recta numérica
Representá Divisibilidad, múltiplos, divisores y primos con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con detectar regularidades. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
Un divisor forma grupos exactos; un múltiplo resulta de repetir una cantidad.
Ya podés detectar regularidades y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás comparar dos cantidades antes de pagar, medir o repartir. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar cantidades, escrituras y relaciones numéricas. La situación obliga a detectar regularidades. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Saberes numéricos y geométricos del nivel primario.
Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál número es divisible por 3. Respuesta. 741.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-03.
- detectar regularidades.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-num-01.
La idea
un múltiplo resulta de repetir una cantidad. Un divisor forma grupos exactos: un múltiplo resulta de repetir una cantidad. Los criterios de divisibilidad condensan regularidades de la escritura decimal: mientras la descomposición prima hace visibles todos los factores. El MCD resuelve repartos máximos sin sobrante y el MCM identifica la primera coincidencia de ciclos. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. El primer objetivo es detectar regularidades. El segundo es formular criterios. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Divisibilidad, potencias y raíces exactas: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder resolver problemas de reparto y sincronización con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Calculá el máximo común divisor de 16 y 18. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un divisor forma grupos exactos: un múltiplo resulta de repetir una cantidad.
Ejemplo resuelto
Problema: hay 48 cuadernos y 60 lápices para armar la mayor cantidad de kits iguales sin sobrantes. Descomponemos 48=2⁴·3 y 60=2²·3·5. Para maximizar la cantidad común conservamos factores compartidos con menor exponente. 2²·3=12. Se arman 12 kits: cada uno recibe 48÷12=4 cuadernos y 60÷12=5 lápices. Control. 12·4=48 y 12·5=60: no puede haber más kits porque faltaría otro factor común. No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 354 al resolver ¿Cuál número es divisible por 11 según la diferencia alternada de sus cifras.
Por qué tienta: Usa la regla de divisibilidad por 3 en lugar de la diferencia alternada propia del 11.
Cómo repararlo: Calculá por separado 3−5+4 y compará el resultado con un múltiplo de 11.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué Un divisor forma grupos exactos: un múltiplo resulta de repetir una cantidad.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás detectar regularidades con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Divisibilidad, múltiplos, divisores y primos.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Divisibilidad, múltiplos, divisores y primos trabaja este objeto matemático. Un divisor forma grupos exactos. un múltiplo resulta de repetir una cantidad.
Qué hace falta antes
- Saberes numéricos y geométricos del nivel primario. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Cuál número es divisible por 3. Respuesta. 741.
- detectar regularidades. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué valor representa el 6 en 4 623 510. Respuesta. 600 000.
Dos representaciones
recta numérica
Representá Divisibilidad, múltiplos, divisores y primos con recta numérica. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con detectar regularidades. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Calculá el máximo común divisor de 16 y 18. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan Un divisor forma… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece. y dónde controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 354. Se reconoce porque Elige 354, cuya suma de cifras es múltiplo de 3. Reparación. Calculá por separado 3−5+4 y compará el resultado con un múltiplo de 11.
Comprobación rápida
Diagnóstico. ¿Cuál afirmación sobre 60 es verdadera. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
Es múltiplo de 6 Control. Ubicá el resultado en una recta o comparalo con una cota calculada por otra vía.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Diagnóstico. ¿Cuál afirmación sobre 60 es verdadera?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de reconocer divisibilidad. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es múltiplo de 6
Un número es múltiplo de 6 si puede escribirse como 6 por un entero.
Ejercicio 2
Consigna
Diagnóstico. Calculá el máximo común divisor de 16 y 18.
Necesito una pista
Representá la relación de mcd. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 2
El MCD reúne los factores comunes con el menor exponente.
Ejercicio 3
Consigna
Diagnóstico. Dos señales se repiten cada 4 y 7 minutos. Si coinciden ahora, ¿en cuántos minutos vuelven a coincidir?
Necesito una pista
Representá la relación de mcm. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 28
La primera coincidencia posterior corresponde al MCM de ambos períodos.
