dibujo descrito en palabras
Representá Teorema de Pitágoras y distancia con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer cuándo aplica. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible.
En esta unidad
Qué vas a construir
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado sobre la hipotenusa iguala la suma de las áreas sobre los catetos.
Ya podés reconocer cuándo aplica y comprobar el resultado
Clase desarrollada
De dónde viene
Una noche necesitás leer un plano, construir una figura o justificar una medida que no puede adivinarse. No hay una clase disponible y la decisión no puede esperar hasta el día siguiente.. Este recorrido aparece porque el problema exige mirar figuras, medidas y propiedades geométricas. La situación obliga a reconocer cuándo aplica. También exige explicar por qué una respuesta es aceptable y otra no. La idea nace de esa necesidad concreta, no de una lista de símbolos aislados. Podés reconstruirla con datos pequeños y después volver al caso que tenés delante.
Qué conviene tener disponible
- Operaciones combinadas y cálculo razonado.
Comprobación de treinta segundos. ¿Qué ternas pueden formar un triángulo. Respuesta. 4,5,8.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-geo-02.
- Triángulos, propiedades y congruencia.
Comprobación de treinta segundos. Convertí 3,4 m a centímetros. Respuesta. 340.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-fnd-geo-05.
- Perímetro, área y volumen: relaciones y fórmulas.
Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad: en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Si al leer esto dudaste, andá primero a sf-mat-01-num-04.
La idea
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado sobre la hipotenusa iguala la suma de las áreas sobre los catetos. Esa relación permite hallar longitudes, comprobar si un triángulo es rectángulo y calcular distancias en el plano. La condición de ángulo recto es indispensable. Primero identificá qué se conoce y qué se quiere averiguar. Después localizá la condición que relaciona esos datos. Una operación aislada no alcanza si no conserva esa condición. Marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. El primer objetivo es reconocer cuándo aplica. El segundo es calcular longitudes. Ambos se conectan cuando explicás por qué cada paso sigue del anterior. Una representación muestra relaciones que una fórmula puede esconder. Otra representación permite controlar si la primera lectura fue correcta. Si las dos producen conclusiones incompatibles, revisá la traducción entre ellas. La respuesta final debe conservar unidades, dominio, escala o condiciones, según el problema. Por eso conviene anticipar signo, tamaño y forma del resultado. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite. Ese control no repite la cuenta y puede descubrir un paso inválido. La unidad se apoya en Triángulos, polígonos, construcciones y teselados: pero ahora esa idea cumple una función nueva. Al final, deberías poder controlar unidades con un caso que no copie el ejemplo.
Representaciones
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 y un cateto 5. Calculá…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado sobre la: hipotenusa iguala la suma de las áreas sobre….
Ejemplo resuelto
Un rectángulo mide 6 por 8: buscamos su diagonal d. La diagonal forma un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8. Los cuadrados tienen áreas 36 y 64: d²=36+64=100, así que d=10. Control. 10 es mayor que cada cateto y menor que 6+8: además 6²+8²=10². No miro sólo el número final. Reviso la relación, la unidad y el sentido de cada transformación. Si me equivocara en el paso clave, la segunda representación dejaría de coincidir. Entonces volvería al primer desacuerdo y repararía ese paso, no toda la resolución.
Error frecuente y reparación
Error: Se escribió 47 al resolver Catetos 12 y 35: hallá hipotenusa.
Por qué tienta: Este resultado es compatible con sumar directamente 12+35.
Cómo repararlo: Elevá cada cateto al cuadrado, sumá y extraé la raíz sólo al final.
Comprobaciones
Comprobación 1
¿Podrías explicarle a alguien por qué En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado sobre la hipotenusa iguala la suma de las áreas: sobre los catetos.
Respuesta para cotejar
Sí, si vinculás reconocer cuándo aplica con una propiedad y una representación que permita controlarla.
Comprobación 2
¿Qué dato o condición haría dejar de valer el procedimiento usado en Teorema de Pitágoras y distancia.
Respuesta para cotejar
Dejaría de valer cuando no se cumpla la condición central, cambie el dominio o la representación contradiga el resultado.
Guía conceptual
Idea central
Teorema de Pitágoras y distancia trabaja este objeto matemático. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado sobre la hipotenusa iguala la suma de las áreas sobre los catetos.
Qué hace falta antes
- Operaciones combinadas y cálculo razonado. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. ¿Qué ternas pueden formar un triángulo. Respuesta. 4,5,8.
- Triángulos, propiedades y congruencia. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Convertí 3,4 m a centímetros. Respuesta. 340.
- Perímetro, área y volumen. relaciones y fórmulas. Comprobalo con Comprobación de treinta segundos. Diagnóstico de prioridad. en 6+3·2, calculá primero la operación que corresponde y obtené el valor. Respuesta. 12.
