabla y gráfico: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=3x+4; 4 es el valor para x=0 y 3 es el aumento constante de y por unidad de x.
La tabla muestra pendiente 3 y ordenada al origen 4.
Ejercicio 11
Consigna
¿Cuáles son las raíces de y=(x+1)(x−4)?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de raíces. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −1 y 4
x+1=0 da −1 y x−4=0 da 4; son los cortes con el eje x.
Ejercicio 12
Consigna
Compará f(x)=2x+1 y g(x)=x²−1 usando tabla para x=0,1,2,3 y describí cuándo deja de convenir el modelo lineal.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en f(x)=2x+1 y g(x)=x²−1 usando tabla para x=0,1,2,3 y describí cuándo deja de…. Para trabajar Coordinar fórmula, tabla y gráfico, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: f da 1,3,5,7; g da −1,0,3,8. La lineal cambia 2 siempre; la cuadrática acelera y desde x=3 ya supera a f.
Una respuesta suficiente debe sostener Coordinar fórmula, tabla y gráfico con datos y una propiedad explícita. Las diferencias constantes distinguen el modelo lineal del crecimiento cuadrático.
Ejercicio 13
Consigna
Un tanque tiene 120 L y pierde 8 L por minuto. Escribí el modelo y el dominio físico.
Necesito una pista
Organizá los datos para Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: V(t)=120−8t, con 0≤t≤15; después el modelo daría volumen negativo sin sentido.
V(t)=120−8t, con 0≤t≤15; después el modelo daría volumen negativo sin sentido. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 14
Consigna
La altura de una pelota es h(t)=−5t²+20t+1. Interpretá el vértice sin calcular toda la trayectoria.
Necesito una pista
Organizá los datos para Interpretar pendiente, raíces y vértice. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El vértice representa la altura máxima y el instante en que se alcanza; está en t=2 s.
El vértice representa la altura máxima y el instante en que se alcanza; está en t=2 s. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 15
Consigna
Una pelota sigue h(t)=−5(t−2)^2+21 y una plataforma tiene altura p(t)=3t+3. Compará los modelos: identificá vértice y pendiente y decidí si coinciden en t=2.
Necesito una pista
Organizá los datos para Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La pelota tiene vértice (2,21); la plataforma tiene pendiente 3. En t=2, h=21 y p=9, por lo que no coinciden; se compararon parámetros y valores en el mismo instante.
La pelota tiene vértice (2,21); la plataforma tiene pendiente 3. En t=2, h=21 y p=9, por lo que no coinciden; se compararon parámetros y valores en el mismo instante. Se aceptan métodos equivalentes que formulen, interpreten y controlen la misma relación.
Ejercicio 16
Consigna
Analizá esta producción: «Santi dice que en y=4x−7 la pendiente es −7.». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de Interpretar pendiente, raíces y vértice falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: −7 es la ordenada al origen; la pendiente, cambio por unidad de x, es 4.
−7 es la ordenada al origen; la pendiente, cambio por unidad de x, es 4. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 17
Consigna
Analizá esta producción: «Mora lee el vértice de y=(x−3)²+2 como (−3,2).». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Localizá el primer paso inválido en la situación; nombrá qué condición de vértice falla antes de corregir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: En la forma (x−h)²+k el vértice es (h,k): aquí (3,2).
En la forma (x−h)²+k el vértice es (h,k): aquí (3,2). Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Zoe resolvió “En y=−3x+5, ¿qué representa −3?” y escribió “El valor inicial”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Zoe con la condición de Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción El valor inicial conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de Coordinar fórmula, tabla y gráfico.. La corrección usa Coordinar fórmula, tabla y gráfico: La variación de y por cada unidad de x.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de Coordinar fórmula, tabla y gráfico. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de Coordinar fórmula, tabla y gráfico en la consigna En y=−3x+5, ¿qué representa −3 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Qué modelo tiene cambio constante?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=−3x+8
y=−3x+8 Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 20
Consigna
Compará y=2x+4 e y=x² para x grandes y explicá cuál crece más.
Necesito una pista
Aplicá variables y parámetros sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La cuadrática termina creciendo más porque x²/ x=x aumenta sin cota.
La cuadrática termina creciendo más porque x²/ x=x aumenta sin cota. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 21
Consigna
Una parábola tiene vértice (−2,5) y abre hacia abajo. ¿Cuál fórmula puede representarla?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Una parábola tiene vértice (−2,5) y abre hacia abajo. ¿Cuál fórmula puede…. Para trabajar Interpretar pendiente, raíces y vértice, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: y=−(x+2)²+5
La respuesta correcta es y=−(x+2)²+5. h=−2,k=5 y a<0 producen exactamente esos rasgos.
Ejercicio 22
Consigna
Para h(t)=−t²+6t, hallá raíces y vértice e interpretalos como altura.
Necesito una pista
Representá el dato central de Para h(t)=−t²+6t, hallá raíces y vértice e interpretalos como altura. Para trabajar Interpretar pendiente, raíces y vértice, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Las raíces son 0 y 6; el vértice está en t=3 con h=9. Parte y vuelve al suelo, alcanzando altura máxima 9.
Una respuesta suficiente debe sostener Interpretar pendiente, raíces y vértice con datos y una propiedad explícita. h=t(6−t). la simetría sitúa el máximo entre 0 y 6.
Ejercicio 23
Consigna
¿Cuál afirmación sobre dominio y codominio es correcta?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Cuál afirmación sobre dominio y codominio es correcta. Para trabajar Coordinar fórmula, tabla y gráfico, escribí la relación entre las cantidades y distinguí dato, variable y condición. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El dominio son entradas permitidas; el codominio es el conjunto de salidas declarado
La respuesta correcta es El dominio son entradas permitidas. el codominio es el conjunto de salidas declarado. La imagen puede ser un subconjunto propio del codominio.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción nueva: alguien dice que en y=−2x+9 la pendiente es 9. Localizá el parámetro confundido y verificá con dos puntos.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Coordinar fórmula, tabla y gráfico: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 9 es la ordenada al origen; la pendiente es −2. Entre x=0 e x=1, y pasa de 9 a 7 y cambia −2.
9 es la ordenada al origen; la pendiente es −2. Entre x=0 e x=1, y pasa de 9 a 7 y cambia −2. La reconstrucción debe hacer visible la condición que se había perdido.
Ejercicio 25
Consigna
Para y=−(x−1)²+9, indicá vértice, apertura y máximo.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante vértice: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Vértice (1,9), abre hacia abajo y su valor máximo es 9.
Vértice (1,9), abre hacia abajo y su valor máximo es 9. Un punto compartido no determina una función; deben compararse su ley y su comportamiento completo.
Ejercicio 26
Consigna
Explicá qué información de y=a(x−h)²+k permanece o cambia al variar uno solo de sus parámetros.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante Comparar la adecuación de modelos lineales y cuadráticos: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: h y k fijan traslaciones y el vértice (h,k); a fija apertura, orientación y escala vertical. Al variar uno, los rasgos gobernados por los otros permanecen.
h y k fijan traslaciones y el vértice (h,k); a fija apertura, orientación y escala vertical. Al variar uno, los rasgos gobernados por los otros permanecen. El control debe conservar recuperación; se aceptan formulaciones equivalentes que expliciten esa condición.