Ejercicio 4
Consigna
Con 24 fichas, ¿qué cantidad de filas produce un rectángulo sin sobrante y por eso muestra un divisor?
Necesito una pista
Ubicá primero Con 24 fichas, ¿qué cantidad de filas produce un rectángulo sin sobrante…. Para trabajar justificar divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6
La respuesta correcta es 6. 24÷6=4 y el resto es cero. 5 y 7 dejan sobrante.
Ejercicio 5
Consigna
Sin dividir por completo, decidí cuál número es divisible por 9.
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Sin dividir por completo, decidí cuál número es divisible por 9. Para trabajar formular criterios, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 234
La respuesta correcta es 234. 2+3+4=9, múltiplo de 9.
Ejercicio 6
Consigna
¿Cuál número es divisible simultáneamente por 2, 3 y 5?
Necesito una pista
Representá el dato central de ¿Cuál número es divisible simultáneamente por 2, 3 y 5. Para trabajar justificar divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 90
La respuesta correcta es 90. 90 es par, termina en 0 y sus cifras suman 9.
Ejercicio 7
Consigna
Clasificá 91.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Clasificá 91. Para trabajar detectar regularidades, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: compuesto: 7·13
La respuesta correcta es compuesto. 7·13. 91 tiene los divisores no triviales 7 y 13.
Ejercicio 8
Consigna
Descomponé 180 en factores primos y explicá cómo sabés que terminaste.
Necesito una pista
Usá factorizacion prima: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 180=2²·3²·5; se termina porque todos los factores obtenidos son primos.
La descomposición prima identifica completamente la estructura multiplicativa.
Ejercicio 9
Consigna
Calculá MCD(84,126).
Necesito una pista
Representá la relación de mcd. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 42
84=2²·3·7 y 126=2·3²·7; los factores comunes mínimos dan 42.
Ejercicio 10
Consigna
Calculá MCM(18,30).
Necesito una pista
Representá la relación de mcm. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 90
18=2·3² y 30=2·3·5; los factores máximos dan 2·3²·5=90.
Ejercicio 11
Consigna
Para repartir 72 rojas y 54 azules en la mayor cantidad de bolsas iguales, ¿qué operación organiza el problema?
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de elegir modelo. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: MCD(72,54)
“Mayor cantidad de bolsas iguales sin sobrante” exige un divisor común máximo.
Ejercicio 12
Consigna
Justificá: si n es divisible por 6, entonces n es divisible por 2 y por 3.
Necesito una pista
Usá justificar divisibilidad: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Si n=6k=2·(3k)=3·(2k), entonces tiene cociente entero al dividir por 2 y por 3.
La escritura n=6k prueba la propiedad para cualquier entero k.
Ejercicio 13
Consigna
Una escuela tiene 96 botellas de agua, 72 frutas y 120 barras. Quiere armar la mayor cantidad de cajas idénticas sin sobrantes; además dispone de 40 cajas vacías. ¿Cuántas cajas completas puede armar?
Necesito una pista
Representá la relación de formular mcd. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 24
La cantidad debe dividir 96, 72 y 120; su MCD es 24. El dato 40 solo indica disponibilidad.
Ejercicio 14
Consigna
Dos revisiones se realizan cada 14 y 20 días. Una tercera se hace cada 7 días. Si hoy coinciden, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a coincidir las tres?
Necesito una pista
Representá la relación de modelizar ciclos. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 140
MCM(14,20,7)=140; la unidad es días y se verifica que 140 es múltiplo de cada período.
Ejercicio 15
Consigna
Se quieren baldosas rectangulares iguales para cubrir exactamente un piso de 252 cm por 180 cm, sin cortar. Proponé el mayor lado posible de una baldosa cuadrada y controlalo.
Necesito una pista
Organizá los datos para interpretar controlar. Compatibilizá unidades, resolvé e interpretá el control.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El lado máximo es MCD(252,180)=36 cm; entran 7 por 5 y 36·7=252, 36·5=180.