Dos representaciones
dibujo descrito en palabras
Representá Teorema de Pitágoras y distancia con dibujo descrito en palabras. Marcá qué dato permanece y cuál cambia. Vinculá cada marca con reconocer cuándo aplica. Después señalá dónde se vería una respuesta imposible. Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde controlar la respuesta.
caso con números chicos
Usá ahora caso con números chicos para la misma relación. Partí de Diagnóstico. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 y un cateto 5. Calculá…. Compará la conclusión con la primera representación y explicá por qué ambas conservan En… Usala para reconocer qué cambia, qué permanece y dónde. controlar la respuesta.
Error típico
Error típico. responder 47. Se reconoce porque Ingresa 47 como longitud de la hipotenusa. Reparación. Elevá cada cateto al cuadrado, sumá y extraé la raíz sólo al final.
Comprobación rápida
Diagnóstico. Un triángulo rectángulo tiene catetos 3 y 4. Calculá la hipotenusa. Resolvelo y nombrá el control usado.
Respuesta para cotejar
5 Control. Comprobá la propiedad con otra construcción, una medida inversa o un caso límite.
26 ejercicios
Resolvé primero; abrí la pista o la respuesta sólo cuando la necesites.
Ejercicio 1
Consigna
Diagnóstico. Un triángulo rectángulo tiene catetos 3 y 4. Calculá la hipotenusa.
Necesito una pista
Representá la relación de calcular hipotenusa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
Pitágoras establece h²=a²+b².
Ejercicio 2
Consigna
Diagnóstico. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 y un cateto 5. Calculá el otro cateto.
Necesito una pista
Representá la relación de calcular cateto. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 12
Despejar en h²=a²+b² permite hallar el cateto faltante.
Ejercicio 3
Consigna
Diagnóstico. ¿Es rectángulo un triángulo de lados 6, 8, 10?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte Diagnóstico. ¿Es rectángulo un triángulo de lados 6, 8, 10. Para trabajar interpretar demostraciones de área, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí
La respuesta correcta es Sí. El recíproco de Pitágoras permite clasificar el triángulo.
Ejercicio 4
Consigna
Los cuadrados sobre los catetos tienen áreas 25 y 144. ¿Qué área predecís para el cuadrado sobre la hipotenusa?
Necesito una pista
Ubicá primero Los cuadrados sobre los catetos tienen áreas 25 y 144. ¿Qué área…. Para trabajar interpretar demostraciones de área, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 169
La respuesta correcta es 169. 25+144=169.
Ejercicio 5
Consigna
Catetos 9 y 12: hallá la hipotenusa.
Necesito una pista
Representá la relación de hipotenusa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15
√(81+144)=15.
Ejercicio 6
Consigna
Hipotenusa 17 y cateto 8: hallá el otro cateto.
Necesito una pista
Representá la relación de cateto. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15
√(289−64)=15.
Ejercicio 7
Consigna
¿Cuál terna es rectángula?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿Cuál terna es rectángula. Para trabajar reconocer cuándo aplica, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Compará tu decisión con una representación equivalente.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 7,24,25
La respuesta correcta es 7,24,25. 49+576=625.
Ejercicio 8
Consigna
Interpretá a²+b²=c² usando áreas, no solo longitudes.
Necesito una pista
Usá modelo areas: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Los cuadrados construidos sobre los catetos tienen áreas a² y b²; juntos equivalen al área c² del cuadrado sobre la hipotenusa.
La igualdad relaciona superficies construidas.
Ejercicio 9
Consigna
Distancia entre (1,2) y (7,10).
Necesito una pista
Representá la relación de distancia coordenadas. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
Cambios 6 y 8; √(6²+8²)=10.
Ejercicio 10
Consigna
Una escalera de 13 m llega a 12 m de altura. ¿A qué distancia está el pie de la pared?
Necesito una pista
Representá la relación de aplicacion. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 5
√(13²−12²)=5 m.
Ejercicio 11
Consigna
Un triángulo de lados 6,8,9 es:
Necesito una pista
Representá el dato central de Un triángulo de lados 6,8,9 es. Para trabajar interpretar demostraciones de área, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: no rectángulo
La respuesta correcta es no rectángulo. 6²+8²=100>81. no cumple igualdad con lado mayor 9.
Ejercicio 12
Consigna
Explicá por qué la hipotenusa debe ser el lado mayor antes de aplicar la fórmula.
Necesito una pista
Usá identificar hipotenusa: nombrá la condición que habilita el argumento, aplicala al caso y añadí una comprobación o un contraejemplo.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Está opuesta al ángulo recto y su cuadrado es suma de dos áreas positivas, por eso supera a cada cateto.
La estructura de la igualdad determina el lado c.
Ejercicio 13
Consigna
Una pantalla 48×27 cm se anuncia como diagonal 55 cm. ¿Es coherente?
Necesito una pista
Representá el dato central de Una pantalla 48×27 cm se anuncia como diagonal 55 cm. ¿Es coherente. Para trabajar controlar unidades, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diagonal es √(48²+27²)=√3033≈55,07 cm; 55 cm es una aproximación coherente.
Una respuesta suficiente debe sostener controlar unidades con datos y una propiedad explícita. La comparación considera redondeo y unidad.
Ejercicio 14
Consigna
En un plano, A=(−2,3) y B=(4,11). Hallá la distancia exacta.
