recta numérica
Representá Primer encuentro con irracionales y números reales con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer límites de Q. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Algunas medidas no pueden expresarse como fracción exacta.
Ya podés reconocer límites de Q y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a reconocer límites de Q. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Operaciones combinadas y cálculo razonado.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué fracción equivale a 0,625. Respuesta. 5/8.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-04.
- reconocer límites de Q.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad: en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-num-04.
La idea
Algunas medidas no pueden expresarse como fracción exacta. La diagonal del cuadrado unidad mide √2 y el cociente entre circunferencia y diámetro es π. Sus decimales infinitos no periódicos se aproximan: pero √2 y π son escrituras exactas. Encuadrarlos entre racionales permite ubicarlos y controlar la precisión. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es reconocer límites de Q. El segundo es aproximar sin confundir aproximación con valor exacto. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Fracciones, decimales, equivalencia y densidad: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder clasificar ejemplos con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. ¿Entre qué enteros está √20. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Algunas medidas no pueden expresarse como fracción exacta.
Ejemplo resuelto
Construimos un cuadrado de lado 1 y buscamos la diagonal d. Pitágoras: d²=1²+1²=2, por lo tanto d=√2 exactamente. Como 1,4²=1,96 y 1,5²=2,25, resulta 1,4<√2<1,5: refinando, √2≈1,414. Control: la diagonal debe superar al lado y ser menor que la suma de dos lados. 1<1,414<2. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió √49 al resolver ¿Cuál número es irracional.
Por qué tienta: Supone que toda raíz cuadrada es irracional, incluso cuando el radicando es un cuadrado perfecto.
Cómo repararlo: Calculá la raíz: si puede escribirse como entero o fracción, es racional.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Algunas medidas no pueden expresarse como fracción exacta.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás reconocer límites de Q con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Primer encuentro con irracionales y números reales.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Primer encuentro con irracionales y números reales trabaja este objeto matemático. Algunas medidas no pueden expresarse como fracción exacta.
Qué hace falta antes
- Operaciones combinadas y cálculo razonado. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué fracción equivale a 0,625. Respuesta. 5/8.
- reconocer límites de Q. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad. en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Primer encuentro con irracionales y números reales con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer límites de Q. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. ¿Entre qué enteros está √20. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Algunas medidas no pueden expresarse como fracción… Usala para reconocer. qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder √49. Se reconoce porque Elige √49 por la presencia del radical. Reparación. Calculá la raíz. si puede escribirse como entero o fracción, es racional.
Comprobación rápida
Diagnóstico. ¿Cuál número es irracional. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
√2 Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Diagnóstico. ¿Cuál número es irracional?
Necesito una pista
Para trabajar clasificar ejemplos, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √2
La respuesta correcta es √2. √2 no es racional. 0,75 y 3/8 sí lo son.
Ejercicio 2
Consigna
Diagnóstico. ¿Entre qué enteros está √20?
Necesito una pista
Ubicá primero Diagnóstico. ¿Entre qué enteros está √20. Para trabajar aproximar sin confundir aproximación con valor exacto, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 4 y 5
La respuesta correcta es 4 y 5. 16<20<25 implica 4<√20<5.
Ejercicio 3
Consigna
Diagnóstico. Redondeá √10 a una cifra decimal usando 3,162 como aproximación.
Necesito una pista
Representá la relación de aproximar. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3.2
La centésima es 6, por eso la décima aumenta una unidad.
Ejercicio 4
Consigna
Al comparar cuadrados, ¿en qué intervalo debe ubicarse √7?
Necesito una pista
Ubicá primero Al comparar cuadrados, ¿en qué intervalo debe ubicarse √7. Para trabajar reconocer límites de Q, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: entre 2 y 3
La respuesta correcta es entre 2 y 3. 2²=4<7<9=3².
Ejercicio 5
Consigna
Clasificá √81.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Clasificá √81. Para trabajar clasificar ejemplos, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: racional: 9
La respuesta correcta es racional. 9. Una raíz de cuadrado perfecto es entera.
Ejercicio 6
Consigna
¿Cuál afirmación sobre √18 es válida?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál afirmación sobre √18 es válida. Para trabajar reconocer límites de Q, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es irracional y queda entre 4 y 5
La respuesta correcta es Es irracional y queda entre 4 y 5. 16<18<25 y 18 no es cuadrado perfecto.
Ejercicio 7
Consigna
¿Entre qué décimos está √5?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Entre qué décimos está √5. Para trabajar aproximar sin confundir aproximación con valor exacto, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2,2 y 2,3
La respuesta correcta es 2,2 y 2,3. 2,2²=4,84 y 2,3²=5,29.
Ejercicio 8
Consigna
Medí varias circunferencias y explicá qué cociente debería estabilizarse cerca de π.
Necesito una pista
Usá pi como razon: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La longitud de la circunferencia dividida por su diámetro, C/d, se aproxima a π para cualquier círculo.
El cociente constante conecta medición empírica y número π.
Ejercicio 9
Consigna
¿Cuál escritura es exacta para la circunferencia de diámetro 6 cm?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Cuál escritura es exacta para la circunferencia de diámetro 6 cm. Para trabajar aproximar sin confundir aproximación con valor exacto, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6π cm
La respuesta correcta es 6π cm. C=πd=6π. 18,84 usa π≈3,14.
Ejercicio 10
Consigna
Redondeá √30≈5,477225… a centésimos.