El lado debe dividir ambas dimensiones; el control comprueba ausencia de recortes.
Ejercicio 16
Consigna
Análisis de error. Lara afirma: “51 es divisible por 3 porque termina en 1”. Localizá y repará el criterio.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá detectar regularidades. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 51 sí es divisible por 3 porque 5+1=6 es múltiplo de 3; la última cifra no decide divisibilidad por 3.
51 sí es divisible por 3 porque 5+1=6 es múltiplo de 3; la última cifra no decide divisibilidad por 3.
Ejercicio 17
Consigna
Análisis de error. Tomás calcula MCM(6,8)=48 multiplicando sin buscar el menor. Explicá y corregí.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá formular criterios. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El primer múltiplo común es 24; multiplicar siempre puede producir un múltiplo común que no es el mínimo.
El primer múltiplo común es 24; multiplicar siempre puede producir un múltiplo común que no es el mínimo.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Santiago resolvió “Sin dividir por completo, decidí cuál número es divisible por 9.” y escribió “235”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Santiago con la condición de formular criterios. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La opción 235 conserva una palabra visible, pero no todas las condiciones de formular criterios.. La corrección usa formular criterios: 234.
Se elige una alternativa por asociación superficial y no por el criterio de formular criterios. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de formular criterios en la consigna Sin dividir por completo, decidí cuál número es divisible… y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
¿Cuál número es divisible por 11 según la diferencia alternada de sus cifras?
Necesito una pista
Para trabajar justificar divisibilidad, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Recién después elegí una operación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 352
La respuesta correcta es 352. 3−5+2=0, múltiplo de 11.
Ejercicio 20
Consigna
Decidí si 143 es primo y justificá sin probar divisores mayores que √143.
Necesito una pista
Aplicá analizar primalidad sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: No es primo: 143=11·13; basta hallar ese divisor no trivial.
Un factor no trivial demuestra que es compuesto.
Ejercicio 21
Consigna
Entre 5, 7 y 35, elegí el mayor número que divide exactamente a 105 y 140.
Necesito una pista
Probá una opción por vez con el criterio de mcd nuevo. Descartá la que no lo cumpla y verificá la elegida.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 35
35 divide a ambos y supera a los otros divisores comunes listados.
Ejercicio 22
Consigna
Tres luces parpadean cada 6, 15 y 20 segundos. ¿Cada cuántos segundos coinciden?
Necesito una pista
Representá la relación de mcm nuevo. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 60
MCM(6,15,20)=60 segundos.
Ejercicio 23
Consigna
Una estudiante dice: “todo múltiplo de 4 es múltiplo de 8”. Evaluá y aportá evidencia.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Una estudiante dice. “todo múltiplo de 4 es múltiplo de 8”. Evaluá…. Para trabajar formular criterios, anotá signo, unidad y orden de magnitud antes de operar. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Es falso; 12 es múltiplo de 4 y no de 8. Ser múltiplo de 8 sí implica ser múltiplo de 4.
Una respuesta suficiente debe sostener formular criterios con datos y una propiedad explícita. El contraejemplo 12 refuta la afirmación universal.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: representá 20 fichas en todos los arreglos rectangulares posibles y listá los divisores que aparecen.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante reconstruir divisor: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Arreglos 1×20, 2×10 y 4×5; divisores 1,2,4,5,10,20.
Cada arreglo sin sobrante produce un par de divisores.
Ejercicio 25
Consigna
Reintento: hallá la mayor cantidad de paquetes iguales con 45 marcadores y 75 hojas de color.
Necesito una pista
Representá la relación de reintentar mcd. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15
MCD(45,75)=15; cada paquete contiene 3 marcadores y 5 hojas.
Ejercicio 26
Consigna
Profundización: justificá por qué MCD(a,b)·MCM(a,b)=a·b para a=18,b=24 y conjeturá la razón general.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante generalizar mcd mcm: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Para 18 y 24: 6·72=432=18·24. En factores primos, cada exponente mínimo más máximo suma los exponentes de ambos números.
La comparación de exponentes explica la identidad general.