Necesito una pista
Representá la relación de modelizar plano. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
Δx=6, Δy=8; distancia 10.
Ejercicio 15
Consigna
Un camino puede recorrer dos lados perpendiculares de 300 y 400 m o una diagonal directa. ¿Cuánto se ahorra y qué supuesto usa el modelo?
Necesito una pista
Para trabajar calcular longitudes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Antes de responder, anticipá qué resultado sería imposible.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La diagonal mide 500 m; se ahorran 700−500=200 m. Se supone terreno plano y trayectos rectos perpendiculares.
Una respuesta suficiente debe sostener calcular longitudes con datos y una propiedad explícita. El resultado se interpreta con supuestos geométricos explícitos.
Ejercicio 16
Consigna
Análisis de error. Vera aplica a+b=c y obtiene 3+4=7. Corregí.
Necesito una pista
Marcá qué cambia en Análisis de error. Vera aplica a+b=c y obtiene 3+4=7. Corregí. Para trabajar reconocer cuándo aplica, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Pitágoras usa cuadrados: c=√(3²+4²)=5.
Una respuesta suficiente debe sostener reconocer cuándo aplica con datos y una propiedad explícita.
Ejercicio 17
Consigna
Análisis de error. Omar toma cualquier lado como hipotenusa. Corregí.
Necesito una pista
Para revisar este error, usá calcular longitudes. Localizá el primer paso inválido. Nombrá la condición matemática que falla, corregila y comprobá la reparación.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y el mayor.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y el mayor.
Ejercicio 18
Consigna
Analizá esta producción: «Dante resolvió “Catetos 9 y 12: hallá la hipotenusa.” y escribió “16”». Localizá el error, explicá la idea comprometida y reparalo.
Necesito una pista
Compará la producción de Dante con la condición de interpretar demostraciones de área. Buscá el primer paso donde dejan de coincidir.
Respuesta y fundamento
Respuesta: El paso inválido aparece al La respuesta 16 se separa del valor esperado después de una única transformación de interpretar demostraciones de área.. La corrección usa interpretar demostraciones de área: 15.
El resultado es compatible con alterar un solo paso del procedimiento de interpretar demostraciones de área sin controlar la relación original. Resulta tentante porque conserva una parte visible. La reparación exige Rehacé el paso de interpretar demostraciones de área en la consigna Catetos 9 y 12: hallá la hipotenusa y escribí qué condición conservás.
Ejercicio 19
Consigna
Catetos 12 y 35: hallá hipotenusa.
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar hipotenusa. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 37
144+1225=1369=37².
Ejercicio 20
Consigna
Hipotenusa 25 y cateto 20: hallá el otro.
Necesito una pista
Representá la relación de evaluar cateto. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 15
625−400=225, raíz 15.
Ejercicio 21
Consigna
¿Es rectángulo 10,24,26?
Necesito una pista
Leé de nuevo la parte ¿Es rectángulo 10,24,26. Para trabajar controlar unidades, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Dejá escrito un control distinto del procedimiento principal.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Sí
La respuesta correcta es Sí. 100+576=676=26².
Ejercicio 22
Consigna
Una persona calcula distancia entre (2,5) y (8,13) sumando 6+8=14. Corregí.
Necesito una pista
Aplicá evaluar distancia sin copiar el ejemplo. Después comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 6 y 8 son desplazamientos perpendiculares; la distancia recta es √(6²+8²)=10, mientras 14 sería una ruta en dos tramos.
Pitágoras distingue distancia directa de recorrido ortogonal.
Ejercicio 23
Consigna
¿En qué situación no corresponde usar directamente Pitágoras?
Necesito una pista
Marcá qué cambia en ¿En qué situación no corresponde usar directamente Pitágoras. Para trabajar calcular longitudes, marcá datos, incógnitas y propiedades en una figura antes de calcular. Revisá si conservaste todas las condiciones de la consigna.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Triángulo con lados 5,6 y ángulo incluido 40°
La respuesta correcta es Triángulo con lados 5,6 y ángulo incluido 40°. No hay ángulo recto conocido.
Ejercicio 24
Consigna
Reconstrucción: dibujá cuadrados sobre un 3-4-5 y relacioná sus áreas.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante reconstruir areas: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: Áreas 9 y 16 sobre catetos; área 25 sobre hipotenusa; 9+16=25.
El modelo visual da sentido a la igualdad.
Ejercicio 25
Consigna
Reintento: distancia entre (−3,−2) y (5,4).
Necesito una pista
Representá la relación de reintentar distancia. Anticipá signo, escala o unidad y comprobá el resultado por otra vía.
Respuesta y fundamento
Respuesta: 10
Cambios 8 y 6; √100=10.
Ejercicio 26
Consigna
Profundización: si ambos catetos se multiplican por k, justificá qué pasa con la hipotenusa.
Necesito una pista
Reconstruí la situación mediante generalizar escala: explicitá la condición, los pasos y qué se conserva.
Respuesta y fundamento
Respuesta: La nueva h satisface h²=(ka)²+(kb)²=k²(a²+b²), por lo tanto h se multiplica por |k|.
Pitágoras es compatible con semejanza.