Necesito una pista
Representá la relación de redondear. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5.48
La milésima es 7, por eso 5,47 sube a 5,48.
Ejercicio 11
Consigna
¿Qué punto queda más a la derecha?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Qué punto queda más a la derecha. Para trabajar aproximar sin confundir aproximación con valor exacto, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 22/7
La respuesta correcta es 22/7. π≈3,14159 y 22/7≈3,142857.
Ejercicio 12
Consigna
Explicá por qué la calculadora no muestra “todas las cifras” de π.
Necesito una pista
Usá limite tecnologia: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La pantalla es finita y π tiene infinitas cifras no periódicas; el dispositivo muestra una aproximación redondeada.
La limitación es de representación, no del número.
Ejercicio 13
Consigna
Una baldosa cuadrada mide 40 cm de lado. Se ofrece una varilla de 56 cm para su diagonal. ¿Alcanza? Justificá sin usar una igualdad falsa.
Necesito una pista
Organizá los datos para medida irracional. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diagonal es 40√2≈56,57 cm; 56 cm no alcanza por unos 0,57 cm.
La forma exacta permite calcular y la aproximación permite decidir con unidad.
Ejercicio 14
Consigna
Una rueda tiene diámetro 70 cm. Usando π≈22/7, calculá cuántos centímetros avanza en una vuelta.
Necesito una pista
Representá la relación de pi contextual. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 220
C=πd≈22/7·70=220 cm.
Ejercicio 15
Consigna
Dos aplicaciones informan √2 como 1,414 y 1,414214. ¿Cuál usarías para cortar una pieza con tolerancia de 0,001 m y por qué?
Necesito una pista
Organizá los datos para decidir precision. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Usaría 1,414214 o una aproximación con error menor que 0,001; 1,414 tiene error aproximado 0,000214 y también cumple, pero la segunda ofrece margen mayor.
La decisión depende de comparar error con tolerancia, no de elegir siempre más cifras.
Ejercicio 16
Consigna
Análisis de error. Sofía escribe √20=10 porque divide por 2. Corregí.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Análisis de error. Sofía escribe √20=10 porque divide por 2. Corregí. Para trabajar aproximar sin confundir aproximación con valor exacto, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √20 está entre 4 y 5; aproximadamente 4,47.
Una respuesta suficiente debe sostener aproximar sin confundir aproximación con valor exacto con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Análisis de error. Pedro dice que π=3,14 exactamente. Explicá el límite de esa escritura.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá clasificar ejemplos. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,14 es una aproximación; π es irracional y no tiene decimal finito.
3,14 es una aproximación; π es irracional y no tiene decimal finito.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Walter resolvió “Clasificá √81.” y escribió “irracional”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Walter con la condición de clasificar ejemplos. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción irracional conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de clasificar ejemplos.. La corrección usa clasificar ejemplos: racional: 9.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de clasificar ejemplos. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de clasificar ejemplos en la consigna Clasificá √81 y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Cuál número es irracional?
Necesito una pista
Para trabajar clasificar ejemplos, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √12
La respuesta correcta es √12. √12=2√3 es irracional. √49=7 y el periódico es racional.
Ejercicio 20
Consigna
¿Entre qué centésimos está √3?
Necesito una pista
Ubicá primero ¿Entre qué centésimos está √3. Para trabajar reconocer límites de Q, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 1,73 y 1,74
La respuesta correcta es 1,73 y 1,74. 1,73²=2,9929 y 1,74²=3,0276.
Ejercicio 21
Consigna
Diferenciá las escrituras π, 3,1416 y 22/7.
Necesito una pista
Aplicá comparar escrituras sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: π es exacta e irracional; 3,1416 es aproximación decimal; 22/7 es racional y también aproxima, pero no es igual a π.
La clasificación y el símbolo ≈ evitan confundir valores.
Ejercicio 22
Consigna
Con π≈3,1416, calculá la circunferencia de radio 2,5 cm.
Necesito una pista
Representá la relación de circunferencia. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15,708
C=2πr≈2·3,1416·2,5=15,708 cm.
Ejercicio 23
Consigna
Un punto de la recta está marcado en 2,236. ¿Puede representar √5? Explicá el alcance.
Necesito una pista
Aplicá recta aproximada sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Puede representar una aproximación de √5≈2,236067…, pero no el valor exacto; debe usarse ≈ o indicarse precisión.
Una coordenada decimal finita aproxima al irracional.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: elegí el intervalo más estrecho garantizado para √10.
Necesito una pista
Ubicá primero Reconstrucción. elegí el intervalo más estrecho garantizado para √10. Para trabajar reconocer límites de Q, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 3,16<√10<3,17
La respuesta correcta es 3,16<√10<3,17. 3,16²=9,9856 y 3,17²=10,0489.
Ejercicio 25
Consigna
Reintento: explicá por qué √32 puede escribirse 4√2 y qué informa cada forma.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante transformar radical: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: √32=√(16·2)=4√2; la primera vincula con raíz de 32 y la segunda muestra su relación exacta con √2.
La propiedad del producto separa el cuadrado perfecto.
Ejercicio 26
Consigna
Profundización: si el diámetro de un círculo se duplica, justificá qué ocurre con su circunferencia y con el cociente C/d.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante generalizar pi: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: C=πd, por lo que la circunferencia se duplica; C/d sigue valiendo π.
La constante π permanece aunque escalen ambas longitudes.